专题四 曲线运动
考点过关练
考点一 曲线运动 运动的合成与分解
1.(2023辽宁,1,4分)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是 ( )
A B C D
答案 A
2.(2023全国乙,15,6分)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力,下列四幅图可能正确的是 ( )
答案 D
3.(2021辽宁,1,4分)1935年5月,红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300 m,水流速度3 m/s,木船相对静水速度1 m/s,则突击队渡河所需的最短时间为 ( )
A.75 s B.95 s C.100 s D.300 s
答案 D
4.(2023江苏,10,4分)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是 ( )
答案 D
考点二 抛体运动
5.(2022广东,6,4分)如图所示,在竖直平面内,截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处,一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时,小积木恰好由静止释放,子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是 ( )
A.将击中P点,t大于
B.将击中P点,t等于
C.将击中P点上方,t大于
D.将击中P点下方,t等于
答案 B
6.(2023湖南,2,4分)如图(a),我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图(b)所示,其轨迹在同一竖直平面内,抛出点均为O,且轨迹交于P点,抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2,其中v1方向水平,v2方向斜向上,忽略空气阻力,关于两谷粒在空中的运动,下列说法正确的是 ( )
A.谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度
B.谷粒2在最高点的速度小于v1
C.两谷粒从O到P的运动时间相等
D.两谷粒从O到P的平均速度相等
答案 B
7.(2022广东,3,4分)如图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下,经过水平NP段后飞入空中,在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失,不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是 ( )
答案 C
8.(2023新课标,24,10分)将扁平的石子向水面快速抛出,石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方,俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果,石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”,一同学将一石子从距水面高度为h处水平抛出,抛出速度的最小值为多少 (不计石子在空中飞行时的空气阻力,重力加速度大小为g)
答案
9.(2022全国甲,24,12分)将一小球水平抛出,使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄,频闪仪每隔0.05 s发出一次闪光。某次拍摄时,小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光,拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像,每相邻两个球之间被删去了3个影像,所标出的两个线段的长度s1和s2之比为3∶7。重力加速度大小取g=10 m/s2,忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
答案 m/s
考点三 圆周运动
10.(2023全国甲,17,6分)一质点做匀速圆周运动,若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比,运动周期与轨道半径成反比,则n等于 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
11.(2021广东,4,4分)由于高度限制,车库出入口采用如图所示的曲杆道闸。道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成,P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中,杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向成30°匀速转动到60°的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.P点的线速度大小不变
B.P点的加速度方向不变
C.Q点在竖直方向做匀速运动
D.Q点在水平方向做匀速运动
答案 A
