解直角三角形(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 解直角三角形的应用——坡度、坡角
1.斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度.如图,斜坡AB的斜面坡度为 ( )
A.1∶4 B.4∶1 C.∶1 D.1∶
2.(2024·昆明模拟)松华坝水库地处昆明北郊,是昆明市的重要水源,被称为“昆明头上的一碗水”,水库周边遍布森林与湿地,呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷.如图,大坝某段横截面迎水坡AB的坡度i=1∶2(坡度i=),若坝高BC=30 m,则坡面AB的长度约为 ( )
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24)
A.52 m B.60 m C.67 m D.90 m
3.如图,河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶,AC=10 m,则tan∠A= ,坡面AB的长度是 .
4.(2024·晋中模拟)如图是一个水坝的横截面示意图(AD∥BC),迎水坡AB的坡比i=1∶3,坡面长AB=30米,背水坡CD的坡角∠BCD=45°,则背水坡坡面CD长是 米.
5.(2024·长沙模拟)学校组织学生参加劳动实践活动,休息时小明发现,坡角为∠BCD的斜坡上有一棵垂直于水平地面的树AB(如图所示),当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时,在斜坡上的树影为BC,经测量BC长为10米,∠BCD=18.34°,求树AB的高约为多少米 (参考数据:sin 18.34°≈0.314,cos 18.34°≈0.949,结果精确到0.1米)
6.如图是一防洪堤背水坡的横截面,斜坡AB的长为12 m,它的坡角度数为45°.为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡度为1∶的斜坡AD,在CB方向距点B6 m处有一座房屋.(参考数据:≈2.45,≈1.414)
(1)求∠DAB的度数;
(2)在改造背水坡的施工过程中,此房屋是否需要拆除 并说明理由.
【B层 能力进阶】
7.(2024·金华模拟)如图,某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡AD与水平方向的夹角为α(0°<α<90°),地下停车场层高CD=3米,则在停车场的入口处,可通过汽车的最大高度是( )
A.3米 B.米
C.3sin α米 D.3cos α米
8.(2024·福州期中)如图,为确定某隧道AB的长度,在建设中测量人员在离地面2 700米高度C处的飞机上,测得正前方A点处的俯角为60°,BC的坡比为1∶,则隧道AB的长为 (结果保留根号).
9.如图,在河流两边有甲、乙两座山,现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线.已知甲山上A点到河边C点的距离AC=130米,点A到CD的垂直高度为120米;乙山BD的坡比为4∶3,乙山上B点到河边D点的距离BD=450米,从B处看A处的俯角为25°.(参考值:sin 25°≈0.423,cos 25°≈0.906,tan 25°≈0.466)
(1)求乙山B处到河边CD的垂直距离;
(2)求河CD的宽度.(结果保留整数)
【C层 创新挑战（选做）】
10.(推理能力、运算能力、应用意识)(2023·连云港中考)渔湾是国家“AAAA”级风景区,图1是景区游览的部分示意图.如图2,小卓从九孔桥A处出发,沿着坡角为48°的山坡向上走了92 m到达B处的三龙潭瀑布,再沿坡角为37°的山坡向上走了30 m到达C处的二龙潭瀑布.求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米 (结果精确到0.1 m)
(参考数据:sin 48°≈0.74,cos 48°≈0.67,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80) 解直角三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 解直角三角形的应用——仰角、俯角
1.如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D点处测得标志物的仰角为α,若点D到电线杆底部点B的距离为a米,则电线杆AB的长可表示为 ( )
A.米 B.米
C.2a·cos α米 D.2a·tan α米
2.(2024·南充模拟)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为37米,当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为 ( )
A.15米 B.(37-15)米
C.(45-15)米 D.22.5米
3.(易错警示题·因概念不清画图不准而出错)(2024·北京期末)某人在大厦一层乘坐观光电梯,看到大厦外一棵树上的鸟巢,仰角为30°,到达大厦的第五层后,再看这个鸟巢,俯角为60°,已知大厦的层高均为4 m,则这棵树与大厦的距离为
m.
