专题一 直线运动
考点过关练
考点一 运动的描述
1.(2023浙江1月选考,3,3分)“神舟十五号”飞船和空间站“天和”核心舱成功对接后,在轨运行如图所示,则 ( )
A.选地球为参考系,“天和”是静止的
B.选地球为参考系,“神舟十五号”是静止的
C.选“天和”为参考系,“神舟十五号”是静止的
D.选“神舟十五号”为参考系,“天和”是运动的
答案 C
2.(2021福建,1,4分)一游客在武夷山九曲溪乘竹筏漂流,途经双乳峰附近的M点和玉女峰附近的N点,如图所示。已知该游客从M点漂流到N点的路程为5.4 km,用时1 h,M、N间的直线距离为1.8 km,则从M点漂流到N点的过程中 ( )
A.该游客的位移大小为5.4 km
B.该游客的平均速率为5.4 m/s
C.该游客的平均速度大小为0.5 m/s
D.若以所乘竹筏为参考系,玉女峰的平均速度为0
答案 C
考点二 匀变速直线运动的规律与应用
3.(2023上海,10,4分)炮管发射数百次炮弹后报废,炮弹飞出速度为1 000 m/s,则炮管报废前炮弹在炮管中运动的总时长约为 ( )
A.5秒 B.5分钟
C.5小时 D.5天
答案 A
4.(2023山东,6,3分)如图所示,电动公交车做匀减速直线运动进站,连续经过R、S、T三点,已知ST间的距离是RS的两倍,RS段的平均速度是10 m/s,ST段的平均速度是5 m/s,则公交车经过T点时的瞬时速度为 ( )
A.3 m/s B.2 m/s
C.1 m/s D.0.5 m/s
答案 C
5.(2022全国甲,15,6分)长为l的高速列车在平直轨道上正常行驶,速率为v0,要通过前方一长为L的隧道,当列车的任一部分处于隧道内时, 列车速率都不允许超过v(vA.+ B.+
C.+ D.+
答案 C
6.(2022湖北,6,4分)我国高铁技术全球领先,乘高铁极大节省了出行时间。假设两火车站W和G间的铁路里程为1 080 km, W和G之间还均匀分布了4个车站。列车从W站始发,经停4站后到达终点站G。设普通列车的最高速度为108 km/h,高铁列车的最高速度为324 km/h。若普通列车和高铁列车在进站和出站过程中,加速度大小均为0.5 m/s2,其余行驶时间内保持各自的最高速度匀速运动,两种列车在每个车站停车时间相同,则从W到G乘高铁列车出行比乘普通列车节省的时间为 ( )
A.6小时25分钟 B.6小时30分钟
C.6小时35分钟 D.6小时40分钟
答案 B
7.(2020课标Ⅰ,24,12分)我国自主研制了运 20重型运输机。飞机获得的升力大小F可用F=kv2描写,k为系数;v是飞机在平直跑道上的滑行速度,F与飞机所受重力相等时的v称为飞机的起飞离地速度。已知飞机质量为1.21×105 kg时,起飞离地速度为66 m/s;装载货物后质量为1.69×105 kg,装载货物前后起飞离地时的k值可视为不变。
(1)求飞机装载货物后的起飞离地速度;
(2)若该飞机装载货物后,从静止开始匀加速滑行1 521 m起飞离地,求飞机在滑行过程中加速度的大小和所用的时间。
答案 (1)78 m/s (2)2.0 m/s2 39 s
考点三 运动学图像
8.(2023全国甲,16,6分)一小车沿直线运动,从t=0开始由静止匀加速至t=t1时刻,此后做匀减速运动,到t=t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中,可能正确的是 ( )
答案 D
9.(2022河北,1,4分)科学训练可以提升运动成绩。某短跑运动员科学训练前后百米全程测试中,速度v与时间t的关系图像如图所示。由图像可知 ( )
A.0~t1时间内,训练后运动员的平均加速度大
B.0~t2时间内,训练前、后运动员跑过的距离相等
C.t2~t3时间内,训练后运动员的平均速度小
D.t3时刻后,运动员训练前做减速运动,训练后做加速运动
答案 D
10.(2021辽宁,3,4分)某驾校学员在教练的指导下沿直线路段练习驾驶技术,汽车的位置x与时间t的关系如图所示,则汽车行驶速度v与时间t的关系图像可能正确的是 ( )
答案 A
11.(2023湖北,8,4分)(多选)t=0时刻,质点P从原点由静止开始做直线运动,其加速度a随时间t按图示的正弦曲线变化,周期为2t0。在0~3t0时间内,下列说法正确的是 ( )
A.t=2t0时,P回到原点
B.t=2t0时,P的运动速度最小
C.t=t0时,P到原点的距离最远
D.t=t0时,P的运动速度与t=t0时相同
答案 BD
模型强化练
模型一 自由落体、竖直上抛模型
