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阶段测评卷 单元质量评价（一）（第21章）
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列各式中,一定是二次根式的是 (A)
A. B. C. D.
2.(2023·杭州期中)计算-的结果是 (D)
A. B.2 C.2 D.
3.在下列二次根式中,属于最简二次根式的是 (C)
A. B. C. D.
4.(2024·宿迁期中)最简二次根式与是能够合并的二次根式,则x的值为 (A)
A.1 B.-2 C.-1 D.0
5.下列计算中,正确的是 (B)
A.=-3 B.= C.×=6 D.=7
6.有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简:|a+c|-= (B)
A.a-b-2c B.-a-b C.a+c D.a-b
7.已知x,y是实数,且满足y=++,则·的值是 (B)
A.1 B. C.2 D.
8.(2023·临沂中考)设m=5-,则实数m所在的范围是 (B)
A.m<-5 B.-5-3
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·泉州期末)在二次根式中,x的取值范围是 x≤7 .
10.(2023·益阳中考)计算:×= 10 .
11.计算:-+= 3 .
12.计算:÷×= .
13.如图,从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形,则剩下阴影部分的面积为 72 .
14.阅读下列材料:===-2,=
==-,===-.
则+++…+= -2 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:(1)2-3-+;
(2)+-(+5).
【解析】(1)原式=2-3-7-=-10;
(2)原式=2+3--5=-2.
16.(8分)计算:(1)(-2)+;
(2)(-)(--)+(3+2)2.
【解析】(1)原式=3-2+2=3;
(2)原式=(-)2-()2+9+12+20=2-3+9+12+20=28+12.
17.(8分)(2024·深圳期中)设5-的小数部分为a,5+的小数部分为b,求(a-1)(b+2)的值.
【解析】5-的整数部分为3,则a=5--3=2-,
5+的整数部分为6,则b=5+-6=-1.
把a,b代入代数式,则有(a-1)(b+2)=(1-)(1+)=1-3=-2.
18.(8分)如图,爷爷家有一块长方形空地ABCD,空地的长AB为 m,宽BC为 m,爷爷准备在空地中划出一块长(+1) m,宽(-1)m的小长方形地种植香菜(即图中阴影部分),其余部分种植白菜.
(1)求长方形ABCD的周长;(结果化为最简二次根式)
(2)求种植白菜部分的面积.
【解析】(1)2+2=8+6=14(m),
答:长方形ABCD的周长为14 m;
(2)×==24(m2)
(+1)×(-1)=3-1=2(m2),
24-2=22(m2).
答:种植白菜部分的面积为22 m2.
19.(10分)在学习了算术平方根和二次根式等内容后,我们知道以下的结论:
结论①:若实数a≥0,则=a;
结论②:对于任意实数a,=|a|.
请根据上面的结论,对下列问题进行探索.
(1)若m<2,化简:+|m-3|;
(2)若=4,|b|=8,且ab>0,求a+b的值;
(3)若A=+|1-m|有意义,化简A.
【解析】(1)∵m<2,∴m-2<0,m-3<0,
∴原式=|m-2|+3-m=2-m+3-m=5-2m;
(2)∵=4,|b|=8,
∴|a|=4,b=±8,∴a=±4,
∵ab>0,∴a,b同号,
∴当a=4,b=8时,a+b=4+8=12,
当a=-4,b=-8时,a+b=-4+(-8)=-12,
综上所述,a+b的值为±12;
(3)根据题意得,m-2≥0,
∴m≥2,∴1-m<0,
∴A=m-2+m-1=2m-3.
20.(10分)【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:若设a+b=(m+n)2=m2+2n2+2mn(其中a,b,m,n均为整数),则有a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题.
【问题解决】
(1)若a+b=(m+n)2,当a,b,m,n均为整数时,则a=_______ ,b=_______.(均用含m,n的式子表示)
(2)若x+4=(m+n)2,且x,m,n均为正整数,分别求出x,m,n的值.
【拓展延伸】
(3)化简.