12.(2022北京,8,3分)我国航天员在“天宫课堂”中演示了多种有趣的实验,提高了青少年科学探索的兴趣。某同学设计了如下实验:细绳一端固定,另一端系一小球,给小球一初速度使其在竖直平面内做圆周运动。无论在“天宫”还是在地面做此实验, ( )
A.小球的速度大小均发生变化
B.小球的向心加速度大小均发生变化
C.细绳的拉力对小球均不做功
D.细绳的拉力大小均发生变化
答案 C
13.(2019江苏,6,4分)(多选)如图所示,摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m,运动半径为R,角速度大小为ω,重力加速度为g,则座舱 ( )
A.运动周期为
B.线速度的大小为ωR
C.受摩天轮作用力的大小始终为mg
D.所受合力的大小始终为mω2R
答案 BD
14.(2020课标Ⅰ,16,6分)如图,一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m,该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时,速度大小为8 m/s,此时每根绳子平均承受的拉力约为 ( )
A.200 N B.400 N C.600 N D.800 N
答案 B
15.(2022辽宁,13,10分)2022年北京冬奥会短道速滑混合团体2 000米接力决赛中,我国短道速滑队夺得中国队在本届冬奥会的首金。
(1)如果把运动员起跑后进入弯道前的过程看作初速度为零的匀加速直线运动,若运动员加速到速度v=9 m/s时,滑过的距离x=15 m,求加速度a的大小;
(2)如果把运动员在弯道滑行的过程看作轨迹为半圆的匀速圆周运动,如图所示,若甲、乙两名运动员同时进入弯道,滑行半径分别为R甲=8 m、R乙=9 m,滑行速率分别为v甲=10 m/s、v乙=11 m/s,求甲、乙过弯道时的向心加速度大小之比,并通过计算判断哪位运动员先出弯道。
答案 (1)2.7 m/s2 (2) 甲先出弯道
考点强化练
考点一 曲线运动 运动的合成与分解
1.(2023届佛山高明一中月考,5)如图所示,房屋瓦面与水平面夹角为37°,一小球由静止开始从3 m长的瓦面顶端滚下,运动过程中阻力不计,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则小球离开瓦面时水平方向和竖直方向分速度大小分别为(g取10 m/s2) ( )
A.4.8 m/s,3.6 m/s B.2.4 m/s,1.8 m/s
C.4 m/s,6 m/s D.5 m/s,4 m/s
答案 A
2.(2024届深圳龙华高中月考,9)(多选)如图所示,一条细绳跨过光滑轻质定滑轮连接物体A、B,物体A悬挂起来,物体B穿在一根水平杆上。若物体B在水平外力作用下沿杆匀速向左运动,速度大小为v,当绳与水平杆间的夹角为θ时,下列判断正确的是 ( )
A.物体A的速度为
B.物体A的速度为v cos θ
C.细绳的张力等于物体A的重力
D.细绳的张力大于物体A的重力
答案 BD
3.(2024届广东四校10月联考,7)“筋膜枪”利用其内部特制的高速电机带动枪头,产生的高频振动可以作用到肌肉深层,以起到缓解疼痛、促进血液循环的作用。如图所示为某款筋膜枪的内部结构简化图,连杆OB以角速度ω绕垂直于纸面的O轴匀速转动,带动连杆AB,使套在横杆上的滑块左右滑动,从而带动枪头振动。已知AB杆长为L,OB杆长为R,当AB⊥OB时,滑块的速度大小为 ( )
A.ωR B.
C. D.
答案 B
4.(2023届广州二模,6)潜艇从海水的高密度区驶入低密度区。浮力急剧减小的过程称为“掉深”。某潜艇在高密度区水平向右匀速航行,t=0时,该潜艇开始“掉深”,潜艇“掉深”后其竖直方向的速度vy随时间变化的图像如图所示,水平速度vx保持不变,若以水平向右为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向,则潜艇“掉深”后的0~30 s内。能大致表示其运动轨迹的图形是 ( )
答案 B
5.(2024届梅州虎山中学期中,10)(多选)2023年7月28日至8月8日,成都成功举办了第31届世界大学生夏季运动会。如图1为运动会上某队列的走方阵示意图,AB与CD垂直于操场跑道,某时刻该队伍前排刚到直线AB处,正在D点的工作人员准备沿直线DC方向从静止开始穿到对面,已知工作人员的速度v1的二次方与人离D点的距离x变化的关系如图2所示,AB与CD相距3 m,队列前进的速度v2为1 m/s,跑道宽3 m,则以下说法正确的是 ( )
A.该工作人员会在到达C点之前影响到队伍前进
B.该工作人员穿过跑道用时2 s
C.该工作人员的加速度大小为 m/s2
D.该工作人员相对队伍最大的速度为 m/s
答案 CD
6.(2024届龙华高中月考,4)(多选)通过北斗定位系统可以记录飞机飞行高度的海拔h、水平方向的速率v等实时数据。一架飞机从静止开始滑跑起飞,用记录数据拟合得到h t、v t图线分别如图甲、图乙所示,图甲中40~70 s时间内的图线为抛物线,其余图线均为直线。根据图中数据可知 ( )
A.前100 s时间内,飞机爬升的高度为600 m
B.40~70 s时间内,飞机的加速度为0.2 m/s2
C.70~100 s时间内,飞机做匀速直线运动
D.100~150 s时间内,飞机做匀加速曲线运动
答案 BCD
考点二 抛体运动
7.(2023届广东湛江二模,6)如图所示,某同学在篮筐前某位置跳起投篮。篮球出手点离水平地面的高度h=1.8 m。篮球离开手的瞬间距篮筐的水平距离为5 m,水平分速度大小v=10 m/s,要使篮球到达篮筐时,竖直方向的分速度刚好为0。将篮球看成质点,篮筐大小忽略不计,忽略空气阻力,取重力加速度大小g=10 m/s2。篮筐离地面的高度为 ( )