1.(2021湖北,2,4分)2019年,我国运动员陈芋汐获得国际泳联世锦赛女子单人10米跳台冠军。某轮比赛中,陈芋汐在跳台上倒立静止,然后下落,前5 m完成技术动作,随后 5 m完成姿态调整。假设整个下落过程近似为自由落体运动,重力加速度大小取10 m/s2,则她用于姿态调整的时间约为 ( )
A.0.2 s B.0.4 s C.1.0 s D.1.4 s
答案 B
2.(2019课标Ⅰ,18,6分)如图,
篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮,离地后重心上升的最大高度为H。上升第一个所用的时间为t1,第四个所用的时间为t2。不计空气阻力,则满足 ( )
A.1<<2 B.2<<3
C.3<<4 D.4<<5
答案 C
3.(2023广东,3,4分)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中,可视为质点的铯原子团在激光的推动下,获得一定的初速度。随后激光关闭,铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动,到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团的速度v或加速度a随时间t变化的图像是 ( )
答案 D
模型二 追及相遇模型
4.(2021广东,8,6分)(多选)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v t和s t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程,其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有 ( )
答案 BD
5.(2021海南,10,4分)(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动,t=0时经过路边的同一路标,下列位移 时间(x t)图像和速度 时间(v t)图像对应的运动中,甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是 ( )
答案 BC
6.(2018课标Ⅱ,19,6分)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度 时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶。下列说法正确的是 ( )
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后,乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
答案 BD
考点强化练
考点一 运动的描述
1.(2024届中山华侨中学二测,2)如图所示,风力发电机叶片上有P、Q两点,其中P在叶片的端点,Q在另一叶片的中点,叶片转动一圈,下列说法正确的是 ( )
A.P、Q两点路程一样
B.P、Q两点角速度大小相等
C.P、Q两点平均速率相等
D.P点平均速度大于Q点平均速度
答案 B
2.(2024届广东10月联考,1)北京时间2023年8月25日12时59分,谷神星一号遥八运载火箭在我国酒泉卫星发射中心成功发射升空,将搭载的“吉林一号”宽幅02A星顺利送入预定轨道,发射任务获得圆满成功。下列说法正确的是 ( )
A.火箭点火发射竖直升空的过程中,其加速度的方向与速度变化量的方向可能不一致
B.火箭离地瞬间,其速度和加速度均为零
C.火箭的速度越大,其加速度就越大
D.火箭的速度变化率越大,其加速度就越大
答案 D
考点二 匀变速直线运动的规律与应用
3.(2023届湛江一中、深圳实验学校1月联考,4)2022年9月6日,交通部门开展交通安全进校园活动,全面有效地提高了校车驾驶员和师生的交通安全意识和法律文明意识。若一辆校车以8 m/s的速度在道路上匀速行驶,驾驶员在距斑马线16.8 m处发现斑马线上有行人通过,随即刹车使校车做匀减速直线运动至停止,行人恰能安全通过。若校车在最后1 s内的位移为1.25 m,则驾驶员的反应时间为 ( )
A.0.1 s B.0.3 s C.0.4 s D.0.5 s
答案 D
4.(2024届佛山华侨中学一测,10)(多选)某次实验证实四个水球就可以挡住子弹。实验中,子弹恰好能穿出第四个水球,实验中将完全相同的水球紧挨在一起水平排列,子弹在水球中沿水平方向视为做匀变速直线运动,则 ( )
