直角三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 直角三角形斜边上的中线的性质
1.(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD= ( )
A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CF是AB边上的中线,DE是△ABC的中位线,若CF=6,则DE的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·武汉期末)直角三角形两边的长为6和8,则该直角三角形斜边上的中线长为 .
4.(2024·无锡期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,D是AB的中点,连结CD,CD=5,则△ACB的面积等于 .
5.如图所示,BE,CF是△ABC的高,D是BC边的中点,求证:DE=DF.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
6.在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=3,则BC的长是 ( )
A.6 B.4 C.3 D.2
7.(2023·丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 ( )
A. B.1 C. D.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∠CAB的平分线AD交BC于点D.若CD=5,则BD的长为 .
9. (2024·泉州期末)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且∠α=60°,OB=10,则BD= .
10.(2024·株洲期末)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径,在线段AB的两侧画弧,分别交于点M,N,过这两点的直线分别交BC,AB于点D,F,AE⊥BC于点E.若BD=4,求CE的长.
【B层 能力进阶】
11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则该等腰三角形的底角为 ( )
A.75°或15° B.30°或60°
C.75° D.30°
12.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的斜边OA在第一象限,并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点,BC=1,则点A的坐标为( )
A.(,) B.(,1)
C.(2,1) D.(2,)
13.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边上的一点,点P是AD的中点,若AC的垂直平分线经过点D,DC=8,则BP= .
14.(2024·重庆期中)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=30°,点D是BC上任意一点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交AB,AC于点E,F,则DE+DF= .
15.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.
(1)连结DE,求证:BD=DE;
(2)若∠ABE=25°,求∠BEC的度数.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(推理能力、运算能力、应用意识)(2024·沈阳期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,CD平分∠ACB,交边AB于点D,点E是边AB的中点,点P为边CB上的一个动点.
(1)AE=______,∠ACD=______度;
(2)当四边形ACPD为轴对称图形时,求CP的长;
(3)若△CPD是等腰三角形,请直接写出∠CPD的度数. 直角三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 直角三角形斜边上的中线的性质
1.(2023·株洲中考)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD= (B)
A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CF是AB边上的中线,DE是△ABC的中位线,若CF=6,则DE的长为 (D)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·武汉期末)直角三角形两边的长为6和8,则该直角三角形斜边上的中线长为 4或5 .
4.(2024·无锡期中)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,D是AB的中点,连结CD,CD=5,则△ACB的面积等于 24 .
5.如图所示,BE,CF是△ABC的高,D是BC边的中点,求证:DE=DF.
【证明】∵BE⊥AC,CF⊥AB,
∴∠BEC=∠CFB=90°,
∵D是BC边的中点,
∴ED=BC,FD=BC,
∴DE=DF.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
6.在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=3,则BC的长是 (A)
A.6 B.4 C.3 D.2
7.(2023·丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 (D)
A. B.1 C. D.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,∠CAB的平分线AD交BC于点D.若CD=5,则BD的长为 10 .
9. (2024·泉州期末)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且∠α=60°,OB=10,则BD= 5 .
10.(2024·株洲期末)如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径,在线段AB的两侧画弧,分别交于点M,N,过这两点的直线分别交BC,AB于点D,F,AE⊥BC于点E.若BD=4,求CE的长.
【解析】由题意得DF是AB的垂直平分线,
∴BD=AD=4,
∴∠BAD=∠B=30°,
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=∠AEC=90°,
∴∠BAE=90°-∠B=60°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°,
∴DE=AD=2,
∴由勾股定理得AE==2,
∵∠C=45°,
∴∠EAC=90°-∠C=45°,
∴∠EAC=∠C=45°,
∴CE=AE=2.
【B层 能力进阶】
11.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则该等腰三角形的底角为 (A)
A.75°或15° B.30°或60°
C.75° D.30°
12.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的斜边OA在第一象限,并与x轴的正半轴夹角为30°.C为OA的中点,BC=1,则点A的坐标为(B)
A.(,) B.(,1)
C.(2,1) D.(2,)
13.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边上的一点,点P是AD的中点,若AC的垂直平分线经过点D,DC=8,则BP= 4 .
14.(2024·重庆期中)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=30°,点D是BC上任意一点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交AB,AC于点E,F,则DE+DF= 2 .
15.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.
(1)连结DE,求证:BD=DE;
(2)若∠ABE=25°,求∠BEC的度数.
【解析】(1)∵CD是AB边上的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∵BE是AC边上的中线,
∴DE=AE=CE,
∵BD=CE,∴BD=DE.
(2)∵BD=DE,∴∠DBE=∠DEB=25°,
∵∠ADE=∠DBE+∠DEB=50°,DE=AE,
∴∠A=∠ADE=50°,
∴∠BEC=∠A+∠ABE=50°+25°=75°.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(推理能力、运算能力、应用意识)(2024·沈阳期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=3,CD平分∠ACB,交边AB于点D,点E是边AB的中点,点P为边CB上的一个动点.
(1)AE=______,∠ACD=______度;
(2)当四边形ACPD为轴对称图形时,求CP的长;
(3)若△CPD是等腰三角形,请直接写出∠CPD的度数.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴AB=2AC=6,∵点E是边AB的中点,
∴AE=AB=3,∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=×90°=45°.
答案:3 45
(2)∵四边形ACPD为轴对称图形,CD平分∠ACB,∴对称轴为直线CD,
∴CP=CA=3.
(3)∵CD平分∠ACB,
∴∠PCD=45°,
当PC=PD时,∠PDC=∠PCD=45°,
∴∠CPD=180°-∠PDC-∠PCD=90°;
当DP=DC时,∠CPD=∠PCD=45°;
当CP=CD时,∠CPD=∠CDP=(180°-45°)÷2=67.5°.
综上,∠CPD的度数为90°或45°或67.5°.
