单元质量评价(三)(第23章)
(90分钟100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下面各组图形中,不是相似图形的是 ( )
2.下列各组的四条线段成比例的是 ( )
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm
C.5 cm,30 cm,10 cm,15 cm D.5 cm,20 cm,10 cm,15 cm
3.(2024·成都质检)若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',且AB∶A'B'=3∶5,已知B'C'=15,则BC的长是( )
A.25 B.9 C.20 D.15
4.如图,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知=,若四边形ABCD的面积是4,则四边形A'B'C'D'的面积是 ( )
A.6 B.9 C.16 D.18
5.象棋在中国有着三千多年的历史,由于用具简单,趣味性强,成为流行极为广泛的益智游戏.如图,是一局象棋残局,已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为(5,3),(-1,1),则表示棋子“炮”的点的坐标为 ( )
A.(3,3) B.(2,3) C.(0,3) D.(1,3)
6.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷,主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系.其中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木 ”译文:“今有一座长方形小城,东西向城墙长7里,南北向城墙长9里,各城墙正中均开一城门.走出东门15里处有棵大树,问走出南门多少步恰好能望见这棵树 ”(注:1里=300步)你的计算结果是:出南门_____步而见木. ( )
A.315 B.305 C.215 D.205
7.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为 ( )
A.1 B. C.2 D.3
8.(2024·武汉期中)已知点A0(-1,3),记A0关于直线m(直线m上各点的横坐标都为0)的对称点为A1,A1关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为A2,A2关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为A3,A3关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4,A4关于直线m的对称点为A5,A5关于直线n的对称点为A6,……依此规律A2 023的坐标是 ( )
A.(2 021,-2 021) B.(-2 025,-2 021)
C.(-2 021,-2 017) D.(-2 025,2 027)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·泰州期末)已知=,那么的值为 .
10.如图,在△ABC中,点P为AB上一点,连结CP.若再添加一个条件,使△APC∽△ACB,则需添加的一个条件是 .
11.(2023·长春中考)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,点A在线段OA'上.若OA∶AA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 .
12.如图,已知点A的坐标为(-1,3),点B在x轴上,把△OAB沿x轴向右平移到△DEF处,若四边形AEFB的面积为6,则点E的坐标为 .
13.(2024·深圳期中)如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE的高为1 m,测得AB=2 m,AC=10 m,则建筑物CD的高是 .
14.如图,P为平行四边形ABCD边AD的中点,E,F分别是PB,PC上的点,且==,则的值为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·厦门期中)已知a,b,c是△ABC的三边长,且==.
(1)求的值;
(2)若△ABC的周长为81,求三边a,b,c的长.
16.(8分)(2024·潍坊期中)如图,已知AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点O.如果CE=6,EB=18,DF=4,求AD的长.
17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格的格点上,按要求解决下列问题.
(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,在第一象限中画出△A2B2C2,使得△A1B1C1与△A2B2C2位似,且相似比为1∶3.
18.(8分)已知:如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,EF分别交BD,AC于点G,H.求证:OG=OH.
19.(10分)(2024·杭州期中)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD.
(1)求证:△ABP∽△CDP.
(2)测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,求该古城墙的高度CD.
20.(10分)(2023·鸡西中考)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连结DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连结FG,FH.易证:FH=FG.
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②;若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③;其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
【附加题】(10分)
(2023·福建中考)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.
(1)求证:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度数;
(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.单元质量评价(三)(第23章)
(90分钟100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下面各组图形中,不是相似图形的是 (A)
2.下列各组的四条线段成比例的是 (C)
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B.2 cm,4 cm,6 cm,8 cm
C.5 cm,30 cm,10 cm,15 cm D.5 cm,20 cm,10 cm,15 cm
3.(2024·成都质检)若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',且AB∶A'B'=3∶5,已知B'C'=15,则BC的长是(B)
A.25 B.9 C.20 D.15
4.如图,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知=,若四边形ABCD的面积是4,则四边形A'B'C'D'的面积是 (B)
A.6 B.9 C.16 D.18
5.象棋在中国有着三千多年的历史,由于用具简单,趣味性强,成为流行极为广泛的益智游戏.如图,是一局象棋残局,已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为(5,3),(-1,1),则表示棋子“炮”的点的坐标为 (B)
A.(3,3) B.(2,3) C.(0,3) D.(1,3)
6.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷,主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系.其中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木 ”译文:“今有一座长方形小城,东西向城墙长7里,南北向城墙长9里,各城墙正中均开一城门.走出东门15里处有棵大树,问走出南门多少步恰好能望见这棵树 ”(注:1里=300步)你的计算结果是:出南门_____步而见木. (A)
A.315 B.305 C.215 D.205
7.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为 (C)
A.1 B. C.2 D.3
8.(2024·武汉期中)已知点A0(-1,3),记A0关于直线m(直线m上各点的横坐标都为0)的对称点为A1,A1关于直线n(直线n上各点的纵坐标都为1)的对称点为A2,A2关于直线p(直线p上各点的横坐标都为-2)的对称点为A3,A3关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4,A4关于直线m的对称点为A5,A5关于直线n的对称点为A6,……依此规律A2 023的坐标是 (B)
A.(2 021,-2 021) B.(-2 025,-2 021)
C.(-2 021,-2 017) D.(-2 025,2 027)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·泰州期末)已知=,那么的值为 .