A.由题目信息可以求得子弹穿过每个水球的时间之比
B.子弹在每个水球中运动的平均速度相同
C.子弹在每个水球中速度变化量相同
D.子弹依次进入四个水球的初速度之比为2∶∶∶1
答案 AD
考点三 运动学图像
5.(2024届广州大学附属中学开学考,2)(多选)为检测某新能源动力车的刹车性能,一次在平直公路上实验时,动力车整个刹车过程中位移与速度的二次方之间的关系图像如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.动力车的初速度为20 m/s
B.刹车过程动力车的加速度大小为5 m/s2
C.刹车过程持续的时间为10 s
D.刹车过程经过6 s时动力车的位移为30 m
答案 AB
6.(2023届湛江一模,2)甲、乙两同学各自骑自行车在一条平直公路上沿直线运动,其位移x随时间t的变化规律分别如图中图线甲、乙所示,图线甲是直线,图线乙是抛物线,下列说法正确的是 ( )
A.0~t1时间内甲、乙的平均速度相等
B.0~t3时间内甲、乙之间的最大距离为x0
C.t2~t3时间内甲、乙的运动方向相反
D.t1时刻甲、乙的速度相同
答案 B
7.(2023届广州一模,8)(多选)如图,足球场上,某运动员进行“边路突破”训练,沿边线将足球向前踢出,为控制足球,又向前追赶足球,下列v t和x t图像能大致反映此过程的是 ( )
A B
C D
答案 AC
8.(2023届揭阳一模,2)如图,直线a和曲线b分别是在平行的平直公路上行驶的汽车a和b的速度 时间(v t)图线,在t3时刻两车刚好在同一位置(并排行驶),t2时刻曲线b的切线与直线a平行,下列说法正确的是 ( )
A.在t1时刻,两车刚好也是处于同一位置(并排行驶)
B.在t2时刻,b车位于a车的前方
C.t1到t3这段时间内,a车的平均速度等于b车的平均速度
D.t1到t3这段时间内,b车的加速度先增大后减小
答案 B
模型综合练
模型一 自由落体、竖直上抛模型
1.(2024届汕头潮阳一中期中,9)(多选)雨后,屋檐还在不断滴着水滴。如图所示,小红同学认真观察后发现,这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落,每隔相等时间滴下一颗水滴,水滴在空中的运动情况都相同,某时刻起,第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时,第5颗水滴恰要滴下。她测得,屋檐到窗台下边沿的距离H=3.2 m,窗户的高度h=1.4 m,不计空气阻力的影响,可认为水滴做自由落体运动(g取10 m/s2)。下列结论正确的是 ( )
A.水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小为6 m/s
B.每隔0.2 s滴下一颗水滴
C.水滴经过窗户的时间为0.3 s
D.水滴经过窗户的平均速度为7 m/s
答案 BD
2.(2024届佛山顺德华侨中学8月月考,8)(多选)在离地面h=15 m高处,以v0=10 m/s的速度同时竖直向上与竖直向下抛出甲、乙两相同小球,不计空气阻力,小球落地后就不再弹起,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 ( )
A.两小球落地时的速度相等
B.两小球落地的时间差为3 s
C.甲球离地最高20 m
D.t=2 s时,两小球相距20 m
答案 AC
模型二 追及相遇模型
3.(2024届佛山顺德华侨中学8月月考,6)A车和B车(均可视为质点)在平直的公路上沿两平行车道同向行驶,A车在后,如图甲所示,以某时刻作为计时起点,两车相距x0=12 m,A车运动的x t图像如图乙所示,B车运动的v t图像如图丙所示。则下列说法正确的是 ( )
甲
乙 丙
A.两车相遇前,在t=2 s时,两车相距最远,且最远距离为16 m
B.在0~6 s内,B车的位移为16 m
C.在t=8 s时,两车相遇
D.若t=1 s时,A车紧急制动(视为匀减速直线运动),要使A车追不上B车,则A车的加速度大小应大于 m/s2
答案 D
4.(2024届广东四校9月联考,10)(多选)两车在不同的行车道上同向行驶,t=0时刻,乙车在甲车前方25 m处。两车速度 时间(v t)图像分别为图中直线甲和直线乙,交点坐标图中已标出,则 ( )
A.乙车的加速度是0.6 m/s2
B.第5 s末两车相距40 m