4.在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°,综合楼的高度为24米,则办公楼的高度约是 米.(结果精确到0.1,参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,≈1.73)
5.如图载人飞船从地面O处成功发射,当飞船到达点A时,地面D处的雷达站测得AD=4 000米,仰角为30°,3秒后,飞船直线上升到达点B处,此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.点O,C,D在同一直线上,已知C,D两处相距460米,则飞船从A到B处的平均速度约为 米/秒.(结果精确到1米;参考数据:≈1.732,≈1.414)
6.(2024·衡阳模拟)如图是长沙九龙仓国际金融中心,中心主楼BC高452 m,是目前湖南省第一高楼,大楼顶部有一发射塔AB,已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE,在楼DE的底端D点测得A的仰角为α,tan α=,在顶端E点测得A的仰角为45°,AE=140 m,求发射塔AB的高度.
7.(2023·菏泽中考)无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示,某人利用无人机测量大楼的高度BC,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点80米,点A处的俯角为60°,楼顶C点处的俯角为30°,已知点A与大楼的距离AB为70米(点A,B,C,P在同一平面内),求大楼的高度BC(结果保留根号).
【B层 能力进阶】
8. (2023·衢州中考)如图,一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上,调节杆BC=a,AB=b,AB的最大仰角为α.当∠C=45°时,点A到桌面的最大高度是 ( )
A.a+ B.a+
C.a+bcos α D.a+bsin α
9.(2023·日照中考)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3 m,则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73) ( )
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
10. (2023·黄石中考)如图,某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处,此时飞行高度AC=1 200米,从飞机上看到点B的俯角为37°,飞机保持飞行高度不变,且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D时,地面目标此时运动到点E处,从点E看到点D的仰角为47.4°,则地面目标运动的距离BE约为 米. (参考数据:tan 37°≈,tan 47.4°≈ )
11.“快舟·湖北交广号”火箭发射成功(如图1),实现了2024年中国航天发射“开门红”.其发射过程示意图如图2.火箭从地面A处发射,前10 s以44 m/s的平均速度竖直上升到达点B.此时在雷达站P处测得的火箭仰角为6°.火箭再继续上升10 s后到达C处,此时在雷达站P处测得的火箭仰角为51°.求火箭在BC段的平均速度.(参考数据:sin 6°≈0.10,cos 6°≈0.99,tan 6°≈0.11,sin 51°≈0.78,cos 51°≈0.63,
tan 51°≈1.235)
12.(2023·襄阳中考)在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像.某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动,测量诸葛亮铜像的高度.如图,在点C处,探测器显示,热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32 m,从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°,看铜像底部B的俯角为63.4°.已知底座BD的高度为4 m,求铜像AB的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,≈1.41)
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、运算能力、应用意识)(2023·淮安中考)根据以下材料,完成项目任务.
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量 工具 测角仪、皮尺等
测量 说明:点Q为古塔底面圆圆心,测角仪高度AB=CD=1.5 m,在B,D处分别测得古塔顶端的仰角为32°,45°,BD=9 m,测角仪CD所在位置与古塔底部边缘距离DG=12.9 m.点B,D,G,Q在同一条直线上.
参考 数据 sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848, tan 32°≈0.625
项目 任务 (1)求古塔的高度. (2)求古塔底面圆的半径. 解直角三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 解直角三角形的应用——仰角、俯角
1.如图,电线杆AB的中点C处有一标志物,在地面D点处测得标志物的仰角为α,若点D到电线杆底部点B的距离为a米,则电线杆AB的长可表示为 (D)
A.米 B.米
C.2a·cos α米 D.2a·tan α米
2.(2024·南充模拟)数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度,已知无人机的飞行高度为37米,当无人机与旗杆的水平距离是45米时,观测旗杆顶部的俯角为30°,则旗杆的高度约为 (B)
A.15米 B.(37-15)米
C.(45-15)米 D.22.5米
3.(易错警示题·因概念不清画图不准而出错)(2024·北京期末)某人在大厦一层乘坐观光电梯,看到大厦外一棵树上的鸟巢,仰角为30°,到达大厦的第五层后,再看这个鸟巢,俯角为60°,已知大厦的层高均为4 m,则这棵树与大厦的距离为
4 m.
