专题五 万有引力与宇宙航行
考点过关练
考点一 开普勒行星运动定律 万有引力定律
1.(2021广东,2,4分)2021年4月,我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动,已知引力常量,由下列物理量能计算出地球质量的是 ( )
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
答案 D
2.(2023江苏,4,4分) 设想将来发射一颗人造卫星,能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行,该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比,一定相等的是 ( )
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
答案 C
3.(2021全国乙,18,6分)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测,给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆,银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力,设太阳的质量为M,可以推测出该黑洞质量约为 ( )
A.4×104M
B.4×106M
C.4×108M
D.4×1010M
答案 B
4.(2022重庆,9,5分)(多选)我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动,运行周期为T,轨道半径约为地球半径的倍,已知地球半径为R,引力常量为G,忽略地球自转的影响,则 ( )
A.漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
B.空间站绕地球运动的线速度大小约为
C.地球的平均密度约为
D.空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍
答案 BD
5.(2023浙江6月选考,9,3分)木星的卫星中,木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T,公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0,则 ( )
A.木卫一轨道半径为r
B.木卫二轨道半径为r
C.周期T与T0之比为
D.木星质量与地球质量之比为n3
答案 D
6.(2021全国甲,18,6分)2021年2月,执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后,进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道,轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m,火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2,则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为 ( )
A.6×105 m B.6×106 m
C.6×107 m D.6×108 m
答案 C
7.(2023山东,3,3分)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引,这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质,且都满足F∝。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍,地球表面的重力加速度为g,根据牛顿的猜想,月球绕地球公转的周期为 ( )
A.30π B.30π
C.120π D.120π
答案 C
考点二 人造卫星 宇宙速度
8.(2023广东,7,4分)如图(a)所示,太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡,探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化,该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M,引力常量为G。关于P的公转,下列说法正确的是 ( )
A.周期为2t1-t0
B.半径为
C.角速度的大小为
D.加速度的大小为
答案 B
9.(2022广东,2,4分)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是 ( )
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
答案 D
10.(2023新课标,17,6分)2023年5月,世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号,携带约5 800 kg的物资进入距离地面约400 km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道,顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后,这批物资 ( )
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大
答案 D
11.(2022湖北,2,4分)2022年5月,我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接,形成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动,周期约90分钟。下列说法正确的是 ( )
A.组合体中的货物处于超重状态
B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