C.相遇前,甲、乙两车的最大距离是55 m
D.25 s末时甲车追上乙车
答案 BD
5.(2024届茂名信宜二中10月月考,5)ETC是不停车电子收费系统的简称,甲车通过ETC通道,乙车通过人工通道,两车同时到达收费站中心线并开始计时。此时甲车速度为5 m/s,ETC自动抬杆放行,乙车停在人工通道中心线处缴费,缴费后开始加速。过中心线后的最初一段时间两辆车的v t图像如图所示。下列说法正确的是 ( )
A.乙车25 s时追上甲车
B.乙车启动时,甲车在其前方50 m处
C.乙车超过甲车后,两车还会再次相遇
D.运动过程中,乙车落后甲车的最大距离为100 m
答案 D
微专题专练
微专题1 直线运动的多过程问题
1.(2024届潮州潮安凤塘中学统测,8)随着社会的发展,人民生活水平提高了,越来越多的人喜欢旅游,很多景点利用地势搭建了玻璃栈道。假设某位游客从玻璃栈道一端由静止出发,先匀加速后匀速,加速度a=0.5 m/s2,最大速度为2 m/s,玻璃栈道长96米,则该游客从一端到另一端的最短时间为 ( )
A.48 s B.50 s C.8 s D.4 s
答案 B
2.(2024届东莞四中9月月考,8)(多选)在某次测试中,某火箭竖直起降的速度 时间图像如图所示,则下列判断中正确的是 ( )
A.0~t2时间内,火箭的加速度先增大后减小
B.t1时刻火箭高度达到最大,随后开始下降
C.t2~t3时间内,火箭处于悬停状态,t3时刻火箭开始下降
D.图中,在时间段0~t2与t3~t4内图线与t轴所围面积相等
答案 CD
3.(2023届中山华侨中学三模,2)某质点做匀减速直线运动,依次经过A、B、C三点,最后停在D点。已知AB=6 m,BC=4 m,从A点运动到B点,从B点运动到C点两个过程速度变化量都为-2 m/s,下列说法正确的是 ( )
A.质点到达B点的速度大小为2.55 m/s
B.质点的加速度大小为1 m/s2
C.质点从A点运动到C点的时间为1 s
D.A、D两点间的距离为12.25 m
答案 D
4.(2023届茂名5月联考,14)在交通事故现场勘查中,刹车痕迹是事故责任认定的一项重要依据。在平直的公路上,一辆汽车正以108 km/h的速度匀速行驶,司机突然发现正前方不远处一辆货车正以36 km/h的速度匀速行驶,汽车司机立即刹车以8 m/s2的加速度做匀减速运动,结果还是撞上了货车,撞后瞬间两车速度相等。撞后汽车立即以7.5 m/s2的加速度做减速运动直至停下来,汽车从开始刹车到最终停止运动,整个过程在地上留下的刹车痕迹长46.25 m;撞后货车也立即以2.5 m/s2的加速度向前做减速运动,滑行45 m后停下。已知货车质量为1.6 t,两车碰撞时间极短,可忽略不计,求:
(1)碰撞后瞬间货车的速度大小;
(2)汽车的司机发现货车时,两车之间的距离。
答案 (1)15 m/s (2)18.75 m
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考点一 运动的描述
一、质点和参考系
1.物体可以看作质点的条件
当物体的形状和大小对所研究的问题没有影响或影响可以忽略时,该物体可以看作质 点。
2.参考系的选取
(1)参考系的选取是任意的,但选取的参考系不同,结论往往不同。一般选静止或匀速 直线运动的物体为参考系,通常选地面为参考系。
(2)参考系既可以选取运动的物体,也可以选取静止的物体。
(3)比较两物体的运动情况时,必须选取同一参考系。
二、时间与时刻 位移与路程
1.时间与时刻
时刻对应着时间轴上的某一点,时间间隔(简称时间)对应着时间轴上的一条线段。
位移 路程
定义 由初位置指向末位置的有向线 段 物体运动轨迹的长度
标矢性 矢量 标量
物理意义 描述物体位置的变化 描述物体运动轨迹的长度
联系 (1)位移的大小一般小于路程
(2)仅在单向直线运动中,位移的大小等于路程
2.位移与路程
平均速度 瞬时速度 速率 平均速率
定
义 位移与发生这段位 移所用时间的比 值, = 物体在某一时刻的 速度 瞬时速度的大小 路程与通过这段路 程所用时间的比值
标
矢
性 矢量,与Δx方向一 致 矢量,与某一时刻 运动方向一致 标量 标量
联
系 (1)当时间趋于零时,平均速度等于瞬时速度
(2)在匀速直线运动中,瞬时速度和平均速度相同,速率和平均速率相等
(3)平均速率为0,则平均速度必为0;平均速度为0,则平均速率不一定为0
三、速度与速率
四、加速度
1.速度、速度变化量和加速度的比较
速度 速度变化量 加速度
(速度变化率)
物理