4.在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°,综合楼的高度为24米,则办公楼的高度约是 10.4 米.(结果精确到0.1,参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,≈1.73)
5.如图载人飞船从地面O处成功发射,当飞船到达点A时,地面D处的雷达站测得AD=4 000米,仰角为30°,3秒后,飞船直线上升到达点B处,此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.点O,C,D在同一直线上,已知C,D两处相距460米,则飞船从A到B处的平均速度约为 335 米/秒.(结果精确到1米;参考数据:≈1.732,≈1.414)
6.(2024·衡阳模拟)如图是长沙九龙仓国际金融中心,中心主楼BC高452 m,是目前湖南省第一高楼,大楼顶部有一发射塔AB,已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE,在楼DE的底端D点测得A的仰角为α,tan α=,在顶端E点测得A的仰角为45°,AE=140 m,求发射塔AB的高度.
【解析】过点E作EF⊥AC于点F,
∵∠AEF=45°,AE=140 m,∴EF=140 m,
由矩形的性质可知CD=EF=140 m,
∴在Rt△ADC中,tan α=,∴AC=140×=480(m),∴AB=AC-BC=480-452=28(m),
答:发射塔AB的高度为28 m.
7.(2023·菏泽中考)无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所示,某人利用无人机测量大楼的高度BC,无人机在空中点P处,测得点P距地面上A点80米,点A处的俯角为60°,楼顶C点处的俯角为30°,已知点A与大楼的距离AB为70米(点A,B,C,P在同一平面内),求大楼的高度BC(结果保留根号).
【解析】如图所示:
过P作PH⊥AB于H,过C作CQ⊥PH于Q,∵CB⊥AB,
∴四边形CQHB是矩形,
∴QH=BC,BH=CQ,
由题意可得AP=80米,∠PAH=60°,∠PCQ=30°,AB=70米,
∴PH=APsin 60°=80×=40(米),
AH=APcos 60°=40米,
∴CQ=BH=70-40=30(米),
∴PQ=CQ·tan 30°=10米,
∴BC=QH=40-10=30(米),
答:大楼的高度BC为30米.
【B层 能力进阶】
8. (2023·衢州中考)如图,一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上,调节杆BC=a,AB=b,AB的最大仰角为α.当∠C=45°时,点A到桌面的最大高度是 (D)
A.a+ B.a+
C.a+bcos α D.a+bsin α
9.(2023·日照中考)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3 m,则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73) (B)
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
10. (2023·黄石中考)如图,某飞机于空中A处探测到某地面目标在点B处,此时飞行高度AC=1 200米,从飞机上看到点B的俯角为37°,飞机保持飞行高度不变,且与地面目标分别在两条平行直线上同向运动.当飞机飞行943米到达点D时,地面目标此时运动到点E处,从点E看到点D的仰角为47.4°,则地面目标运动的距离BE约为 423 米. (参考数据:tan 37°≈,tan 47.4°≈ )
11.“快舟·湖北交广号”火箭发射成功(如图1),实现了2024年中国航天发射“开门红”.其发射过程示意图如图2.火箭从地面A处发射,前10 s以44 m/s的平均速度竖直上升到达点B.此时在雷达站P处测得的火箭仰角为6°.火箭再继续上升10 s后到达C处,此时在雷达站P处测得的火箭仰角为51°.求火箭在BC段的平均速度.(参考数据:sin 6°≈0.10,cos 6°≈0.99,tan 6°≈0.11,sin 51°≈0.78,cos 51°≈0.63,
tan 51°≈1.235)
【解析】由题可知AB=44×10=440(m).
设火箭在BC段的平均速度为v,则BC=10v,在Rt△ABP中,∠BPA=6°,∵tan∠BPA=,
∴AP=≈=4 000(m),
在Rt△ACP中,∠CPA=51°,
∵tan∠CPA=,∴AC=AP·tan 51°≈4 000×1.235=4 940(m),
∴v===450(m/s).
答:火箭在BC段的平均速度为450 m/s.
