频率与概率(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用频率估计概率
1.(2023·恩施州中考)县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率,所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示:
移植的 棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的 棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的 频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息,估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1) ( )
A.0.905 B.0.90 C.0.9 D.0.8
2.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图,由此可估计这种树苗移植成活的概率为( )
A.0.95 B.0.90 C.0.85 D.0.80
3.某植物种子在相同的条件下发芽试验的结果如表:
每批粒数 50 100 300 400 500 1 000
发芽的频数 45 96 283 380 474 948
则该植物种子发芽的概率的估计值是 .(结果精确到0.01)
知识点2 频率估计概率的应用
4.在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球,它们除颜色外其他完全相同,通过多次摸球试验后发现,摸到白球的频率稳定在20%,则口袋中红球可能有 ( )
A.4个 B.8个 C.12个 D.16个
5.一个纸箱中装有若干白色和黄色的乒乓球,共计20个,这些球除颜色外都相同,将球搅匀,每次从中随机摸出一个球,记下颜色后放回、搅匀再摸球,通过大量重复摸球试验后,将摸到白球的频率绘制成如图所示的统计图,由此可估计纸箱中白球的个数为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
6.欢欢将杭州高新实验学校的二维码打印在面积为900 cm2的正方形纸上,如图所示,为了估计图中黑色部分的面积,他在纸内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6,据此可以估计黑色部分的面积为 cm2.
【B层 能力进阶】
7.如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果,下面有四个推断,其中最合理的是 ( )
A.当投掷次数是1 000时,计算机记录“凸面向上”的频率是0.443,所以“凸面向上”的概率是0.443
B.若再次用计算机模拟此试验,则当投掷次数为1 000时,“凸面向上”的频率一定是0.443
C.随着试验次数的增加,“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D.当投掷次数是5 000次以上时,“凸面向上”的频率一定是0.440
8.圆周率π是无限不循环小数.历史上,祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.有学者发现,随着π小数部分位数的增加,0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同,从π的小数部分随机取出一个数字,估计数字是6的概率为 .
9.某市林业局为考察一种花卉移植的成活率,对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计,并绘制了如图所示的统计图.
请你根据统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)这种花卉成活的频率稳定在_______,估计成活概率为_______.(精确到0.1)
(2)该林业局已经移植这种花卉20 000棵.
①估计这批花卉成活的棵数;
②根据市政规划共需要成活90 000棵这种花卉,估计还需要移植多少棵
【C层 创新挑战（选做）】
10.(推理能力、运算能力、应用意识)
(2024·保定期末)如图是一个可以自由转动的转盘,它被分成了6个面积相等的扇形区域.数学小组的学生做转盘试验:转动转盘,当转盘停止转动时,记录下指针所指区域的颜色,不断重复这个过程,获得数据如下:
转动转 盘的次 数 200 300 400 1 000 1 600 2 000
转到 黄色 区域 的频数 72 93 130 334 532 667
转到 黄色 区域 的频率 0.36 m 0.325 n 0.332 5 0.333 5
(1)下列说法错误的是______(填写序号).
①转动转盘8次,指针都指向绿色区域,所以第9次转动时指针一定指向绿色区域;
②转动15次,指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数;
③转动60次,指针指向蓝色区域的次数一定为10.
(2)求表中m,n的值,并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率(精确到0.1);
(3)修改转盘的颜色分布情况,使指针指向每种颜色的可能性相同,写出一种方案即可. 频率与概率(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用频率估计概率
1.(2023·恩施州中考)县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率,所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示:
移植的 棵数a 100 300 600 1 000 7 000 15 000
成活的 棵数b 84 279 505 847 6 337 13 581
成活的 频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息,估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1) (C)
A.0.905 B.0.90 C.0.9 D.0.8
2.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成统计图,由此可估计这种树苗移植成活的概率为(B)
A.0.95 B.0.90 C.0.85 D.0.80
3.某植物种子在相同的条件下发芽试验的结果如表:
每批粒数 50 100 300 400 500 1 000
发芽的频数 45 96 283 380 474 948
则该植物种子发芽的概率的估计值是 0.95 .(结果精确到0.01)
知识点2 频率估计概率的应用
4.在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球,它们除颜色外其他完全相同,通过多次摸球试验后发现,摸到白球的频率稳定在20%,则口袋中红球可能有 (D)
A.4个 B.8个 C.12个 D.16个
5.一个纸箱中装有若干白色和黄色的乒乓球,共计20个,这些球除颜色外都相同,将球搅匀,每次从中随机摸出一个球,记下颜色后放回、搅匀再摸球,通过大量重复摸球试验后,将摸到白球的频率绘制成如图所示的统计图,由此可估计纸箱中白球的个数为 (C)
A.4 B.6 C.8 D.10
6.欢欢将杭州高新实验学校的二维码打印在面积为900 cm2的正方形纸上,如图所示,为了估计图中黑色部分的面积,他在纸内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6,据此可以估计黑色部分的面积为 540 cm2.