答案 C
12.(2023湖南,4,4分)根据宇宙大爆炸理论,密度较大区域的物质在万有引力作用下,不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关,如果质量为太阳质量的1~8倍将坍缩成白矮星,质量为太阳质量的10~20倍将坍缩成中子星,质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体,质量不变,体积缩小,自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的倍,中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论,下列说法正确的是 ( )
A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
答案 B
13.(2023北京,12,3分)2022年10月9日,我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射,实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动,距地面高度约为720 km,运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示,为了随时跟踪和观测太阳的活动,“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中,需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向,使太阳光能照射到“夸父一号”。下列说法正确的是 ( )
A.“夸父一号”的运行轨道平面平均每天转动的角度约为1°
B.“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9 km/s
C.“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D.由题干信息,根据开普勒第三定律,可求出日地间平均距离
答案 A
14.(2021江苏,3,4分)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行,从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动,运动周期与地球自转周期相同,轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星 ( )
A.运动速度大于第一宇宙速度
B.运动速度小于第一宇宙速度
C.轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星
D.轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星
答案 B
考点强化练
考点一 开普勒行星运动定律 万有引力定律
1.(2023届广东六校联考,4)2021年10月16日,神舟十三号载人飞船与空间站组合体完成交会对接,3名宇航员顺利进入“天和”核心舱。后续发射的“问天”实验舱和“梦天”实验舱,均与空间站组合体交会对接成功,2022年11月3日,“梦天”实验舱完成转位,中国空间站“T”字基本构型组装完成。已知空间站离地面高度h约400 km,地球半径R约6 370 km,空间站可看成是绕地球做匀速圆周运动,则关于空间站的说法正确的是 ( )
A.绕地球运行周期大于24 h
B.绕地球运行线速度大于7.9 km/s
C.后续对接实验舱后,由于质量变大,空间站加速度将增大
D.后续对接实验舱后,空间站周期仍不变
答案 D
2.(2023届广东江门一模,4)2022年11月,“梦天”实验舱完成转位操作,中国空间站“T”字基本构型在轨组装完成,空间站运行周期约为90分钟。北斗系统的GEO卫星是静止卫星,空间站和GEO卫星均可视为绕地球做匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.GEO卫星可以在地面任何一点的正上方,但离地心的距离是一定的
B.空间站的轨道半径比GEO卫星的轨道半径大
C.空间站的线速度比GEO卫星的线速度大
D.空间站的向心加速度比GEO卫星的向心加速度小
答案 C
3.(2023届广东一模,2)设地球同步卫星的轨道半径为R,我国“天宫”空间站的轨道半径为r。航天员王亚平在“天宫”空间站授课时说,在空间站上一天可以观察到16次日出,由此可以推算出等于 ( )
A.1.5 B.2.25 C.16 D.256
答案 D
4.(2023届揭阳一模,9)(多选)假设火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动时,绕行周期为T,已知火星半径为R,引力常量为G,由此可以估算 ( )
A.火星质量 B.探测器质量
C.火星的第一宇宙速度 D.火星平均密度
答案 ACD
考点二 人造卫星 宇宙速度
5.(2023届惠州三模,5)为了更好地了解太阳活动对地球的影响,2022年10月,我国成功将“夸父一号”卫星发射升空,该卫星绕地球的运动可以看成是匀速圆周运动,距离地球表面约720千米,运行周期约99分钟,下列说法正确的是 ( )
A.“夸父一号”有可能静止在惠州市的正上方
B.若已知引力常量,利用题中数据可以估算出太阳的质量
C.“夸父一号”的发射速度大于第二宇宙速度
D.“夸父一号”的角速度大于地球自转的角速度
答案 D
6.(2024届佛山南海开学考,9)神舟十三号载人飞船与“天和”核心舱实现了我国首次飞船径向对接,从发射到对接成功仅历时6.5小时,对接前两者稳定运行的圆周轨道如图所示,则稳定运行时 ( )
A.“天和”核心舱运行周期更大
B.“天和”核心舱加速度更大
C.神舟十三号的线速度更小
D.神舟十三号需要减速完成对接
答案 A