12.(2023·襄阳中考)在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像.某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动,测量诸葛亮铜像的高度.如图,在点C处,探测器显示,热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE为32 m,从热气球C看铜像顶部A的俯角为45°,看铜像底部B的俯角为63.4°.已知底座BD的高度为4 m,求铜像AB的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,≈1.41)
【解析】∵矩形BDEF中有EF=BD=4 m,CE=32 m,
∴CF=32-4=28(m),
∵tan∠CBF=tan 63.4°=,
∴2≈,即BF=14 m,
∴CG=BF=14 m,
∵∠GCA=45°,
∴AG=GC=14 m,
∴AB=BG-AG=CF-AG=28-14=14(m).
答:铜像AB的高度约为14 m.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(推理能力、运算能力、应用意识)(2023·淮安中考)根据以下材料,完成项目任务.
项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量 工具 测角仪、皮尺等
测量 说明:点Q为古塔底面圆圆心,测角仪高度AB=CD=1.5 m,在B,D处分别测得古塔顶端的仰角为32°,45°,BD=9 m,测角仪CD所在位置与古塔底部边缘距离DG=12.9 m.点B,D,G,Q在同一条直线上.
参考 数据 sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848, tan 32°≈0.625
项目 任务 (1)求古塔的高度. (2)求古塔底面圆的半径.
【解析】(1)如图,延长AC交PQ于点H.
由题意可知AH∥BQ,AC=BD=9 m,CH=DQ,HQ=AB=1.5 m.
∵∠PCH=45°,∴CH=PH,
在Rt△PAH中,tan 32°==,
即0.625≈,
解得PH=15 m,
∴PQ=PH+HQ=15+1.5=16.5(m).
故古塔的高度为16.5 m.
(2)由(1)得DQ=CH=PH=15 m.
∵DG=12.9 m,∴GQ=DQ-DG=15-12.9=2.1(m),
故古塔底面圆的半径为2.1 m. 解直角三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AB=2,则∠B等于 (C)
A.15° B.20° C.30° D.60°
2.(2024·上海期中)已知平面直角坐标系xOy中,第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α,点P在射线OA上,如果cos α=,且OP=5,那么点P的坐标是 (B)
A.(3,4) B.(4,3) C.(3,5) D.(5,3)
3.(2024·连云港期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=10,则△ABC的面积为 .
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=,解这个直角三角形.
【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=,
∴BC==,
∵sin A===,
∴∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
知识点2 解直角三角形的简单应用
5.如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米,小球在左、右两个最高位置时,细绳相应所成的∠AOB为40°,那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为(D)
A.50(1-sin 40°)厘米 B.50(1-cos 40°)厘米
C.50(1-sin 20°)厘米 D.50(1-cos 20°)厘米
6.(2023·武汉模拟)图1是一种折叠式晾衣架,晾衣时,该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=10分米,晾衣臂(OA)撑开时与支脚(OC)的夹角∠AOC=105°,则点A到地面的距离AM为 分米.(结果保留根号)
知识点3 解直角三角形的应用——方向角
7.如图为东西流向且河岸平行的一段河道,点A,B分别为两岸上一点,且点B在点A正北方向,由点A向正东方向走a米到达点C,此时测得点B在点C的北偏西55°方向上,则河宽AB的长为 (D)
A.atan 55°米 B.米
C.米 D.米
8. (2024·淄博期中)“淄博烧烤”火了,许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤.如图,济南的小李乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时,在距离铁轨200米的B处,观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的动车.他观察到,当动车车头在A处时,恰好位于B处的北偏东60°方向上;10秒钟后,动车车头到达C处,恰好位于B处的西北方向上.小李根据所学知识求得,这时段该动车的平均速度是 米/秒.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,则AB的长是 (C)
A.4 B.3+ C.5 D.2+2
10.如图,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离是(D)
A.10 km B.30 km
C.40 km D.50 km
11. (2023·武汉中考)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm(结果精确到0.1 cm,参考数据sin 37°≈0.60,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).
12.(易错警示题·概念不清,未分类讨论,遗漏情况)在△ABC中,∠A=45°,AB=4,
BC=,则AC= .
13.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠BAC=75°,AB=2.点D在BC的延长线上,且CD=CA,连结AD.