A.2.85 m B.3.05 m C.3.25 m D.3.5 m
答案 B
8.(2023届茂名二模,5)跳台滑雪是最刺激的冰雪运动之一,如图为某滑道示意图。长直助滑道AB与水平起跳平台BC连接,着陆坡足够长。运动员(含雪杖)沿AB滑下,经过一段时间从C点沿水平方向飞出,最后落在着陆坡上的D点。在不考虑空气阻力情况下,运动员 ( )
A.在助滑道上受重力、支持力、摩擦力和下滑力作用
B.离开跳台在空中飞行时处于超重状态
C.在离着陆坡最远时,速度方向与着陆坡平行
D.在空中的飞行时间与离开C点时的速度无关
答案 C
9.(2023届汕头一模,4)如图所示,在竖直平面中,有一根水平放置的、长度为L的不可伸长的轻绳,轻绳的一端固定在O点,另一端连有质量为m的小球。现从A点由静止释放小球,当小球运动到O点正下方B点时,轻绳突然断裂。B点位于斜面顶端,斜面足够长,倾角为θ,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.小球落至斜面所需的时间为2 tan θ
B.小球落至斜面所需的时间为 tan θ
C.小球落至斜面C点与B点的距离为4L tan θ
D.小球落至斜面C点与B点的距离为4L
答案 D
10.(2024届广州执信中学开学考,7)北京2022年冬奥会跳台滑雪比赛在张家口赛区的国家跳台滑雪中心进行,跳台由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成,如图所示。运动员从起跳区水平起跳后在空中运动的速度变化量、重力的瞬时功率、动能、机械能分别用Δv、P、Ek、E表示,用t表示运动员在空中的运动时间,不计运动员所受空气阻力,下列图像中可能正确的是 ( )
答案 D
考点三 圆周运动
11.(2024届广州广雅中学月考,5)过去我国农村常用辘轳提水浇灌农田,其模型图如图所示,细绳绕在半径为r的轮轴上悬挂一个水桶M,轮轴上均匀分布着6根手柄,柄端有6个质量均匀的小球m。球离轴心的距离为R,轮轴、绳(极细)及手柄的质量以及摩擦均不计。当手柄匀速转动n周把水桶提上来时,则 ( )
A.小球的角速度为2πn(rad/s)
B.轮轴转动的角速度大于小球转动角速度
C.水桶的速度是小球转动线速度的
D.轮轴转动了nR周
答案 C
12.(2024届广州广雅中学月考,4)有关圆周运动的基本模型,下列说法正确的是 ( )
A.如图a,汽车通过拱桥的最高点时对桥的压力大于桥对车的支持力
B.如图b所示是一圆锥摆,增大θ,但保持圆锥的高不变,则圆锥摆的角速度减小
C.如图c,同一小球在光滑且固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动,则在A、B两位置小球所受筒壁的支持力大小相等
D.如图d,火车转弯超过规定速度行驶时,内轨对内轮缘会有挤压作用
答案 C
13.(2024届肇庆质检,10)(多选)关于甲、乙、丙、丁四幅图,下列说法正确的是 ( )
A.图甲中大人水平抛出圆环的初速度较小
B.图乙中若A、C轮的半径相等,则A、C轮边缘处的向心加速度大小相等
C.图丙中小球在水平面内做匀速圆周运动,其向心加速度大小随圆锥体顶角θ的增大而减小
D.图丁中卫星在椭圆轨道Ⅰ上任意点的线速度大小大于在圆轨道Ⅱ上的线速度大小
答案 AC
14.(2024届南粤名校联考,7)如图所示是玩具飞车的360°回环赛道,其底座固定,且赛道可视为半径为R的光滑竖直圆轨道。一质量为m的无动力赛车被弹射出去后,在圆形轨道最低点以水平初速度v0向右运动。重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.当v0=2时赛车在最低点对轨道的压力为4mg
B.如果赛车能够完成圆周运动,v0的最小值是2
C.如果赛车能够完成圆周运动,其对轨道的最大压力与最小压力之差为6mg
D.如果赛车恰好能够完成圆周运动,其最大速度与最小速度之差为2
答案 C
15.(2024届广州七校开学联考,6)如图所示,有一长为L的轻绳,一端系在固定在O点的力传感器上,另一端拴一质量为m的小球,让小球能够在竖直平面内做完整的圆周运动,测出小球在最低点时细绳拉力大小与小球在最高点时细绳拉力大小之差为ΔF,同时也测出小球在最高点时速度大小为v,已知重力加速度为g,则ΔF大小与v2的关系正确的是 ( )
答案 D
微专题专练
微专题3 有约束条件的平抛运动问题
1.(2021江苏,9,4分)如图所示,A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐,落入篮筐时的速度方向相同,下列判断正确的是 ( )
A.A比B先落入篮筐
B.A、B运动的最大高度相同
C.A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D.A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
答案 D
2.(2020浙江1月选考,5,3分)如图所示,钢球从斜槽轨道末端以v0的水平速度飞出,经过时间t落在斜靠的挡板AB中点。若钢球以2v0的速度水平飞出,则 ( )
A.下落时间仍为t
B.下落时间为2t
C.下落时间为t
D.落在挡板底端B点
答案 C
3.(2023届广东调研,3)如图所示,
在斜面的上方A点,水平向右以初速度v0抛出一个小球,不计空气阻力,若小球击中斜面B点(图中未画出),且A、B距离恰好取最小值,则小球做平抛运动的时间t为 ( )
