单元质量评价(二)(第22章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·南京期末)下列方程中,是一元二次方程的是 ( )
A.y=2x-1 B.x2=6 C.5xy-1=1 D.2(x+1)=2
2.一元二次方程x2-16=0的解是 ( )
A.x1=2,x2=-2 B.x1=4,x2=-4
C.x1=8,x2=-8 D.x1=16,x2=-16
3.(2023·广安中考)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
4.(2023·永州中考)某县2020年人均可支配收入为2.36万元,2022年达到2.7万元,若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是 ( )
A.2.7(1+x)2=2.36 B.2.36(1+x)2=2.7
C.2.7(1-x)2=2.36 D.2.36(1-x)2=2.7
5.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 ( )
A.-9 B.- C. D.9
6.(2024·青岛期中)如图,某农家乐老板计划在一块长130 m,宽60 m的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘,它们的面积之和为5 750 m2,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓通道的宽度为( )
A.4.5 m B.5 m C.5.5 m D.6 m
7.已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程(x-3)2=4的根,则此三角形的周长为 ( )
A.17 B.11 C.15 D.11或15
8.对于实数a,b,定义运算“※”如下:a※b=a2-ab,例如:5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(3x-2)=3,则x的值为 ( )
A.0 B.-0.5 C.0或-0.5 D.0或0.5
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·南昌期中)若x=1是关于x的方程x2-c=0的一个实数根,则c= .
10.关于x的方程(m-3)-mx+6=0是一元二次方程,则它的一次项系数是 .
11.(2023·遂宁中考)若a,b是一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根,则代数式a+b-ab的值为 .
12.已知关于x的方程(a+1)x2-2x+3=0有实数根,则整数a的最大值是 .
13.在一次足球比赛小组赛中,每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛,主办方共投入使用6个球场,每天每个球场共安排4场比赛,若连续10天才能保证小组赛全部比完,则本次小组赛参赛球队有 支.
14.(2023·金华中考)如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a( ),AD=b( ),面积为s(m2),现将边AB增加1 m.
(1)如图1,若a=5,边AD减少1 m,得到的矩形面积不变,则b的值是 .
(2)如图2,若边AD增加2 m,有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2s(m2),则s的值是 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·深圳期中)解下列方程:
(1)x2-4x+1=0.
(2)x2-x-=0.
16.(8分)已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,求下面各式的值:
(1)x2+x1;
(2)+.
17.(8分)(2023·杭州中考)设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.
18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2+2x1x2=1,求k的值.
19.(10分)某农场要建一个饲养场(长方形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27 m,AB位置的墙最大可用长度为15 m),另两边用栅栏围成,中间也用栅栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的HE,GF,HG三处各留0.75 m,0.75 m,1.5 m宽的门(不用栅栏).建成后栅栏总长45 m.
(1)若饲养场(长方形ABCD)的一边CD长为10 m,则另一边BC=______m.
(2)若饲养场(长方形ABCD)的面积为165 m2,求边CD的长.
20.(10分)(2024·大连期中)甲商品的进价为每件20元,商场确定其售价为每件40元.经调查,该商品每降价0.2元,即可多销售10件.已知甲商品售价40元时每月可销售500件.
(1)若该商场希望该商品每月能盈利11 050元,且为了尽快减少库存,则该商品调整后的售价为多少元
(2)按照此种降价促销方式,该商品月盈利能否达到12 500元 ______(填“能”或者“不能”)
【附加题】(10分)
如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,AB=16 cm,BC=8 cm,动点P从点A出发,以3 cm/s的速度向点B运动,到达点B时停止运动;动点Q同时从点C出发,以2 cm/s的速度向点D运动.设运动的时间为t s.
(1)当t=______s时,以A,P,Q,E为顶点的四边形是平行四边形;
(2)当t为何值时,点P和点Q之间的距离为10 cm 单元质量评价(二)(第22章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·南京期末)下列方程中,是一元二次方程的是 (B)
A.y=2x-1 B.x2=6 C.5xy-1=1 D.2(x+1)=2
2.一元二次方程x2-16=0的解是 (B)
A.x1=2,x2=-2 B.x1=4,x2=-4
C.x1=8,x2=-8 D.x1=16,x2=-16
3.(2023·广安中考)已知a,b,c为常数,点P(a,c)在第四象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
4.(2023·永州中考)某县2020年人均可支配收入为2.36万元,2022年达到2.7万元,若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x,则下面所列方程正确的是 (B)
A.2.7(1+x)2=2.36 B.2.36(1+x)2=2.7
C.2.7(1-x)2=2.36 D.2.36(1-x)2=2.7
5.(2023·北京中考)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 (C)
A.-9 B.- C. D.9
6.(2024·青岛期中)如图,某农家乐老板计划在一块长130 m,宽60 m的空地开挖两块形状大小相同的垂钓鱼塘,它们的面积之和为5 750 m2,两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道,则垂钓通道的宽度为(B)
A.4.5 m B.5 m C.5.5 m D.6 m
7.已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程(x-3)2=4的根,则此三角形的周长为 (C)
A.17 B.11 C.15 D.11或15
8.对于实数a,b,定义运算“※”如下:a※b=a2-ab,例如:5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(3x-2)=3,则x的值为 (D)
A.0 B.-0.5 C.0或-0.5 D.0或0.5
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·南昌期中)若x=1是关于x的方程x2-c=0的一个实数根,则c= 1 .
10.关于x的方程(m-3)-mx+6=0是一元二次方程,则它的一次项系数是 1 .
11.(2023·遂宁中考)若a,b是一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根,则代数式a+b-ab的值为 2 .
12.已知关于x的方程(a+1)x2-2x+3=0有实数根,则整数a的最大值是 -1 .
