单元质量评价(四)(第24章)
(90分钟100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·济南期末)tan 45°的相反数是 (B)
A.1 B.-1 C.- D.-2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,那么cos A等于 (B)
A. B. C. D.
3.(2023·乐山中考)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25,小正方形面积为1,则sin θ=(A)
A. B. C.4 D.
4.(2023·长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为 (D)
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米
C.米 D.米
5.如图,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中,OP长度的变化情况是 (D)
A.不断增大 B.不断减小
C.先减小后增大 D.保持不变
6.如图,某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影长为21米,留在墙上的影高为2米,则旗杆的高度为 (C)
A.12米 B.14米 C.16米 D.18米
7.如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,利用此图可求得tan 75°的值是 (B)
A.2- B.2+ C.-2 D.+1
8.现在手机导航极大方便了人们的出行,如图,嘉琪一家自驾到风景区C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C,嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向,那么B,C两地的距离为 (A)
A.2千米 B.(2+3)千米 C.3千米 D.5千米
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.当∠A为锐角,且10.如图,一个小球由地面沿着坡度为i=3∶4的坡面向上前进了25 cm,则此时小球水平方向前进的距离是 20 cm.
11.(2023·内江中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
12.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则tan∠APC的值为 .
13.(2023·济宁中考)某数学活动小组要测量一建筑物的高度,如图,他们在建筑物前的平地上选择一点A,在点A和建筑物之间选择一点B,测得AB=30 m,用高1 m(AC=1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°,在B处测得仰角为60°,则该建筑物的高是 (15+1)m .
14.(2024·余姚期中)如图,已知Rt△AOB,∠ABO=30°,OA=4,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在直线AO上运动,如果PQ=4,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为 16 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:
(1)2cos 30°-tan 60°+sin 45°cos 45°;
(2)sin 30°-tan 45°+2cos2 30°.
【解析】(1)原式=2×-+×=-+=.
(2)原式=-1+2×()2=-1+2×=-1+=1.
16.(8分)(2024·长沙期中)如图,等边三角形ABC中,D为BC边的中点,F为CA的延长线上一点,过点F作FG⊥BC于点G,并交AB于点E.若AC=6,GD=1,求AF的长.
【解析】∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,
∵△ABC是等边三角形,边长为6,∴∠BAC=60°,AC=BC=6,
∴∠CAD=30°,CD=3,∴CG=CD+GD=3+1=4,
∵FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠F=∠CAD=30°,
∵FG⊥BC,∴CF=2CG=8,∴AF=CF-AC=2.
17.(8分)(2023·攀枝花中考)拜寺口双塔,分为东西两塔,位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内,是保存最为完整的西夏佛塔,已有近1 000年历史,是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理,来测量东塔的高度.东塔的高度为AB,选取与塔底B在同一水平地面上的E,G两点,分别垂直地面竖立两根高为1.5 m的标杆EF和GH,两标杆间隔EG为46 m,并且东塔AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2 m到D处(即ED=2 m),从D处观察A点,A,F,D在同一直线上;从标杆GH后退4 m到C处(即CG=4 m),从C处观察A点,A,H,C三点也在同一直线上,且B,E,D,G,C在同一直线上,请你根据以上测量数据,帮助兴趣小组求出东塔AB的高度.
【解析】设BD=x m,则BC=BD+DG+CG=x+46-2+4=(x+48)m,
∵AB⊥BC,EF⊥BC,∴AB∥EF,∴△ABD∽△FED,∴=,即=,
同理可证△ABC∽△HGC,∴=,即=,∴=,解得x=48,
经检验,x=48是原方程的解,∴=,∴AB=36 m,
答:东塔的高度AB为36 m.
18.(8分)(2023·郴州中考)某次军事演习中,一艘船以40 km/h的速度向正东航行,在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向,2小时后到达B处,测得小岛C在它的北偏西45°方向,求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据:≈1.41,≈1.73.结果精确到0.1 km).
【解析】由题意得AB=40×2=80(km),∠CAB=30°,∠ABC=45°,过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴AD=CD,BD=CD,
∵AB=80 km,∴CD+CD=80,
解得CD=40-40≈29.2(km),
答:该船在航行过程中与小岛C的最近距离为29.2 km.