A. B.
C. D.
答案 C
4.(2022山东,11,4分)(多选)如图所示,某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出,击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时,击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后,垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍,平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2,网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为 ( )
A.v=5 m/s B.v=3 m/s
C.d=3.6 m D.d=3.9 m
答案 BD
5.(2023届广东模拟预测,4)如图所示,OB、OC是倾角均为30°的两斜面,某同学(可视为质点)从斜面上A点以速度v1、v2、v3三次沿水平方向跳出,分别落在B、O、C三点,落地时速度分别为v1'、v2'和v3'。该同学受到的空气阻力忽略不计,已知重力加速度为g,AB=BO=OC。下列说法正确的是 ( )
A.v1'、v2'的方向和BO方向间的夹角不同
B.v2'、v3'的方向和CO方向间的夹角相同
C.v1∶v2=1∶2
D.v2∶v3=∶3
答案 D
6.(2024届东莞众美中学10月月考,10)(多选)如图所示为一半圆形的坑,其中坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内,在圆边缘A点将一小球以速度v1水平抛出,小球落到C点,运动时间为t1,第二次从A点以速度v2水平抛出,小球落到D点,运动时间为t2,不计空气阻力,则 ( )
A.v1B.t1C.小球落到D点时,速度方向可能垂直于圆弧
D.小球落到C点时,速度与水平方向的夹角一定大于45°
答案 AD
7.(2023届江苏南京高三二模,8)如图为倾角α的足够长斜面,现从斜面上O点与斜面成β角(β<90°),以速度v0、2v0分别抛出小球P、Q,小球P、Q刚要落在斜面上A、B两点时的速度分别为vP、vQ,设O、A间的距离为s1,O、B间的距离为s2,不计空气阻力。当β取不同值时,下列说法正确的是 ( )
A.vQ一定等于2vP
B.vQ的方向与斜面的夹角一定小于vP的方向与斜面的夹角
C.P、Q在空中飞行的时间可能相等
D.s2可能大于4s1
答案 A
微专题4 曲线运动中的临界问题
8.(2021浙江6月选考,7,3分)质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示,
对该时刻,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零,所受合力为零
D.小明的加速度为零,所受合力为零
答案 A
9.(2019海南,6,4分)如图,一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上,硬币与竖直转轴OO'的距离为r,已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO'轴匀速转动,则圆盘转动的最大角速度为 ( )
A. B.
C. D.2
答案 B
10.(2022山东,8,3分)无人配送小车某次性能测试路径如图所示,半径为3 m的半圆弧BC与长8 m的直线路径AB相切于B点,与半径为4 m的半圆弧CD相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径,到适当位置调整速率运动到B点,然后保持速率不变依次经过BC和CD。为保证安全,小车速率最大为4 m/s,在ABC段的加速度最大为2 m/s2,CD段的加速度最大为1 m/s2。小车视为质点,小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为 ( )
A.t= s,l=8 m
B.t= s,l=5 m
C.t= s,l=5.5 m
D.t= s,l=5.5 m
答案 B
11.(2023届佛山顺德一模,3)如图所示,排球比赛中,某队员在距网水平距离为4.8 m、距地面3.2 m高处将排球沿垂直于网的方向以16 m/s的速度水平击出。已知网高2.24 m,排球场地长18 m,重力加速度g取10 m/s2,可将排球视为质点,下列判断正确的是 ( )
A.球不能过网
B.球落在对方场地内
C.球落在对方场地底线上
D.球落在对方场地底线之外
答案 B