【B层 能力进阶】
7.如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果,下面有四个推断,其中最合理的是 (C)
A.当投掷次数是1 000时,计算机记录“凸面向上”的频率是0.443,所以“凸面向上”的概率是0.443
B.若再次用计算机模拟此试验,则当投掷次数为1 000时,“凸面向上”的频率一定是0.443
C.随着试验次数的增加,“凸面向上”的频率总在0.440附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“凸面向上”的概率是0.440
D.当投掷次数是5 000次以上时,“凸面向上”的频率一定是0.440
8.圆周率π是无限不循环小数.历史上,祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究.有学者发现,随着π小数部分位数的增加,0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同,从π的小数部分随机取出一个数字,估计数字是6的概率为 .
9.某市林业局为考察一种花卉移植的成活率,对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计,并绘制了如图所示的统计图.
请你根据统计图提供的信息,回答下列问题:
(1)这种花卉成活的频率稳定在_______,估计成活概率为_______.(精确到0.1)
(2)该林业局已经移植这种花卉20 000棵.
①估计这批花卉成活的棵数;
②根据市政规划共需要成活90 000棵这种花卉,估计还需要移植多少棵
【解析】(1)由题图可知,这种花卉成活的频率稳定在0.9,估计成活概率为0.9.
答案:0.9 0.9
(2)①20 000×0.9=18 000(棵),
答:这批花卉成活棵数约为18 000.
②90 000÷0.9-20 000=80 000(棵),
答:估计还要移植80 000棵.
【C层 创新挑战（选做）】
10.(推理能力、运算能力、应用意识)
(2024·保定期末)如图是一个可以自由转动的转盘,它被分成了6个面积相等的扇形区域.数学小组的学生做转盘试验:转动转盘,当转盘停止转动时,记录下指针所指区域的颜色,不断重复这个过程,获得数据如下:
转动转 盘的次 数 200 300 400 1 000 1 600 2 000
转到 黄色 区域 的频数 72 93 130 334 532 667
转到 黄色 区域 的频率 0.36 m 0.325 n 0.332 5 0.333 5
(1)下列说法错误的是______(填写序号).
①转动转盘8次,指针都指向绿色区域,所以第9次转动时指针一定指向绿色区域;
②转动15次,指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数;
③转动60次,指针指向蓝色区域的次数一定为10.
(2)求表中m,n的值,并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率(精确到0.1);
(3)修改转盘的颜色分布情况,使指针指向每种颜色的可能性相同,写出一种方案即可.
【解析】(1)①转动转盘8次,指针都指向绿色区域,所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域,故说法错误;②转动15次,指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数,故说法正确;③转动60次,指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10,故说法错误;
答案:①③
(2)m==0.31,n==0.334,随着转动次数的增加,估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率为0.3;
(3)将1个绿色区域改为蓝色区域,能使指针指向每种颜色区域的可能性相同.(答案不唯一) 频率与概率(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用列表法或画树状图法求简单事件的概率
1.(2024·西安期末)春节是中华民族的传统节日,在春节期间,全国各地都会举行各种贺岁活动,有剪窗花、贴春联、挂灯笼、放鞭炮、包饺子等,种类丰富多样.春节临近,姐姐和妹妹计划在除夕这天帮爸爸妈妈一起准备迎接新年的到来.姐姐在两张完全相同的纸条上分别写上剪窗花、贴春联,然后将两张纸条分别揉成团,装在一个不透明的袋子里,摇匀后,妹妹先从这两个纸团中随机抓取一个,放回,姐姐再随机抓取一个纸团,姐妹两人抓取的纸团恰好都是贴春联的概率是 (A)
A. B. C. D.1
2.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是 .
知识点2 用面积法求概率
3.如图将一个飞镖随机投掷到3×5的方格纸中,则飞镖落在阴影部分的概率为 (B)
A. B. C. D.
4.如图,一个游戏转盘中,红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°,90°,210°.让转盘自由转动,转盘停止后指针(指针指向分隔线,则重新转动转盘)落在红色区域的概率是 (C)
A. B. C. D.
5.(2024·达州期末)如图,甲、乙两个转盘转动一次,最终指针指向红色区域的可能性的大小关系:P甲 = P乙(填“>”“<”或“=”).
6.如图,在正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长2为半径画弧,形成阴影部分的树叶形图案.(计算时π取3)
(1)求阴影部分的面积;
(2)若在正方形ABCD中随机撒一粒豆子,求豆子落在阴影区域内的概率.(豆子落在弧上不计)
【解析】(1)S树叶形图案=2S扇形-S正方形≈2×-22=2;
(2)P(豆子落在阴影区域)==.
【B层 能力进阶】
7.不透明的袋子中装有两个小球,上面分别写着“0”“1”,除数字外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之积为0的概率是 (A)
A. B. C. D.
8.(2023·遂宁中考)为增强班级凝聚力,吴老师组织开展了一次主题班会.班会上,他设计了一个如图的飞镖靶盘,靶盘由两个同心圆构成,小圆半径为10 cm,大圆半径为20 cm,每个扇形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的,那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘,则重投1次),投中“免一次作业”的概率是 (B)
A. B. C. D.
9.(2023·烟台中考)如图,在正方形中,阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心,以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动,小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为P1,停在空白部分的概率为P2,则P1与P2的大小关系为 (B)
A.P1
C.P1>P2 D.无法判断
10.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连结DE,EF,FD,在△ABC区域内任取一点,则这一点落在△DEF区域内的概率为 .