【解析】(1)(m+n)2=m2+2mn+5n2,
∵a+b=(m+n)2,且a,b,m,n均为整数,
∴a=m2+5n2,b=2mn.
答案:m2+5n2 2mn
(2)(m+n)2=m2+2mn+3n2,∵x+4=(m+n)2,
∴,又∵x,m,n均为正整数,
∴或.
即m=1,n=2,x=13或m=2,n=1,x=7.
(3)原式===+.
【附加题】(10分)
(1)问题情境:请认真阅读下列这道例题的解法.
例:已知y=++2 023,求的值.
解:由,得x=_______,
∴y=_______,∴=______;
(2)尝试应用:若x,y为实数,且y>++2,化简:;
(3)拓展创新:已知n=+-m+7,求m-n的值.
【解析】(1)解不等式组得x=2 022,∴y=2 023,∴=;
答案:2 022 2 023
(2)由,解得x=3,∴y>2,
∴==1;
(3)由,解得mn=10,∴m+n=7,
∴(m-n)2=(m+n)2-4mn=49-40=9,∴m-n=±3.阶段测评卷 单元质量评价（一）（第21章）
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列各式中,一定是二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2.(2023·杭州期中)计算-的结果是 ( )
A. B.2 C.2 D.
3.在下列二次根式中,属于最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
4.(2024·宿迁期中)最简二次根式与是能够合并的二次根式,则x的值为 ( )
A.1 B.-2 C.-1 D.0
5.下列计算中,正确的是 ( )
A.=-3 B.= C.×=6 D.=7
6.有理数a,b,c在数轴上的位置如图,化简:|a+c|-= ( )
A.a-b-2c B.-a-b C.a+c D.a-b
7.已知x,y是实数,且满足y=++,则·的值是 ( )
A.1 B. C.2 D.
8.(2023·临沂中考)设m=5-,则实数m所在的范围是 ( )
A.m<-5 B.-5-3
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·泉州期末)在二次根式中,x的取值范围是 .
10.(2023·益阳中考)计算:×= .
11.计算:-+= .
12.计算:÷×= .
13.如图,从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形,则剩下阴影部分的面积为 .
14.阅读下列材料:===-2,=
==-,===-.
则+++…+= .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:(1)2-3-+;
(2)+-(+5).
16.(8分)计算:(1)(-2)+;
(2)(-)(--)+(3+2)2.
17.(8分)(2024·深圳期中)设5-的小数部分为a,5+的小数部分为b,求(a-1)(b+2)的值.
18.(8分)如图,爷爷家有一块长方形空地ABCD,空地的长AB为 m,宽BC为 m,爷爷准备在空地中划出一块长(+1) m,宽(-1)m的小长方形地种植香菜(即图中阴影部分),其余部分种植白菜.
(1)求长方形ABCD的周长;(结果化为最简二次根式)
(2)求种植白菜部分的面积.
19.(10分)在学习了算术平方根和二次根式等内容后,我们知道以下的结论:
结论①:若实数a≥0,则=a;
结论②:对于任意实数a,=|a|.
请根据上面的结论,对下列问题进行探索.
(1)若m<2,化简:+|m-3|;
(2)若=4,|b|=8,且ab>0,求a+b的值;
(3)若A=+|1-m|有意义,化简A.
20.(10分)【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:若设a+b=(m+n)2=m2+2n2+2mn(其中a,b,m,n均为整数),则有a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题.
【问题解决】
(1)若a+b=(m+n)2,当a,b,m,n均为整数时,则a=_______ ,b=_______.(均用含m,n的式子表示)
(2)若x+4=(m+n)2,且x,m,n均为正整数,分别求出x,m,n的值.
【拓展延伸】
(3)化简.
【附加题】(10分)
(1)问题情境:请认真阅读下列这道例题的解法.
例:已知y=++2 023,求的值.
解:由,得x=_______,
∴y=_______,∴=______;
(2)尝试应用:若x,y为实数,且y>++2,化简:;
(3)拓展创新:已知n=+-m+7,求m-n的值.