13.在一次足球比赛小组赛中,每两支队伍之间都要各进行一次主场比赛、一次客场比赛,主办方共投入使用6个球场,每天每个球场共安排4场比赛,若连续10天才能保证小组赛全部比完,则本次小组赛参赛球队有 16 支.
14.(2023·金华中考)如图是一块矩形菜地ABCD,AB=a(m),AD=b(m),面积为s(m2),现将边AB增加1 m.
(1)如图1,若a=5,边AD减少1 m,得到的矩形面积不变,则b的值是 6 .
(2)如图2,若边AD增加2 m,有且只有一个a的值,使得到的矩形面积为2s(m2),则s的值是 6+4 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·深圳期中)解下列方程:
(1)x2-4x+1=0.
(2)x2-x-=0.
【解析】(1)x2-4x=-1,
x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,
x-2=±,
x1=2+,x2=2-.
(2)∵a=1,b=-,c=-,
∴Δ=(-)2-4×1×(-)=3>0,
则x=,
即x1=,x2=.
16.(8分)已知x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,求下面各式的值:
(1)x2+x1;
(2)+.
【解析】(1)∵x1,x2是一元二次方程x2-4x+1=0的两个实数根,
∴x1+x2=4,x1·x2=1,∴x2+x1=x1x2(x1+x2)=1×4=4;
(2)由(1)可得,x1+x2=4,x1·x2=1,∴+===4.
17.(8分)(2023·杭州中考)设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.
【解析】∵使这个方程有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4c,
∴②③均可,选②解方程,则这个方程为x2+3x+1=0,
∴x==,∴x1=,x2=;
选③解方程,则这个方程为x2+3x-1=0,∴x1=,x2=.
18.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1+x2+2x1x2=1,求k的值.
【解析】(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1,x2,
∴Δ=(2k+1)2-4(k2+1)=4k-3>0,∴k>;
(2)根据根与系数的关系,可得x1+x2=-2k-1,x1x2=k2+1,
又∵x1+x2+2x1x2=1,∴-2k-1+2(k2+1)=1,
解得k=0或k=1,由(1)得k>,∴k=1.
19.(10分)某农场要建一个饲养场(长方形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27 m,AB位置的墙最大可用长度为15 m),另两边用栅栏围成,中间也用栅栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的HE,GF,HG三处各留0.75 m,0.75 m,1.5 m宽的门(不用栅栏).建成后栅栏总长45 m.
(1)若饲养场(长方形ABCD)的一边CD长为10 m,则另一边BC=______m.
(2)若饲养场(长方形ABCD)的面积为165 m2,求边CD的长.
【解析】(1)45-(10×3-2×0.75)+1.5=45-30+1.5+1.5=18(m);
答案:18
(2)设CD=x m,则BC=45-(3x-2×0.75)+1.5=(48-3x)m,
由题意得:(48-3x)x=165,解得:x1=5,x2=11,
当x=5时,48-3x=33>27,∴x=5不符合题意,舍去,
答:CD的长为11 m.
20.(10分)(2024·大连期中)甲商品的进价为每件20元,商场确定其售价为每件40元.经调查,该商品每降价0.2元,即可多销售10件.已知甲商品售价40元时每月可销售500件.
(1)若该商场希望该商品每月能盈利11 050元,且为了尽快减少库存,则该商品调整后的售价为多少元
(2)按照此种降价促销方式,该商品月盈利能否达到12 500元 ______(填“能”或者“不能”)
【解析】(1)设该商品每件降价y元,则该商品调整后的售价为(40-y)元,每件的销售利润为(40-y-20)元,每月可售出500+10×=(500+50y)件,
依题意得:(40-y-20)(500+50y)=11 050,整理得:y2-10y+21=0,
解得:y1=7,y2=3(不符合题意,舍去),∴40-y=40-7=33,
答:该商品调整后的售价为33元;
(2)设该商品每件降价m元,则每件的销售利润为(40-m-20)元,每月可售出500+10×=(500+50m)件,依题意得:(40-m-20)(500+50m)=12 500,
整理得:m2-10m+50=0,∵Δ=(-10)2-4×1×50=100-200<0,∴此方程无实数根,
∴该商品月盈利不能达到12 500元.
答案:不能
【附加题】(10分)
如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,AB=16 cm,BC=8 cm,动点P从点A出发,以3 cm/s的速度向点B运动,到达点B时停止运动;动点Q同时从点C出发,以2 cm/s的速度向点D运动.设运动的时间为t s.
(1)当t=______s时,以A,P,Q,E为顶点的四边形是平行四边形;
(2)当t为何值时,点P和点Q之间的距离为10 cm
【解析】(1)如图,
当四边形APQE为平行四边形时,则AP=EQ,
∵AP=3t cm,EQ=(8-2t)cm,∴3t=8-2t,解得t=,
∴当t= s时,以A,P,Q,E为顶点的四边形是平行四边形;
答案:
(2)由题意得AP=3t cm,CQ=2t cm.
①如图1,当点P在点Q的上方时,过点P作PM⊥CD于点M.
在Rt△PMQ中,PM=8 cm,MQ=16-3t-2t=(16-5t)cm,PQ=10 cm,
由勾股定理得PM2+MQ2=PQ2,即82+(16-5t)2=102,解得t=2.
②如图2,当点P在点Q的下方时,过点P作PN⊥CD于点N.
在Rt△PNQ中,PN=8 cm,NQ=2t-(16-3t)=(5t-16)cm,PQ=10 cm.
由勾股定理得PN2+NQ2=PQ2,即82+(5t-16)2=102,解得t=.
由<得t=符合题意.综上得t=2或t=.