11.向如图所示的正三角形区域内扔沙包(区域中每个小正三角形除颜色外完全相同),沙包随机落在某个正三角形内.
(1)扔沙包一次,落在图中阴影区域的概率是______.
(2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为,还要涂黑几个小正三角形 请在图中画出.
【解析】(1)因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是=,
所以扔沙包1次落在阴影区域的概率等于.
答案:
(2)如图所示:要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为,还要涂黑2个小正三角形(涂法不唯一).
【C层 创新挑战（选做）】
12.(推理能力、运算能力)如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面,在一个9×9的小方格的正方形雷区中,随机埋藏着10颗地雷,每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷.小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格,该方格中出现了数字“3”,其意义表示该格的外围区域(图中阴影部分,记为A区域)有3颗地雷;接着,小红又点击了左上角第一个方格,出现了数字“1”,其外围区域(图中阴影部分)记为B区域;“A区域与B区域以及出现数字‘1’和‘3’两格”以外的部分记为C区域.小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷,那么她应点击A,B,C中的哪个区域 请说明理由.
【解析】∵P(A)=,P(B)=,P(C)==,
∵P(A)==>P(B)==,P(B)==>P(C)===,
∴P(A)>P(B)>P(C),
∴小红应点击C区域. 频率与概率(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用列表法或画树状图法求简单事件的概率
1.(2024·西安期末)春节是中华民族的传统节日,在春节期间,全国各地都会举行各种贺岁活动,有剪窗花、贴春联、挂灯笼、放鞭炮、包饺子等,种类丰富多样.春节临近,姐姐和妹妹计划在除夕这天帮爸爸妈妈一起准备迎接新年的到来.姐姐在两张完全相同的纸条上分别写上剪窗花、贴春联,然后将两张纸条分别揉成团,装在一个不透明的袋子里,摇匀后,妹妹先从这两个纸团中随机抓取一个,放回,姐姐再随机抓取一个纸团,姐妹两人抓取的纸团恰好都是贴春联的概率是 ( )
A. B. C. D.1
2.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是 .
知识点2 用面积法求概率
3.如图将一个飞镖随机投掷到3×5的方格纸中,则飞镖落在阴影部分的概率为 ( )
A. B. C. D.
4.如图,一个游戏转盘中,红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°,90°,210°.让转盘自由转动,转盘停止后指针(指针指向分隔线,则重新转动转盘)落在红色区域的概率是 ( )
A. B. C. D.
5.(2024·达州期末)如图,甲、乙两个转盘转动一次,最终指针指向红色区域的可能性的大小关系:P甲 P乙(填“>”“<”或“=”).
6.如图,在正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长2为半径画弧,形成阴影部分的树叶形图案.(计算时π取3)
(1)求阴影部分的面积;
(2)若在正方形ABCD中随机撒一粒豆子,求豆子落在阴影区域内的概率.(豆子落在弧上不计)
【B层 能力进阶】
7.不透明的袋子中装有两个小球,上面分别写着“0”“1”,除数字外两个小球无其他差别,从中随机摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,记录其数字,那么两次记录的数字之积为0的概率是 ( )
A. B. C. D.
8.(2023·遂宁中考)为增强班级凝聚力,吴老师组织开展了一次主题班会.班会上,他设计了一个如图的飞镖靶盘,靶盘由两个同心圆构成,小圆半径为10 cm,大圆半径为20 cm,每个扇形的圆心角为60度.如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的,那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘,则重投1次),投中“免一次作业”的概率是 ( )
A. B. C. D.
9.(2023·烟台中考)如图,在正方形中,阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心,以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动,小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为P1,停在空白部分的概率为P2,则P1与P2的大小关系为 ( )
A.P1C.P1>P2 D.无法判断
10.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,连结DE,EF,FD,在△ABC区域内任取一点,则这一点落在△DEF区域内的概率为 .
11.向如图所示的正三角形区域内扔沙包(区域中每个小正三角形除颜色外完全相同),沙包随机落在某个正三角形内.
(1)扔沙包一次,落在图中阴影区域的概率是______.
(2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为,还要涂黑几个小正三角形 请在图中画出.
(2)如图所示:要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为,还要涂黑2个小正三角形(涂法不唯一).
【C层 创新挑战（选做）】
12.(推理能力、运算能力)如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面,在一个9×9的小方格的正方形雷区中,随机埋藏着10颗地雷,每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷.小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格,该方格中出现了数字“3”,其意义表示该格的外围区域(图中阴影部分,记为A区域)有3颗地雷;接着,小红又点击了左上角第一个方格,出现了数字“1”,其外围区域(图中阴影部分)记为B区域;“A区域与B区域以及出现数字‘1’和‘3’两格”以外的部分记为C区域.小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷,那么她应点击A,B,C中的哪个区域 请说明理由.