锐角三角函数 用计算器求锐角三角函数值(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 特殊角的三角函数值
1.(2024·天津模拟)计算2cos 30°的结果为 ( )
A. B.1 C. D.
2.计算:sin 60°·tan 30°= ( )
A.1 B. C. D.2
3.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计,体现了环保低碳理念.如图所示,它的主体形状呈正六边形.若点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点,则
tan ∠ABE= .
4.(1)(2024·郑州期中)计算:2sin 30°-cos245°+cos 60°.
(2)tan 30°·sin 60°-sin 45°·cos 45°.
知识点2 根据锐角三角函数值求角的度数
5.已知tan A=,∠A是锐角,则∠A的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.已知α为锐角,且sin(α-10°)=,则α等于 ( )
A.70° B.60° C.40° D.30°
7.在△ABC中,若|sin A-1|+|-cos B|=0,则△ABC是 三角形.
知识点3 利用计算器求锐角三角函数值
8.求tan 30°36',用计算器的按键顺序正确的是( )
9.锐角A满足cos A=,利用计算器求∠A时,依次按键,则计算器上显示的结果是 ( )
A.30 B.45 C.60 D.75
【B层 能力进阶】
10.在△ABC中,若cos A=,tan B=,则这个三角形一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
11.(2023·广州中考)如图,海中有一小岛A,在B点测得小岛A在北偏东30°方向上,渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点,在C点测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为______n mile. ( )
A. B. C.20 D.10
12.由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,∠O=60°,则tan ∠ABC= ( )
A. B. C. D.
13.(2024·佛山模拟)计算:-tan 30°.
14. (2023·济宁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=45°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,连结CD.如果AD=1,那么tan∠BCD= -1.
15.在△ABC中,已知∠A=60°,∠B为锐角,且tan A,cos B恰为一元二次方程2x2-3mx+3=0的两个实数根.求m的值并判断△ABC的形状.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(推理能力、运算能力、应用意识)
学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can),如图1,在△ABC中,AB=AC,底角∠B的邻对记作can B,这时can B==.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的,根据上述角的邻对的定义,解答下列问题:
(1)can 30°=______,若can B=1,则∠B=_______ °.
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,can B=,S△ABC=48,求△ABC的周长. 锐角三角函数 用计算器求锐角三角函数值(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 特殊角的三角函数值
1.(2024·天津模拟)计算2cos 30°的结果为 (C)
A. B.1 C. D.
2.计算:sin 60°·tan 30°= (B)
A.1 B. C. D.2
3.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计,体现了环保低碳理念.如图所示,它的主体形状呈正六边形.若点A,F,B,D,C,E是正六边形的六个顶点,则
tan ∠ABE= .
4.(1)(2024·郑州期中)计算:2sin 30°-cos245°+cos 60°.
(2)tan 30°·sin 60°-sin 45°·cos 45°.
【解析】(1)原式=2×-()2+=1-+=1.
(2)原式=×-×=-=0.
知识点2 根据锐角三角函数值求角的度数
5.已知tan A=,∠A是锐角,则∠A的度数为 (A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.已知α为锐角,且sin(α-10°)=,则α等于 (A)
A.70° B.60° C.40° D.30°
7.在△ABC中,若|sin A-1|+|-cos B|=0,则△ABC是 等腰直角 三角形.
知识点3 利用计算器求锐角三角函数值
8.求tan 30°36',用计算器的按键顺序正确的是(B)
9.锐角A满足cos A=,利用计算器求∠A时,依次按键,则计算器上显示的结果是 (C)
A.30 B.45 C.60 D.75
【B层 能力进阶】
10.在△ABC中,若cos A=,tan B=,则这个三角形一定是 (B)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
11.(2023·广州中考)如图,海中有一小岛A,在B点测得小岛A在北偏东30°方向上,渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点,在C点测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为______n mile. (D)
A. B. C.20 D.10
12.由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,∠O=60°,则tan ∠ABC= (C)
A. B. C. D.
13.(2024·佛山模拟)计算:-tan 30°.
【解析】原式=-×
=-=-
=+-=.
14. (2023·济宁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=45°,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,连结CD.如果AD=1,那么tan∠BCD= -1.
15.在△ABC中,已知∠A=60°,∠B为锐角,且tan A,cos B恰为一元二次方程2x2-3mx+3=0的两个实数根.求m的值并判断△ABC的形状.
【解析】∵∠A=60°,∴tan A=.
把x=代入方程2x2-3mx+3=0得2×()2-3m+3=0,解得m=.
把m=代入方程2x2-3mx+3=0得2x2-3x+3=0,解得x1=,x2=,∴cos B=,即∠B=30°,∴∠C=180°-∠A-∠B=90°,即△ABC是直角三角形.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(推理能力、运算能力、应用意识)
学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对(can),如图1,在△ABC中,AB=AC,底角∠B的邻对记作can B,这时can B==.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的,根据上述角的邻对的定义,解答下列问题:
(1)can 30°=______,若can B=1,则∠B=_______ °.