7.(2024届广州执信中学9月月考,8)(多选)2022年11月29日,长征二号F遥十五运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道。2022年11月30日,神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口,形成新的空间站组合体,沿原来的轨道运动。自此神舟十四号、神舟十五号乘组航天员在空间站首次实现胜利会师。假设空间站的运行轨道为圆轨道,下列说法正确的是 ( )
A.空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B.空间站中的航天员处于失重状态
C.神舟十五号载人飞船的对接,使空间站组合体绕地球运行的速度减小
D.若稀薄大气阻力使空间站组合体的高度缓慢下降,空间站组合体运行的线速度将增大
答案 BD
8.(2024届广东七校联考,4)《天问》是中国战国时期诗人屈原创作的一首长诗,全诗问天问地问自然,表现了作者对传统的质疑和对真理的探索精神。我国探测飞船“天问一号”发射成功飞向火星,屈原的“天问”梦想成为现实,也标志着我国深空探测迈向一个新台阶,如图所示,轨道1是圆轨道,轨道2是椭圆轨道,轨道3是近火圆轨道,“天问一号”经过变轨成功进入近火圆轨道3,已知引力常量为G,以下选项中正确的是 ( )
A.“天问一号”在B点需要点火加速才能从轨道2进入轨道3
B.“天问一号”在轨道2上经过B点时的加速度大于在轨道3上经过B点时的加速度
C.“天问一号”进入近火轨道3后,测出其近火环绕周期T,可计算出火星的平均密度
D.“天问一号”进入近火轨道3后,测出其近火环绕周期T,可计算出火星的质量
答案 C
9.(2023届广州天河一模,3)据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运行周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 ( )
A.月球表面的重力加速度
B.月球对卫星的吸引力
C.卫星绕月球运行的速度
D.卫星绕月运行的加速度
答案 B
10.(2024届广州六校联考,4)2023年1月21日,神舟十五号乘组3名航天员在400 km高的空间站向祖国人民送上新春祝福,空间站的运行轨道可近似看作圆形轨道Ⅰ,设地球表面重力加速度为g,地球半径为R,椭圆轨道Ⅱ为载人飞船运行轨道,两轨道相切于A点,下列说法正确的是 ( )
A.载人飞船在轨道Ⅰ通过A点的速度大于在轨道Ⅱ通过B点的速度
B.载人飞船在A点的加速度大于在B点的加速度
C.空间站在轨道Ⅰ上的速度小于
D.载人飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运行时,在相同时间内与地球连线扫过的面积相等
答案 C
微专题专练
微专题5 双星及多星问题
1.(2013山东,20,5分)双星系统由两颗恒星组成,两恒星在相互引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现,双星系统演化过程中,两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的k倍,两星之间的距离变为原来的n倍,则此时圆周运动的周期为 ( )
A.T B.T C.T D.T
答案 B
2.(2018课标Ⅰ,20,6分)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈,将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星 ( )
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
答案 BC
3.(2023届广东学业水平测试,8)(多选)某国际研究小组借助于甚大望远镜观测到了如图所示的一组“双星系统”,双星绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动,此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面的物质,达到质量转移的目的。假设两星体密度相当,在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中 ( )
A.它们做圆周运动的万有引力逐渐增大
B.它们做圆周运动的角速度保持不变
C.体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大
D.体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小
答案 ABC
4.(2024届茂名六校开学联考,7)A、B两颗卫星在同一平面内沿同一方向绕地球做匀速圆周运动,如图甲所示。两卫星之间的距离Δr随时间周期性变化,如图乙所示。仅考虑地球对卫星的引力,下列说法正确的是 ( )
A.A、B的轨道半径之比为1∶3
B.A、B的线速度之比为1∶2
C.A的运动周期大于B的运动周期
D.A、B的向心加速度之比为4∶1
答案 D
5.(2023届浙江富阳中学检测,10)如图为由A、B两颗恒星组成的双星系统,A、B绕连线上一点O做圆周运动,测得A、B两颗恒星间的距离为L,恒星A的周期为T,其中一颗恒星做圆周运动的向心加速度是另一颗恒星的2倍,则下列说法错误的是 ( )
A.恒星B的周期为
B.恒星A的向心加速度是恒星B的2倍
C.A、B两颗恒星质量之比为1∶2
D.A、B两颗恒星质量之和为
答案 A
微专题6 卫星的变轨和对接问题
6.(2023海南,9,4分)(多选)如图所示,1、2轨道分别是天宫二号飞船在变轨前、后的轨道,下列说法正确的是 ( )
A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
B.飞船在1轨道的周期大于2轨道的
C.飞船在1轨道的速度大于2轨道的
D.飞船在1轨道的加速度大于2轨道的
答案 ACD