(1)求BC;
(2)求tan D.
【解析】(1)如图,作AE⊥BC于点E,
∴∠AEB=∠AED=90°,
∵∠B=60°,∴∠BAE=30°.∵AB=2,
∴BE=AB=1,AE==.
∵∠BAC=75°,∴∠EAC=45°,∴∠ACE=45°,∴EC=AE=,∴BC=BE+EC=1+.
(2)∵EC=AE=,∴AC=AE=,
∴CD=CA=,∴DE=+,
∴tanD===-1.
【C层 创新挑战】
14.(推理能力、运算能力、应用意识)(2023·海南中考)如图,一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上,轮船沿着正北方向航行20海里到达B处,测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上,测得港口C位于B的北偏东45°方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.
(1)填空:∠AMB=______°,∠BCM=______°;
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号);
(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).
【解析】分别过点C,M作CD⊥AB,ME⊥AB,垂足分别为D,E.
(1)∵∠DBM=∠A+∠AMB=60°,∠A=30°,
∴∠AMB=30°.
由题可知AB∥CM.
∵∠DBC=45°,
∴∠BCM=45°.
答案:30 45
(2)由(1)知∠A=∠AMB,
∴AB=BM=20海里.
在Rt△EBM中,sin∠EBM=,
∴EM=sin∠EBM·BM=sin 60°×20=×20=10(海里).
答:灯塔M到轮船航线AB的距离为10海里.
(3)∵CD⊥AB,ME⊥AB,AB∥CM,
∴四边形DEMC是矩形,
∴CD=EM=10海里,DE=CM.
在Rt△CDB中,
∵∠DBC=45°,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC=10海里.
在Rt△EMB中,cos∠EBM=,
∴EB=cos∠EBM·BM=cos 60°×20=×20=10(海里),
∴CM=DE=DB-EB=10-10=10(-1)海里.
答:港口C与灯塔M的距离为10(-1)海里. 解直角三角形(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点 解直角三角形的应用——坡度、坡角
1.斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度.如图,斜坡AB的斜面坡度为 (D)
A.1∶4 B.4∶1 C.∶1 D.1∶
2.(2024·昆明模拟)松华坝水库地处昆明北郊,是昆明市的重要水源,被称为“昆明头上的一碗水”,水库周边遍布森林与湿地,呈现出一幅纯净自然的和谐生态画卷.如图,大坝某段横截面迎水坡AB的坡度i=1∶2(坡度i=),若坝高BC=30 m,则坡面AB的长度约为 (C)
(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24)
A.52 m B.60 m C.67 m D.90 m
3.如图,河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶,AC=10 m,则tan∠A= ,坡面AB的长度是 m .
4.(2024·晋中模拟)如图是一个水坝的横截面示意图(AD∥BC),迎水坡AB的坡比i=1∶3,坡面长AB=30米,背水坡CD的坡角∠BCD=45°,则背水坡坡面CD长是 6 米.
5.(2024·长沙模拟)学校组织学生参加劳动实践活动,休息时小明发现,坡角为∠BCD的斜坡上有一棵垂直于水平地面的树AB(如图所示),当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时,在斜坡上的树影为BC,经测量BC长为10米,∠BCD=18.34°,求树AB的高约为多少米 (参考数据:sin 18.34°≈0.314,cos 18.34°≈0.949,结果精确到0.1米)
【解析】如图,
由题意得AD⊥CD,∠FAE=45°,AE∥CD,
∴∠FAE=∠ACD=45°,
在Rt△BCD中,BC=10米,∠BCD=18.34°,
∴BD=BC·sin 18.34°≈10×0.314=3.14米,CD=BC·cos 18.34°≈10×0.949=9.49米,
在Rt△ACD中,AD=CD·tan 45°=9.49(米),
∴AB=AD-BD=9.49-3.14≈6.4(米),
答:树AB的高约为6.4米.
6.如图是一防洪堤背水坡的横截面,斜坡AB的长为12 m,它的坡角度数为45°.为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡度为1∶的斜坡AD,在CB方向距点B6 m处有一座房屋.(参考数据:≈2.45,≈1.414)
(1)求∠DAB的度数;
(2)在改造背水坡的施工过程中,此房屋是否需要拆除 并说明理由.