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,can B=,S△ABC=48,求△ABC的周长.
【解析】(1)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD,∵∠B=30°,∴BD===AB,∴BC=2BD=AB,∴can 30°===.若can B=1,则can B==1,∴BC=AB,又∵AB=AC,∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.
答案: 60
(2)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∵can B=,∴=,
∴设BC=8x,AB=5x,∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=BC=4x,∴AD==3x,
∵S△ABC=48,∴BC·AD=48,∴·8x·3x=48,∴x2=4,∴x=±2,∵x>0,∴x=2,
∴AB=AC=10,BC=16,∴△ABC的周长为36. 锐角三角函数 用计算器求锐角三角函数值(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 锐角三角函数的定义
1.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A≠45°,则下列比值中不等于sin A的是 ( )
A. B. C. D.
2.三角形在方格纸中的位置如图所示,则cos α的值是 ( )
A. B. C. D.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是 ( )
A.sin B= B.cos B=
C.tan B= D.tan B=
4.(2024·上海期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=26,tan A=,那么BC= .
5.在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
知识点2 锐角三角函数之间的关系
6.(2024·临汾期中)在Rt△ABC中,∠A=90°,sin C=,则cos C的值是 ( )
A. B. C. D.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,则sin B的值为 ( )
A. B. C. D.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B的值为 .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,求sin A及cos A的值.
【B层 能力进阶】
10.(2022·陕西中考)如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为( )
A.3 B.3 C.3 D.6
11.如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,AC=1,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为( )
A. B.2 C.3+ D.2+
12.(2023·南阳期末)如图,在4×4网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是 .
13.如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠FEC的值为 .
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(推理能力、运算能力、应用意识)已知:如图,在△ABC中,AB=13,AC=8,cos∠BAC=,BD⊥AC,垂足为点D,E是BD的中点,连结AE并延长,交边BC于点F.
(1)求∠EAD的正切值;
(2)求的值. 锐角三角函数 用计算器求锐角三角函数值(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 锐角三角函数的定义
1.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A≠45°,则下列比值中不等于sin A的是 (D)
A. B. C. D.
2.三角形在方格纸中的位置如图所示,则cos α的值是 (D)
A. B. C. D.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正确的是 (C)
A.sin B= B.cos B=
C.tan B= D.tan B=
4.(2024·上海期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=26,tan A=,那么BC= 10 .
5.在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
【解析】在△ABC中,∠C=90°,cos A==,设AC=5x cm,AB=13x cm,则BC=12x cm,由12x=24得x=2,∴AB=26 cm,AC=10 cm,
∴△ABC的周长为10+24+26=60(cm).
知识点2 锐角三角函数之间的关系
6.(2024·临汾期中)在Rt△ABC中,∠A=90°,sin C=,则cos C的值是 (B)
A. B. C. D.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,则sin B的值为 (A)
A. B. C. D.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B的值为 .
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=2,求sin A及cos A的值.
【解析】如图,
∵∠C=90°,tan A=2,∴设BC=2x,则AC=x,AB===x,∴sin A===,cos A===.
【B层 能力进阶】
10.(2022·陕西中考)如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为(D)
A.3 B.3 C.3 D.6
11.如图,在Rt△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,AC=1,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为(D)
A. B.2 C.3+ D.2+
12.(2023·南阳期末)如图,在4×4网格正方形中,每个小正方形的边长为1,顶点为格点,若△ABC的顶点均是格点,则cos∠BAC的值是 .
13.如图,在矩形ABCD中,点E在DC上,将矩形沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则tan∠FEC的值为 .
14.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,设∠CAD=α.
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
(2)若∠B=∠CAD,求BD的长.
【解析】在Rt△ACD中,∵AC=2,CD=1,
∴AD==.
(1)sin α===,cos α===,tan α==.
(2)在Rt△ABC中,tan B=,即tan α==,∴BC=4,
∴BD=BC-CD=4-1=3.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(推理能力、运算能力、应用意识)已知:如图,在△ABC中,AB=13,AC=8,cos∠BAC=,BD⊥AC,垂足为点D,E是BD的中点,连结AE并延长,交边BC于点F.
(1)求∠EAD的正切值;
(2)求的值.
【解析】(1)∵BD⊥AC,∴∠ADE=90°,
在Rt△ADB中,AB=13,cos∠BAC=,
∴AD=5,由勾股定理得BD===12,
∵E是BD的中点,∴ED=6,
∴tan∠EAD==.
(2)过点D作DG∥AF交BC于点G,
∵AC=8,AD=5,
∴CD=3,
∵DG∥AF,
∴==,
设CG=3x,FG=5x,
∵EF∥DG,BE=ED,
∴BF=FG=5x,
∴==.