7.(2021天津,5,5分)2021年5月15日,天问一号探测器着陆火星取得成功,迈出了我国星际探测征程的重要一步,在火星上首次留下中国人的印迹。天问一号探测器成功发射后,顺利被火星捕获,成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整,探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行,之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行,如图所示,两轨道相切于近火点P,则天问一号探测器 ( )
A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
答案 D
8.(2022浙江1月选考,8,3分)“天问一号”从地球发射后,在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点,再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道,则“天问一号” ( )
A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B.从P点转移到Q点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
答案 C
9.(2024届广东9月联考,5)2023年7月14日印度成功发射了“月船3号”探测器,如图为探测器升空后的变轨示意图,“月船3号”探测器在7月25日成功完成了五次变轨,并于8月23日实现月球南极软着陆。利用所学相关知识分析“月船3号”探测器,下列说法正确的是 ( )
A.探测器飞行过程系统机械能守恒
B.必须在地球停泊轨道EPO点火加速才能离开地球进入月球转移轨道
C.进入月球轨道后需要多次加速变轨才能实现软着陆月球
D.探测器进入月球轨道后不再受到地球的引力
答案 B
微专题7 天体中的追及相遇问题
10.(2021湖北,7,4分)2021年5月,“天问一号”探测器软着陆火星取得成功,迈出了我国星际探测征程的重要一步。火星与地球公转轨道近似为圆,两轨道平面近似重合,且火星与地球公转方向相同。火星与地球每隔约26个月相距最近,地球公转周期为12个月。由以上条件可以近似得出 ( )
A.地球与火星的动能之比
B.地球与火星的自转周期之比
C.地球表面与火星表面重力加速度大小之比
D.地球与火星绕太阳运动的向心加速度大小之比
答案 D
11.(2023湖北,2,4分)2022年12月8日,地球恰好运行到火星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线,此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动,火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2,如图所示。根据以上信息可以得出 ( )
A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B.当火星与地球相距最远时,两者的相对速度最大
C.火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D.下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
答案 B
12.(2023浙江1月选考,10,3分)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表:
行星名称 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径 R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
则相邻两次“冲日”时间间隔约为 ( )
A.火星365天 B.火星800天
C.天王星365天 D.天王星800天
答案 B
13.(2023届广州二中三模,7)一颗在赤道平面内自西向东绕地球做圆周运动的近地卫星P,在某时刻处于地面上一标志性建筑物Q的正上方,P做圆周运动的半径可近似看作地球半径,周期为85 min,考虑地球自转,则 ( )
A.P的角速度大小小于Q的角速度大小
B.P的向心加速度大小等于Q的向心加速度大小
C.经过5分钟,P处于Q的东侧
D.经过85分钟,P处于Q的正上方
答案 C
14.(2024届东莞一中期中,5)如图所示为2022年11月8日晚上出现的天文奇观“月掩天王星”照片,大大的月亮背景下天王星是一个小小的亮点。此时太阳、地球、月球、天王星几乎处于同一条直线上。已知地球和天王星绕太阳的公转方向与月球绕地球的公转方向相同,下列说法正确的是 ( )
A.在太阳参考系中,此时地球的速度大于月球的速度
B.在太阳参考系中,此时地球的加速度小于月球的加速度
C.下一次出现相同的天文奇观的时间间隔少于一年
D.月球和天王星的公转轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值相等
答案 B
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考点一 开普勒行星运动定律 万有引力定律
一、开普勒行星运动定律
内容 解释
开普勒第一定律
(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上 行星运动的轨道必有近日点和 远日点
开普勒第二定律
(面积定律) 对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 v1r1=v2r2,近日点速度最大,远日点 速度最小
开普勒
第三定律
(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次 方跟它的公转周期的二次方的 比都相等,即 =k 同一中心天体k值相同,不同中心 天体k值一般不同
二、万有引力定律
1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连线上,引力的大小 与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2.表达式:F=G ,G为引力常量,由英国物理学家卡文迪什测定。