【解析】(1)∵斜坡AD的坡度为1∶,
∴tan∠ADC===,
∴∠ADC=30°,
∴∠DAC=60°,
∵AB的坡角为45°,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∴∠DAB=60°-45°=15°.
(2)∵AB=12 m,∠BAC=∠ABC=45°,
∴BC=AC=×12=6(m),
∵tan 30°==,
解得DC=6 m,
故DB=DC-BC=6-6≈6.216(m),
∵6.216>6,∴此处房屋需要拆除.
【B层 能力进阶】
7.(2024·金华模拟)如图,某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡AD与水平方向的夹角为α(0°<α<90°),地下停车场层高CD=3米,则在停车场的入口处,可通过汽车的最大高度是(D)
A.3米 B.米
C.3sin α米 D.3cos α米
8.(2024·福州期中)如图,为确定某隧道AB的长度,在建设中测量人员在离地面2 700米高度C处的飞机上,测得正前方A点处的俯角为60°,BC的坡比为1∶,则隧道AB的长为 1 800米 (结果保留根号).
9.如图,在河流两边有甲、乙两座山,现在从甲山A处的位置向乙山B处拉电线.已知甲山上A点到河边C点的距离AC=130米,点A到CD的垂直高度为120米;乙山BD的坡比为4∶3,乙山上B点到河边D点的距离BD=450米,从B处看A处的俯角为25°.(参考值:sin 25°≈0.423,cos 25°≈0.906,tan 25°≈0.466)
(1)求乙山B处到河边CD的垂直距离;
(2)求河CD的宽度.(结果保留整数)
【解析】(1)过B作BF⊥CD于点F,
∵乙山BD的坡比为4∶3,
∴=,
设BF=4t米,则DF=3t米,
∴BD===5t(米),
∴5t=450,
解得t=90,
∴BF=360米,DF=270米.
答:乙山B处到河边CD的垂直距离为360米.
(2)过A作AE⊥CD于点E,AH⊥BF于点H,则四边形AEFH为矩形,
∴HF=AE=120米,AH=EF,
∴BH=BF-HF=360-120=240(米),
∵从B处看A处的俯角为25°,
∴∠BAH=25°,
在Rt△ABH中,tan∠BAH=,
∴AH=≈≈515.0米,
∴EF=AH≈515.0米,
在Rt△ACE中,由勾股定理得,CE===50(米),
由(1)可知,DF=270米,
∴CD=EF-CE-DF≈515.0-50-270=195(米),
答:河CD的宽度约为195米.
【C层 创新挑战（选做）】
10.(推理能力、运算能力、应用意识)(2023·连云港中考)渔湾是国家“AAAA”级风景区,图1是景区游览的部分示意图.如图2,小卓从九孔桥A处出发,沿着坡角为48°的山坡向上走了92 m到达B处的三龙潭瀑布,再沿坡角为37°的山坡向上走了30 m到达C处的二龙潭瀑布.求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米 (结果精确到0.1 m)
(参考数据:sin 48°≈0.74,cos 48°≈0.67,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80)
【解析】如图,过点B作BE⊥AD于E,
在Rt△ABE中,sin ∠BAE=,∴BE=ABsin ∠BAE=92×sin 48°≈92×0.74=68.08(m),过点B作BF⊥CD于F,
在Rt△CBF中,sin ∠CBF=,
∴CF=BC×sin ∠CBF≈30×0.6=18(m),
∵FD=BE=68.08 m,∴DC=FD+CF=68.08+18=86.08≈86.1 m.
答:从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC约为86.1 m. 解直角三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 解直角三角形
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AB=2,则∠B等于 (C)
A.15° B.20° C.30° D.60°
2.(2024·上海期中)已知平面直角坐标系xOy中,第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α,点P在射线OA上,如果cos α=,且OP=5,那么点P的坐标是 (B)
A.(3,4) B.(4,3) C.(3,5) D.(5,3)
3.(2024·连云港期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=10,则△ABC的面积为 24 .
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=,解这个直角三角形.