10.如图,在△ABC中,点P为AB上一点,连结CP.若再添加一个条件,使△APC∽△ACB,则需添加的一个条件是 ∠APC=∠ACB(答案不唯一) .
11.(2023·长春中考)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,点A在线段OA'上.若OA∶AA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 1∶3 .
12.如图,已知点A的坐标为(-1,3),点B在x轴上,把△OAB沿x轴向右平移到△DEF处,若四边形AEFB的面积为6,则点E的坐标为 (1,3) .
13.(2024·深圳期中)如图所示,某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE的高为1 m,测得AB=2 m,AC=10 m,则建筑物CD的高是 5 m .
14.如图,P为平行四边形ABCD边AD的中点,E,F分别是PB,PC上的点,且==,则的值为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)(2024·厦门期中)已知a,b,c是△ABC的三边长,且==.
(1)求的值;
(2)若△ABC的周长为81,求三边a,b,c的长.
【解析】因为==,设a=2k,则b=3k,c=4k,
(1)==.
(2)∵△ABC的周长为81,∴a+b+c=2k+3k+4k=9k=81,
解得k=9,所以a=18,b=27,c=36.
16.(8分)(2024·潍坊期中)如图,已知AB∥EF∥CD,AD与BC相交于点O.如果CE=6,EB=18,DF=4,求AD的长.
【解析】∵AB∥EF∥CD,∴=,∵CE=6,EB=18,DF=4,∴=,解得AF=12,
∴AD=AF+DF=12+4=16.
17.(8分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格的格点上,按要求解决下列问题.
(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,在第一象限中画出△A2B2C2,使得△A1B1C1与△A2B2C2位似,且相似比为1∶3.
【解析】(1)如图1所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图2所示,△A2B2C2即为所求.
18.(8分)已知:如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,EF分别交BD,AC于点G,H.求证:OG=OH.
【证明】取BC边的中点M,连结EM,FM,
∵M,F分别是BC,CD的中点,∴MF∥BD,MF=BD,
同理ME∥AC,ME=AC,∵AC=BD,
∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,∵MF∥BD,
∴∠MFE=∠OGH,同理∠MEF=∠OHG,∴∠OGH=∠OHG,∴OG=OH.
19.(10分)(2024·杭州期中)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD.
(1)求证:△ABP∽△CDP.
(2)测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,求该古城墙的高度CD.
【解析】(1)∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴∠ABP=∠CDP,∵光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,∴∠APB=∠CPD,∴△ABP∽△CDP;
(2)∵△ABP∽△CDP,∴=,∴=,∴CD=8,∴该古城墙的高度CD为8米.
20.(10分)(2023·鸡西中考)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连结DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连结FG,FH.易证:FH=FG.
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②;若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③;其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
【解析】题图②,FH=FG.
连结AH,CE,AF,如图,
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,F,H分别是DE,BC的中点,∴AH⊥BC,AF⊥DE,AH=CH=BC,AF=EF=DE,
∴∠CAH=∠EAF=45°,∴∠HAF=∠EAC,==,∴△AHF∽△ACE,
∴==,∴CE=FH,
∵点F,G分别是DE,DC的中点,∴CE=2FG,∴FH=FG.
题图③,FH=FG.
连结AH,CE,AF,如图,
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,
∴∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B=30°,
∵点F,H分别是DE,BC的中点,
∴AH⊥BC,AF⊥DE,∠CAH=∠EAF=×120°=60°,∴∠HAF=∠EAC,==,
∴△AHF∽△ACE,∴==,∴CE=2FH,
∵点F,G分别是DE,DC的中点,∴CE=2FG,∴FH=FG.
【附加题】(10分)
(2023·福建中考)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.
(1)求证:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度数;
(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.
【解析】(1)∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,
∴∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°,∵AB=AC,AO⊥BC,∴∠BAO=∠BAC.
∵∠BAC=90°,∴∠BAO=∠ABC=45°,∴∠BAO=∠DFC,
∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°,∴∠EDA=∠M,
∴△ADE∽△FMC.
(2)设BC与DF的交点为I,如图:
∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,∴△BID∽△FIC,∴=,即=,
∵∠BIF=∠DIC,∴△BIF∽△DIC,∴∠IBF=∠IDC,
∵∠IDC=90°,∴∠IBF=90°,
∵∠ABC=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠IBF=135°.
(3)延长ON交BF于点T,连结DT,DO,如图:
∵∠FBI=∠BOA=90°,∴BF∥AO,∴∠FTN=∠AON.∵N是AF的中点,
∴AN=NF,∵∠TNF=∠ONA,∴△TNF≌△ONA(A.A.S.),∴NT=NO,FT=AO,
∵∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC,∴AO=CO,∴FT=CO,
由(2)知△BIF∽△DIC,∴∠DFT=∠DCO.∵DF=DC,∴△DFT≌△DCO(S.A.S.),
∴DT=DO,∠FDT=∠CDO,∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,
即∠ODT=∠CDF,∵∠CDF=90°,∴∠ODT=∠CDF=90°,∴ND=TO=NO.