3.适用条件
(1)质点间的相互作用。
(2)对于质量分布均匀的球体,r是两球心间距离。
点拨拓展 星球稳定自转的临界问题
当星球自转越来越快时,星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时,物体将会
“飘起来”,进一步导致星球瓦解,其临界条件是 =m R。
三、万有引力与重力的关系
1.关系推导
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是重力mg,二是提供物体随地球自转的向 心力F向,如图所示。
(1)在赤道上:G =mg1+mω2R。
(2)在两极上:G =mg2。
2.星体表面、上空的重力加速度
(1)在星体表面附近的重力加速度g(不考虑星体自转):由mg=G ,得g= 。
(2)在星体上空距离球心r=R+h处的重力加速度为g',由mg'= ,得g'= 。
3.挖补法求解万有引力
如图所示,在一个半径为R、质量为M的均匀球体中,紧贴球的边缘挖去一个半径为
的小球体后,已知位于球心和空穴中心连线上有一质点P,该质点与球心相距为d且质 量为m,求剩余部分对该质点的引力大小。
完整的均匀球体对球外质量为m的质点的引力F=G ,设挖去小球体后的剩余部分
对质点的引力为F1,半径为 的小球体对质点的引力为F2,则F=F1+F2,半径为 的小球
体质量M'= π( )3ρ= ,则F2=G =G ,所以F1=F-F2=G -G 。
四、天体质量和平均密度的计算
点拨拓展 (1)利用万有引力提供向心力估算天体质量时,估算的是中心天体的质量, 而非环绕天体的质量。
(2)区别中心天体半径R和轨道半径r,只有在中心天体表面附近做圆周运动时,才有r≈ R;V= πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件,例如地球的自转周期为24 h,公转周期为365天等。
考点二 人造卫星 宇宙速度
一、卫星运行参量的分析
1.核心思想
做匀速圆周运动的卫星所受的万有引力完全提供其所需向心力。
2.物理量随半径变化的规律
G =
点拨拓展 当r↑时,a↓v↓ω↓T↑(高轨、低速、大周期)。
例1 我国计划发射“人造月亮”,届时天空中将会同时出现月亮和“人造月亮”。 月亮A和“人造月亮”B绕地球(球心为O)的运动均可视为匀速圆周运动,如图所示,设 ∠BAO=θ,运动过程中θ的最大正弦值为p,月亮绕地球运动的线速度大小和周期分别 为v1和T1,“人造月亮”绕地球运动的线速度大小和周期分别为v2和T2,则 ( )
A. = , = B. = , =
C. = , = D. = , =
解析 设月亮绕地球运动的半径为r1,“人造月亮”绕地球运动的半径为r2,由题图
知,当AB的连线与“人造月亮”的轨道圆相切时,θ最大,有最大正弦值为p,根据几何关 系可得 sin θ= =p。根据G =m 可得v1= ,v2= ,由G =m r得T1=
,T2= ,所以 = = , = = ,故A正确,B、C、D错误。
答案 A
二、人造地球卫星
1.近地卫星:轨道半径r≈R(地球半径),向心加速度a=g(重力加速度),环绕速度v=7.9 km/ s,周期T≈84 min。
2.地球同步卫星的四个“一定”
3.地球同步卫星、近地卫星和赤道上物体的比较
如图所示,a为近地卫星(r1、ω1、v1、a1);b为地球同步卫星(r2、ω2、v2、a2);c为赤道上 随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)。
近地
卫星 地球同
步卫星 赤道上随地球自转的物 体
向心力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1=r3
角速度 ω1>ω2=ω3
线速度 v1>v2>v3
向心加速度 a1>a2>a3
例2 地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动,向心加速度为a1,线速度为v1, 角速度为ω1;同步卫星的向心加速度为a2,线速度为v2,角速度为ω2;近地卫星的向心加速 度为a3,线速度为v3,角速度为ω3。则 ( )
A.a1>a2>a3 B.a3>a2=a1
C.v1>v2>v3 D.ω3>ω2=ω1
解题指导 要以“共性”为中心比较判断。例如同步卫星与赤道上物体角速度相
同,同步卫星与近地卫星都绕地球“公转”。
解析 根据题意可知,同步卫星和赤道上物体的周期和角速度均相等,则有ω1=ω2;对
于同步卫星和近地卫星,由 =mω2r,解得ω= ,由于同步卫星的轨道半径大于近
地卫星的轨道半径,则ω2<ω3,即ω3>ω2=ω1,故D正确。对于同步卫星和赤道上物体,由a= ω2r可得a2>a1;对于同步卫星和近地卫星,根据 =ma有a= ,由于同步卫星的轨道
半径大于近地卫星的轨道半径,则a2
a2>a1,故A、B均错误。对于同步卫 星和赤道上物体,根据v=ωr可得v2>v1;对于同步卫星和近地卫星,根据万有引力提供向 心力有 =m ,解得v= ,由于同步卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径,
则v3>v2,联立得v3>v2>v1,故C错误。
答案 D
三、宇宙速度
1.第一宇宙速度:v1=7.9 km/s,是人造地球卫星的最小发射速度;也是绕地球做匀速圆周
运动的最大环绕速度。
2.第二宇宙速度:v2=11.2 km/s,卫星挣脱地球引力束缚需要的最小发射速度。
3.第三宇宙速度:v3=16.7 km/s,卫星挣脱太阳引力束缚需要的最小发射速度。
微专题5 双星及多星问题
“双星”问题 “三星”问题
情
境
图
运动
特点 转动方向、T、ω相同,运动半径 一般不同 环绕星体转动方向、T、ω、v大 小均相等,圆周运动半径相等
受力
特点 两星间的万有引力提供两星做 圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供 其做圆周运动的向心力
规律 =m1ω2r1