【解析】在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=,
∴BC==,
∵sin A===,
∴∠A=30°,
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
知识点2 解直角三角形的简单应用
5.如图,一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米,小球在左、右两个最高位置时,细绳相应所成的∠AOB为40°,那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为(D)
A.50(1-sin 40°)厘米 B.50(1-cos 40°)厘米
C.50(1-sin 20°)厘米 D.50(1-cos 20°)厘米
6.(2023·武汉模拟)图1是一种折叠式晾衣架,晾衣时,该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=10分米,晾衣臂(OA)撑开时与支脚(OC)的夹角∠AOC=105°,则点A到地面的距离AM为 (5+5) 分米.(结果保留根号)
知识点3 解直角三角形的应用——方向角
7.如图为东西流向且河岸平行的一段河道,点A,B分别为两岸上一点,且点B在点A正北方向,由点A向正东方向走a米到达点C,此时测得点B在点C的北偏西55°方向上,则河宽AB的长为 (D)
A.atan 55°米 B.米
C.米 D.米
8. (2024·淄博期中)“淄博烧烤”火了,许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤.如图,济南的小李乘坐高铁由济南来淄博吃烧烤时,在距离铁轨200米的B处,观察他所乘坐的由济南经过淄博开往青岛的动车.他观察到,当动车车头在A处时,恰好位于B处的北偏东60°方向上;10秒钟后,动车车头到达C处,恰好位于B处的西北方向上.小李根据所学知识求得,这时段该动车的平均速度是 20(+1) 米/秒.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B=,AC=2,则AB的长是 (C)
A.4 B.3+ C.5 D.2+2
10.如图,一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离是(D)
A.10 km B.30 km
C.40 km D.50 km
11. (2023·武汉中考)如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 2.7 cm(结果精确到0.1 cm,参考数据sin 37°≈0.60,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).
12.(易错警示题·概念不清,未分类讨论,遗漏情况)在△ABC中,∠A=45°,AB=4,
BC=,则AC= 5或3 .
13.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠BAC=75°,AB=2.点D在BC的延长线上,且CD=CA,连结AD.
(1)求BC;
(2)求tan D.
【解析】(1)如图,作AE⊥BC于点E,
∴∠AEB=∠AED=90°,
∵∠B=60°,∴∠BAE=30°.∵AB=2,
∴BE=AB=1,AE==.
∵∠BAC=75°,∴∠EAC=45°,∴∠ACE=45°,∴EC=AE=,∴BC=BE+EC=1+.
(2)∵EC=AE=,∴AC=AE=,
∴CD=CA=,∴DE=+,
∴tanD===-1.
【C层 创新挑战】
14.(推理能力、运算能力、应用意识)(2023·海南中考)如图,一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30°方向上,轮船沿着正北方向航行20海里到达B处,测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上,测得港口C位于B的北偏东45°方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.
(1)填空:∠AMB=______°,∠BCM=______°;
(2)求灯塔M到轮船航线AB的距离(结果保留根号);
(3)求港口C与灯塔M的距离(结果保留根号).
【解析】分别过点C,M作CD⊥AB,ME⊥AB,垂足分别为D,E.
(1)∵∠DBM=∠A+∠AMB=60°,∠A=30°,
∴∠AMB=30°.
由题可知AB∥CM.
∵∠DBC=45°,
∴∠BCM=45°.
答案:30 45
(2)由(1)知∠A=∠AMB,
∴AB=BM=20海里.
在Rt△EBM中,sin∠EBM=,
∴EM=sin∠EBM·BM=sin 60°×20=×20=10(海里).
答:灯塔M到轮船航线AB的距离为10海里.
(3)∵CD⊥AB,ME⊥AB,AB∥CM,
∴四边形DEMC是矩形,
∴CD=EM=10海里,DE=CM.
在Rt△CDB中,
∵∠DBC=45°,
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC=10海里.
在Rt△EMB中,cos∠EBM=,
∴EB=cos∠EBM·BM=cos 60°×20=×20=10(海里),
∴CM=DE=DB-EB=10-10=10(-1)海里.
答:港口C与灯塔M的距离为10(-1)海里.