意义 描述物体运动的快慢和 方向,是状态量 描述物体速度的变化,是 过程量 描述物体速度变化的快 慢和方向,是状态量
定义
式 v= Δv=v-v0
(矢量差) a=
续表
速度 速度变化量 加速度
(速度变化率)
单位 m/s m/s m/s2
方向 与Δx同向,即物体运动 的方向 由v0与v的方向共同确 定,与a的方向一致 由F合的方向决定,与Δv 同向,而与v0、v的方向 无必然联系
2.加速度对速度变化的影响
点拨拓展 注意几个“不一定”
(1)速度大,加速度不一定大;加速度大,速度也不一定大。加速度和速度的大小没有必
然联系。
(2)速度变化量大,加速度不一定大;加速度大,速度变化量也不一定大。
(3)加速度为零,速度不一定为零;速度为零,加速度也不一定为零。
考点二 匀变速直线运动的规律与应用
一、匀变速直线运动基本公式
1.速度与时间关系式:v=v0+at。
2.位移与时间关系式:x=v0t+ at2。
3.位移与速度关系式:v2- =2ax。
二、匀变速直线运动的几个重要推论
1.匀变速直线运动的常用推论
(1)平均速度: = = = (中间时刻速度)。
(2)中间位置速度: = 。
点拨拓展 由图可以发现无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动,均有 > 。
(3)任意两个连续相等时间间隔T内的位移之差Δx相等,即Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1= aT2,进一步推导有xm-xn=(m-n)aT2。
例1 雾天开车在高速公路上行驶,设能见度(驾驶员与能看见的最远目标间的距离)为 30 m,驾驶员的反应时间为0.5 s,汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为10 m/s2,为 了安全行驶,汽车行驶的最大速度不能超过 ( )
A.10 m/s B.15 m/s
C.10 m/s D.20 m/s
解析 驾驶员反应过程中,汽车做匀速直线运动,行驶距离x1=vt1,其中t1=0.5 s,刹车过
程中,汽车做匀减速直线运动,有x2= ,为了安全行驶应有x1+x2≤30 m,联立解得最大速
度v=20 m/s(另一解v=-30 m/s舍去)。
答案 D
2.初速度为零的匀变速直线运动的推论
(1)T末、2T末、3T末……nT末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶ n(vn=anT)
(2)前T、前2T、前3T……前nT的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn=1∶4∶9∶…∶n2
(3)从静止开始第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内的位移之比x'1∶x'2∶ x'3∶…∶x'n=1∶3∶5∶…∶(2n-1)
(4)从静止开始第一段x、第二段x、第三段x……第n段x的末速度之比v1∶v2∶v3∶ …∶vn=1∶ ∶ ∶…∶
(5)从静止开始通过第一段x、第二段x、第三段x……第n段x所用时间之比t1∶t2∶t3∶
…∶tn=1∶( -1)∶( - )∶…∶( - )
三、处理匀变速直线运动问题的方法
1.两类特殊的匀变速直线运动问题
(1)刹车类问题
该类问题的特点是当物体速度为0时,其加速度也突变为0。求解此类问题应先判断物 体停下所用时间,再选择合适公式求解。
(2)双向可逆类问题
该类问题特点是全程加速度不变,如沿光滑固定斜面上滑的小球,物体先做匀减速直 线运动,速度减为0后再反向做匀加速直线运动,规定正方向,全过程应用基本公式求解。
2.常用公式及选用技巧
题目涉及物理量 不涉及的物理量 适宜选用公式
v0,v,a,t x v=v0+at
v0,a,t,x v x=v0t+ at2
v0,v,a,x t v2- =2ax
v0,v,x,t a x= t
3.解匀变速直线运动问题的常用方法
例2 某物体沿着一条直线做匀减速运动,依次经过A、B、C三点,最终停止在D 点。A、B之间的距离为s0,B、C之间的距离为 s0,物体通过AB与BC两段距离所用时
间都为t0,则下列说法正确的是 ( )
A.物体通过B点时的速度是
B.物体由C点运动到D点所用的时间是
C.物体运动的加速度是
D.C、D之间的距离是
解析 过B点对应的时刻为物体由A点运动到C点的中间时刻,由平均速度法可得vB=