=m2ω2r2 甲: + =ma向
乙: ×cos 30°×2=ma向
关键 m1r1=m2r2
r1+r2=L 乙:r=
例1 (多选)人类首次发现的引力波来源于距地球约13亿光年的两个黑洞(质量分别 为36倍和29倍太阳质量)互相绕转最后合并的过程。设两个黑洞A、B绕其连线上的O 点做匀速圆周运动,如图所示。黑洞A的轨道半径大于黑洞B的轨道半径,两个黑洞的 总质量为M,两个黑洞间的距离为L,其运动周期为T,则 ( )
A.黑洞A的质量一定大于黑洞B的质量
B.黑洞A的线速度一定大于黑洞B的线速度
C.两个黑洞间的距离L一定,M越大,T越大
D.两个黑洞的总质量M一定,L越大,T越大
解析 设两个黑洞质量分别为mA、mB,轨道半径分别为RA、RB,角速度为ω,由万有引
力定律可知 =mAω2RA, =mBω2RB,RA+RB=L,得 = ,由题意可知,RA>RB,故黑
洞A的质量小于黑洞B的质量,A错误;vA=ωRA,vB=ωRB,RA>RB,故vA>vB,B正确;又由M=mA+ mB得GM=ω2L3,又因为T= ,故T=2π ,C错误,D正确。
答案 BD
微专题6 卫星的变轨和对接问题
离心运动 近心运动
轨道
起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小
实质 G m
变轨
结果 转变为在椭圆轨道运动或在 较大半径圆轨道上运动 转变为在椭圆轨道运动或在较 小半径圆轨道上运动
在新圆轨道上运动的速率比在 原轨道的小,周期比在原轨道的 大 在新圆轨道上运动的速率比在 原轨道的大,周期比在原轨道的 小
动能减少、势能增加、机械能 增加 动能增加、势能减少、机械能 减少
例2 2021年2月,天问一号火星探测器被火星捕获,经过一系列变轨后从“调相轨 道”进入“停泊轨道”,为着陆火星做准备。如图所示,阴影部分为探测器在不同轨 道上绕火星运行时与火星的连线每秒扫过的面积,下列说法正确的是 ( )
A.图中两阴影部分的面积相等
B.从“调相轨道”进入“停泊轨道”,探测器运行的周期变大
C.从“调相轨道”进入“停泊轨道”,探测器的机械能变小
D.探测器在P点的加速度小于在N点的加速度
解题指导 变轨问题要理解“供需”关系。
(1)当卫星的速度突然增大时,G < ,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离
心运动,轨道半径变大。
(2)当卫星的速度突然减小时,G > ,即万有引力大于所需要的向心力,卫星将做
近心运动,轨道半径变小。
解析 根据开普勒第二定律可知,在同一轨道上探测器绕火星运行时与火星的连线
相同的时间内扫过的面积相等,但在不同轨道上探测器与火星的连线相同的时间内扫 过的面积不相等,故A错误;根据开普勒第三定律 =k可知,探测器在“停泊轨道”上
的运行周期比在“调相轨道”上的小,故B错误;探测器从“调相轨道”进入“停泊轨 道”需在P点减速,做近心运动,探测器的机械能减小,故C正确;根据万有引力提供向心 力及牛顿第二定律有 =ma可知,探测器在P点的加速度比在N点的大,故D错误。
答案 C
微专题7 天体中的追及相遇问题
一、问题特征
天体中的追及相遇问题主要研究同一中心天体的两颗卫星相距最近或最远的情 况。当两颗卫星与中心天体在同一直线上,且位于中心天体的同一侧时,相距最近,如 图甲所示;当两颗卫星与中心天体在同一直线上,且位于中心天体的两侧时,相距最远, 如图乙所示。
二、角度关系
设卫星a(离中心天体近些)与卫星b同向运动,某时刻相距最近,如果经过时间t,两 卫星绕中心天体转过的角度之差等于2π的整数倍,则两卫星再次相距最近,即ω1t-ω2t=2 nπ(n=1,2,3,…)(ω1>ω2);如果经过时间t',两卫星绕中心天体转过的角〗度之差等于π的 奇数倍,则两卫星再次相距最远,即ω1t'-ω2t'=(2n-1)π(n=1,2,3,…)(ω1>ω2)。
三、圈数关系(两卫星同向运动)
1.最近: - =n(n=1,2,3,…)(T12.最远: - = (n=1,2,3,…)(T1四、天体中的追及相遇问题的处理方法
1.根据 =mω2r判断谁的角速度大。
2.当ωA>ωB时,根据两星追上或相距最近时满足两星运动的角度差等于2π的整数倍,即ω At-ωBt=n·2π(n=1,2,3,…);相距最远时两星运行的角度差等于π的奇数倍,即ωAt-ωBt=(2n+ 1)π(n=0,1,2,…)。
例3 (多选)如图所示,三个天体a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2),在 c的万有引力作用下,a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半 径ra∶rb=1∶4,则下列说法正确的有 ( )
A.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶8
B.a、b运动的周期之比为Ta∶Tb=1∶4
C.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线12次
D.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次
解析 根据开普勒第三定律 =k得 = = = ,则a、b运动的周期之比为1∶8,
选项A正确,B错误。设图示位置a、b与中心天体连线的夹角为θ,θ< ,b转动一周(圆心
角为2π)的时间为t=Tb,则a、b相距最远时 t- t=(π-θ)+n·2π(n=0,1,2,3,…),其中t≤Tb,
可知n<6.75,n可取7个值;a、b相距最近时 t- t=(2π-θ)+m·2π(m=0,1,2,3,…),其中t≤
Tb,可知m<6.25,m可取7个值,故在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次,选项D正确,C 错误。
一题多解 关于C、D选项,因a、b周期比为1∶8,即b运转一周,a需要运转8周,故在b
运转一周的时间内,a、b可以共线16次,但由于a、b开始时有相位差,所以减去开始和 最后两次共线,则共线14次。
答案 AD