19.(10分)(2023·泸州中考)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
【解析】过点B作BF⊥AD于点F,
在Rt△ABF中,∵i=2∶,∴可设BF=2k,则AF=k,
∵AB=20 m,BF2+AF2=AB2,∴(2k)2+(k)2=(20)2,
解得k=20或k=-20(舍去),∴BF=2k=40 m,延长BC,DE交于点H,
∵BC是水平线,DE是铅垂线,∴DH⊥CH,△CDH和△CEH都是直角三角形,
∵AD,BC都是水平线,BF⊥AD,DH⊥BC,∴四边形BFDH是矩形,
∴DH=BF=40 m,
在Rt△CDH中,
∵tan∠DCH=,∴CH===(m),
在Rt△CEH中,∵tan∠ECH=,∴EH=CH·tan∠ECH=·
tan 37°≈×=10(m),∴DE=DH-EH=(40-10)m.
答:古树DE的高度为(40-10)m.
20.(10分)(2023·衡阳中考)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产生活,如代替人们在高空测量距离和高度,圆圆要测量教学楼AB的高度,借助无人机设计了如下测量方案:如图,圆圆在离教学楼底部24米的C处,遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处,测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°,CD长为49.6米.已知目高CE为1.6米.
(1)求教学楼AB的高度;
(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向,以4米/秒的速度继续向前匀速飞行.求经过多少秒时,无人机刚好离开圆圆的视线EB.
【解析】(1)过点B作BM⊥CD于点M,则∠DBM=∠BDN=30°,
在Rt△BDM中,BM=AC=24米,∠DBM=30°,
∴DM=BM·tan∠DBM=24×=24(米),
∴AB=CM=CD-DM=49.6-24=25.6(米).
答:教学楼AB的高度为25.6米.
(2)延长EB交DN于点G,则∠DGE=∠MBE,
在Rt△EMB中,BM=AC=24米,EM=CM-CE=24米,
∴tan∠MBE===,∴∠MBE=30°=∠DGE,
∵∠EDG=90°,∴∠DEG=90°-30°=60°,
在Rt△EDG中,ED=CD-CE=48米,∴DG=ED·tan 60°=48(米),
∴48÷4=12(秒).
答:经过12秒时,无人机刚好离开了圆圆的视线.
【附加题】(10分)
(2023·山西中考)2023年3月,水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》,我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选,在推进实施母亲河复苏行动中,需要砌筑各种驳岸(也叫护坡).某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动,利用课余时间完成了实践调查,并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.73,≈1.41).
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容 功能 驳岸是用来保护河岸,阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
材料 所需材料为石料、混凝土等
驳岸剖面图 相关数据及说明:图中,点A,B,C,D,E在同一竖直平面内,AE和CD均与地面平行,岸墙AB⊥AE于点A, ∠BCD=135°,∠EDC=60°,ED= 6 m,AE=1.5 m,CD=3.5 m
计算结果 …
交通展示 …
【解析】过E作EF⊥CD于F,延长AB,DC交于H,∴∠EFD=90°,
由题意得在Rt△EFD中,∠EDF=60°,ED=6,sin∠EDF=,cos∠EDF=,
∴EF=ED·sin∠EDF=6×sin 60°=6×=3(m),FD=ED·cos∠EDF=6×cos 60°=6×=3(m),由题意得∠H=90°,四边形AEFH是矩形,
∴AH=EF=3 m,HF=AE=1.5 m,
∵CF=CD-FD=3.5-3=0.5(m),∴CH=HF-CF=1.5-0.5=1(m),
在Rt△BCH中,∠H=90°,∠BCH=180°-∠BCD=180°-135°=45°,
∵cos∠BCH=,tan∠BCH=,∴BC====≈1.4(m),
∴BH=CH·tan∠BCH=1×tan 45°=1(m),∴AB=AH-BH=3-1≈4.2(m).