= ,A错误。物体通过AB与BC两段距离所用时间都为t0,由Δx=at2可得s0- s0=a
,所以加速度大小a= ,C错误。运用逆向思维法,将物体由B点到D点的运动看成反
向的初速度为零的匀加速直线运动,可得tDB= ,物体由C点运动到D点所用的时间tCD=
tDB-t0,联立解得tCD= t0,B正确。设物体由D点反向匀加速 通过的位移为x,由比例法可
得xCB=7x+9x= s0,解得x= s0,则C、D之间的距离为x+3x+5x= s0,D错误。
答案 B
考点三 运动学图像
一、x-t图像和v-t图像的比较
x-t图像 v-t图像
图例
纵截距 t=0时刻质点的位置 t=0时刻质点的速度
斜率 斜率kx=
表示速度 斜率kv=
表示加速度
拐点① 速度变化 加速度变化
交点② 两质点同时刻在
同一位置(相遇) 速度相等
面积 无意义 表示位移
倾斜
直线 匀速直线运动 匀变速直线运动
共同点 x-t、v-t图像都描述直线运动,图线不代表运动轨迹
二、四类非常规运动学图像
由Δv=aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量
由x=v0t+ at2可得 =v0+ at,纵截距b为初速度v0,图线斜率k为 a
由v2- =2ax可知v2= +2ax,纵截距b为 ,图线斜率k为2a
v-x图线斜率k= = · = ,则a=kv,可知随物体
运动速度的增大,物体的加速度a也增大,物体做加 速度增大的变加速直线运动
例3 如图所示的四幅图为物体做直线运动的图像,下列说法正确的是 ( )
A.图甲中,物体在0~t0时间内的位移小于
B.图乙中,物体的加速度为2 m/s2
C.图丙中,阴影面积表示t1~t2时间内物体的加速度变化量
D.图丁中,t=3 s时物体的速度为25 m/s
解析 题图甲中,v-t图线与t轴所围的“面积”表示位移,可知物体在0~t0时间内的位
移大于 ,A错误。题图乙中,根据v2=2ax可知2a= m/s2=1 m/s2,则物体的加速度为0.
5 m/s2,B错误。题图丙中,根据Δv=aΔt可知,阴影面积表示t1~t2时间内物体的速度变化 量,C错误。题图丁中,由x=v0t+ at2可得 =v0+ at,由图像可知 a= m/s2=5 m/s2,则a=
10 m/s2,又知t=0时v0=-5 m/s,t=3 s时物体的速度v3=v0+at=25 m/s,D正确。
答案 D
归纳总结
分析图像类问题的思维流程
三、图像间的转换
解决图像转换问题的三个关键点
(1)注意合理划分运动阶段,分阶段进行图像转换;
(2)注意相邻运动阶段的衔接,尤其是运动参量的衔接;
(3)注意图像转换前后核心物理量间的定量关系,这是图像转换的依据。
模型一 自由落体、竖直上抛模型
一、基本规律对比
自由落体(取竖直向下为正) 竖直上抛(取竖直向上为正)
运动特点 受力 只受重力,a=g 只受重力,a=-g
初速度v0 v0=0 v0≠0,方向竖直向上
速度时间关系 v=gt v=v0-gt
位移时间关系 h= gt2 h=v0t- gt2
速度位移关系 v2=2gh v2- =-2gh
上升最大高度 — H=
运动时间 t= t=
点拨拓展 (1)匀变速直线运动的基本公式及常用推论都适用于这两种运动。
(2)可充分利用自由落体运动初速度为零的特点,利用比例关系解题。
二、竖直上抛的两个特性
1.对称性
(1)时间对称:物体上升过程中从A到C所用时间tAC和下降过程中从C到A所用时间tCA相 等,即tAC=tCA;同理tAB=tBA。
(2)速度对称:物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。
(3)能量对称:物体上升过程经过A点的动能与下降过程经过A点的动能相等。
2.多解性
当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,从而形 成多解;当知道物体位置与起抛点的距离时,物体可能位于起抛点上方,也可能位于起 抛点下方,从而形成多解。
三、解决竖直上抛运动问题的两种方法
1.分段法:将竖直上抛运动的上升和下降两个阶段分开,先对其中一个阶段单独求解, 再由对称性推出另一个阶段的运动情况。
2.全程法:由匀变速直线运动公式对竖直上抛全过程进行运动分析。(以竖直向上为 正方向)
速度时间关系:v=v0-gt。
位移时间关系:h=v0t- gt2。
速度位移关系:v2- =-2gh。
点拨拓展 若速度为正,物体处于上升阶段;若速度为负,物体处于下降阶段。
若位移为正,物体处于抛出点上方;若位移为负,物体处于抛出点下方。
例1 物体从某一高度自由下落,落地前最后1 s内的位移为25 m。求物体开始下落时 距地面的高度,不计空气阻力。(g取10 m/s2)
解析 ①最后一秒的平均速度是多少 该平均速度与哪个瞬间的速度相同
对最后一秒有 = =25 m/s,此平均速度等于最后一秒内中间时刻的速度即 = =25 m/s。
②从开始下落到最后一秒的中间时刻,物体运动了多长时间
从开始下落到最后一秒的中间时刻的过程为自由落体运动。由 =gt',得到从开始下
落,到最后一秒的中间时刻,运动时间t'=2.5 s。
③下落全过程物体运动了多长时间 下落高度是多少
该自由落体运动全程的时间为T=3 s。全程下落高度为H= gT2=45 m。
一题多解 解法一:假设全过程所用时间为T,则有H= gT2,
而对开始下落到落地前一秒有
h= g(T-1)2,
又有H-h=25 m,联立可得T=3 s。
故H=45 m。
解法二:设全过程所用时间为T,
则有v末=gT;
而对开始下落到落地前一秒又有v=g(T-1)。
对最后一秒,有2gx= -v2,联立可得T=3 s。
故H= gT2=45 m。
答案 45 m
例2 (多选)从高为20 m的位置以20 m/s的初速度竖直上抛一物体,g取10 m/s2,当物体 到抛出点距离为15 m时,所经历的时间可能是 ( )
A.1 s B.2 s
C.3 s D.(2+ ) s
解析 取竖直向上为正方向,当物体运动到抛出点上方离抛出点15 m时,位移为x=15
m,由竖直上抛运动的位移公式得x=v0t- gt2,解得t1=1 s、t2=3 s;当物体运动到抛出点下
方离抛出点15 m时,位移为x'=-15 m,由x'=v0t'- gt'2,解得t'=(2+ ) s或t'=(2- ) s(负值舍
去),故A、C、D正确,B错误。
答案 ACD
模型二 追及相遇模型
追及相遇模型的三种常用分析方法
1.情境分析法
2.二次函数法
设运动时间为t,根据条件列方程,得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关 系。
(1)若Δ>0,有两个解,说明二者可以相遇两次。
(2)若Δ=0,有一个解,说明二者可以相遇一次,也是刚好不相撞的临界条件。
(3)若Δ<0,无解,说明二者不能相遇。
(4)在at2+bt+c=0中,当t=- 时,函数有极值,表示此时二者距离最大或最小。
3.图像分析法(v-t图像分析)
(1)初速度小者追初速度大者
图像 说明
匀加
速追
匀速 ①0~t0时间内,两物体间距离不断增大
②t=t0时,两物体共速且相距最远,距离为x0+Δx(x0为两物体的初始距离)
③t=t0后,两物体间距离不断减小
④能追上且只能相遇一次
匀速
追匀
减速
匀加
速追
匀减
速
点拨拓展 若被追的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已 经停止运动。
(2)初速度大者追初速度小者
图像 说明
匀减
速追
匀速 开始追赶时,两物体间距离为x0,之后两物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:
①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件
②若Δx③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻Δx1=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇,且t2-t0=t0-t1
匀速
追匀
加速
匀减
速追
匀加
速
例3 甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶,它们的v-t图像如图所示,t=1 s时,甲、乙 第一次并排行驶,则 ( )
A.t=0时,甲在乙的前面4.5 m处
B.t=2 s时,甲在乙的前面6 m处
C.两次并排行驶的时间间隔为2.5 s
D.两次并排行驶的位置间距为8 m
解析 根据v-t图像可得两汽车的瞬时速度的表达式分别为v甲=(8-2t) m/s,v乙=(2+t) m/
s,t=1 s时,甲、乙第一次并排行驶,即两车此时相遇,在第1 s内甲和乙的位移之差为Δx1= m=4.5 m,因甲的速度比乙的速度大,所以甲追乙,则t=0时,甲在乙的
后面4.5 m处,故A错误;在t=2 s时,两车的距离为Δx2= m=1.5 m,甲在乙