答:BC的长度约为1.4 m,AB的长度约为4.2 m.单元质量评价(四)(第24章)
(90分钟100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·济南期末)tan 45°的相反数是 ( )
A.1 B.-1 C.- D.-2
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,那么cos A等于 ( )
A. B. C. D.
3.(2023·乐山中考)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”,如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25,小正方形面积为1,则sin θ=( )
A. B. C.4 D.
4.(2023·长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为 ( )
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米
C.米 D.米
5.如图,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中,OP长度的变化情况是 ( )
A.不断增大 B.不断减小
C.先减小后增大 D.保持不变
6.如图,某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米,在同时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一楼房,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,他测得落在地面上的影长为21米,留在墙上的影高为2米,则旗杆的高度为 ( )
A.12米 B.14米 C.16米 D.18米
7.如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD,利用此图可求得tan 75°的值是 ( )
A.2- B.2+ C.-2 D.+1
8.现在手机导航极大方便了人们的出行,如图,嘉琪一家自驾到风景区C游玩,到达A地后,导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地,再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C,嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向,那么B,C两地的距离为 ( )
A.2千米 B.(2+3)千米 C.3千米 D.5千米
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.当∠A为锐角,且10.如图,一个小球由地面沿着坡度为i=3∶4的坡面向上前进了25 cm,则此时小球水平方向前进的距离是 cm.
11.(2023·内江中考)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 .
12.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则tan∠APC的值为 .
13.(2023·济宁中考)某数学活动小组要测量一建筑物的高度,如图,他们在建筑物前的平地上选择一点A,在点A和建筑物之间选择一点B,测得AB=30 m,用高1 m(AC=1 m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°,在B处测得仰角为60°,则该建筑物的高是 .
14.(2024·余姚期中)如图,已知Rt△AOB,∠ABO=30°,OA=4,线段PQ的端点P从点O出发,沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周,同时另一端点Q随之在直线AO上运动,如果PQ=4,那么当点P运动一周时,点Q运动的总路程为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:
(1)2cos 30°-tan 60°+sin 45°cos 45°;
(2)sin 30°-tan 45°+2cos2 30°.
16.(8分)(2024·长沙期中)如图,等边三角形ABC中,D为BC边的中点,F为CA的延长线上一点,过点F作FG⊥BC于点G,并交AB于点E.若AC=6,GD=1,求AF的长.
17.(8分)(2023·攀枝花中考)拜寺口双塔,分为东西两塔,位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内,是保存最为完整的西夏佛塔,已有近1 000年历史,是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理,来测量东塔的高度.东塔的高度为AB,选取与塔底B在同一水平地面上的E,G两点,分别垂直地面竖立两根高为1.5 m的标杆EF和GH,两标杆间隔EG为46 m,并且东塔AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2 m到D处(即ED=2 m),从D处观察A点,A,F,D在同一直线上;从标杆GH后退4 m到C处(即CG=4 m),从C处观察A点,A,H,C三点也在同一直线上,且B,E,D,G,C在同一直线上,请你根据以上测量数据,帮助兴趣小组求出东塔AB的高度.
18.(8分)(2023·郴州中考)某次军事演习中,一艘船以40 km/h的速度向正东航行,在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向,2小时后到达B处,测得小岛C在它的北偏西45°方向,求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据:≈1.41,≈1.73.结果精确到0.1 km).
19.(10分)(2023·泸州中考)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
20.(10分)(2023·衡阳中考)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产生活,如代替人们在高空测量距离和高度,圆圆要测量教学楼AB的高度,借助无人机设计了如下测量方案:如图,圆圆在离教学楼底部24米的C处,遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处,测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°,CD长为49.6米.已知目高CE为1.6米.
(1)求教学楼AB的高度;
(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向,以4米/秒的速度继续向前匀速飞行.求经过多少秒时,无人机刚好离开圆圆的视线EB.
【附加题】(10分)
(2023·山西中考)2023年3月,水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》,我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选,在推进实施母亲河复苏行动中,需要砌筑各种驳岸(也叫护坡).某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动,利用课余时间完成了实践调查,并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算BC和AB的长度(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.73,≈1.41).
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
调查内容 功能 驳岸是用来保护河岸,阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
材料 所需材料为石料、混凝土等
驳岸剖面图 相关数据及说明:图中,点A,B,C,D,E在同一竖直平面内,AE和CD均与地面平行,岸墙AB⊥AE于点A, ∠BCD=135°,∠EDC=60°,ED= 6 m,AE=1.5 m,CD=3.5 m
计算结果 …
交通展示 …