的前面1.5 m处,故B错误;t=2 s时两者的速度相等,根据图像的对称性可知t=1 s时和t=3 s时两车两次相遇,故两次并排行驶的时间间隔为2 s,故C错误;根据图像的对称性可知, 在1~3 s内两车的位移相同,位移大小为x= ×2 m=8 m,故D正确。
答案 D
例4 一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯亮时汽车以a=3 m/s2的加速度开始加速行 驶,恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过,从后边超过汽车。汽车从路口启动 后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时两车的距离是多少
解析 解法一(情境分析法)
汽车与自行车的速度相等时相距最远,设此时经过的时间为t,两车间的距离为Δx,根据 v=at得t= =2 s,Δx=vt- at2=6 m。
解法二(二次函数法)
设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远,则Δx=vt- at2
代入已知数据得Δx=6t- t2
由二次函数求极值的条件知t=2 s时,Δx有最大值6 m,所以t=2 s时两车相距最远,距离为 Δxm=6 m。
解法三(图像分析法)
自行车和汽车的v-t图像如图所示,由图可以看出,在相遇前,t1时刻两车速度相等,两车 相距最远,此时的距离等于阴影三角形的面积。
由题可知v1=6 m/s,
所以有t1= = s=2 s,
则Δx= = m=6 m。
答案 2 s 6 m
归纳总结
追及相遇问题的解题要点
1.一个概念先牢记
追及相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系,而其中核心的概念“相遇”是指两 个物体在同一时刻处于同一位置。
2.两类图画仔细
追及相遇问题主要涉及两类图,一是两物体运动的示意图,二是描述物体运动的物理
量之间的函数关系图(以v-t图像为主)。
3.三条关系来分析
(1)时间关系:若同时运动同时停止,则相同;若两个物体运动有先后顺序,则t先=t后+t0。
(2)位移关系:在确定两物体位移关系时通常借助两物体运动示意图。此外还要注意, 两物体是否从同一地点出发,如不是,还要考虑初始位置之间的距离。
(3)速度关系:速度相等是两物体间距离最大或最小、恰好追上或恰好追不上,恰好不 相撞的临界条件。
微专题1 直线运动的多过程问题
一、问题特点
一个物体的运动包含几个阶段,各阶段的运动性质不同,满足不同的运动规律。 一般要分段研究,相邻两阶段交接处的速度是联系两个运动过程的纽带,求解连接点 的速度是解题的关键。
二、解题思路
例 ETC是电子不停车收费系统的简称,汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流 程如图所示。假设汽车(视为质点)以v1=12 m/s朝收费站沿直线行驶,如果过ETC通道, 需要在距收费站中心线前d=10 m处正好匀减速至v2=4 m/s,匀速通过中心线后,再匀加 速至v1正常行驶;如果过人工收费通道,需要恰好在中心线处匀减速至零,经过t0=20 s缴 费成功后,再启动汽车匀加速至v1正常行驶,设汽车加速和减速过程中的加速度大小均 为1 m/s2。求:
(1)汽车过ETC通道时,从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小;
(2)汽车通过人工收费通道,应在离收费站中心线多远处开始减速;
(3)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间是多少。
解题指导 (1)过ETC通道时经历三个运动阶段
(2)过人工收费通道经历三个运动阶段
解析 (1)汽车过ETC通道时,减速过程的位移和加速过程的位移相等,为x1= =6
4 m,故总的位移 =2x1+d=138 m。
(2)汽车经人工收费通道,开始减速时距离中心线为x2= =72 m。
(3)过ETC通道的时间t1= ×2+ =18.5 s,
过人工收费通道的时间t2= ×2+t0=44 s, =2x2=144 m,二者的位移差Δx= - =6 m,
在这段位移内过ETC通道的汽车以速度v1做匀速直线运动,则Δt=t2-(t1+ )=25 s。
答案 (1)138 m (2)72 m (3)25 s