12.(2024届东莞外国语学校11月月考,3)如图所示,将内壁光滑、半径为R的圆形细管竖直固定放置,一质量为m的小球(视为质点)在管内做圆周运动,小球过最高点时的速度为v,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.小球做的是匀速圆周运动
B.小球通过最高点的最小速度为
C.小球恰好到达最高点时,对细管的作用力为0
D.若小球在最高点的速度v>,会对细管的外侧内壁有作用力
答案 D
13.(2024届茂名一中开学考,7)如图所示,两个可视为质点的、相同的木块a和b放在水平转盘上,两者用细线连接,两木块与转盘间的动摩擦因数相同,整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动,且木块a、b与转盘中心在同一条水平直线上。当圆盘转动到两木块刚好还未发生滑动时,烧断细线,关于两木块的运动情况,以下说法正确的是 ( )
A.两木块仍随圆盘一起做圆周运动,不发生滑动
B.木块b发生滑动,离圆盘圆心越来越近
C.两木块均沿半径方向滑动,离圆盘圆心越来越远
D.木块a仍随圆盘一起做匀速圆周运动
答案 D
14.(2023届浙江十校联考三,8)如图所示,竖直平面内有一个圆弧轨道,轨道内外两侧均光滑,半径为R,质量为m的小滑块以v1、v2的初速度分别从轨道最高点的内侧和外侧开始运动,以下关于滑块是否脱离轨道的说法正确的是(两滑块均可视为质点,重力加速度为g) ( )
A.不管在轨道的内侧还是外侧运动,只要在最高点不脱离轨道,则在其他点一定不会脱离轨道
B.不管在轨道的内侧还是外侧运动,只要在最高点的速度大于等于,一定不会脱离轨道
C.在轨道内侧最高点的速度v1≥、外侧最高点的速度v2=0,都不会脱离轨道
D.在轨道的内侧只要v1<就一定脱离轨道,外侧无论v2多大都会脱离轨道
答案 D
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考点一 曲线运动 运动的合成与分解
一、曲线运动
1.曲线运动的条件和特征
定义 轨迹是一条曲线的运动
条件 (1)动力学角度:物体所受合力的方向跟它的初速度方向不在同一直线上(v0≠0,F≠0)
(2)运动学角度:物体的加速度方向跟速度方向不在同一直线上
性质 (1)某点的瞬时速度的方向,就是通过该点的切线方向
(2)曲线运动的速度方向时刻在改变,所以是变速运动,加速度必不为0
(3)若所受合力恒定,物体做匀变速曲线运动;若所受合力变化,物体做变加速曲线运动
2.曲线运动的合力方向与轨迹、速度方向间的关系(如图所示)
(1)合力方向与速度方向的关系
物体做曲线运动时,合力的方向与速度方向一定不在同一条直线上,这是判断物体是 否做曲线运动的依据。
(2)合力方向与轨迹的关系
轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间,速度方向与轨迹相切,合力方向指向轨迹曲 线的“凹”侧。
二、运动的合成与分解
1.基本概念
(1)分运动与合运动:一个物体可以视作同时参与几个运动,这几个运动叫作分运动,物
点拨拓展 曲线运动的速率变化判断
体的实际运动叫作合运动。
(2)运动的合成:由分运动求合运动。
(3)运动的分解:已知合运动求分运动。
点拨拓展 合运动与分运动的关系
等时性 合运动与分运动、分运动与分运动经历的时间相等,即同时开始、同时进行、同时停止
独立性 各分运动相互独立,不受其他运动的影响,各分运动共同决定合运动的性质和轨迹
等效性 各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
2.两个直线运动的合成
两个分运动
(不共线) 合运动
推断依据 运动性质
两个匀速
直线运动 v0≠0,a=0 匀速直线运动
一个匀速直线
运动和一个匀
变速直线运动 v0≠0,a≠0且v0与a不共线 匀变速曲线运动
两个初速度不
为0的匀变速
直线运动 v0与a共线时 匀变速直线运动
v0与a不共线时 匀变速曲线运动
两个初速度
为0的匀加
速直线运动 v0=0,a≠0 匀加速直线运动
(运动方向与
a的方向相同)
例1 一架小型无人机在高空中飞行,将其运动沿水平方向和竖直方向分解,水平位移x 随时间t变化的图像如图甲所示,竖直方向的速度vy随时间t变化的图像如图乙所示。关 于此无人机的运动,下列说法正确的是 ( )
A.0~2 s内做匀加速直线运动
B.t=2 s时速度大小为 m/s
C.2~4 s内加速度大小为1 m/s2
D.0~4 s内位移大小为10 m
解析 对无人机,0~2 s内,由题图甲知,水平方向做匀速直线运动,由题图乙知,竖直方
向做匀加速直线运动,则0~2 s内做匀加速曲线运动,故A错误;水平方向速度大小vx=1 m /s,t=2 s时竖直方向速度大小vy=2 m/s,则t=2 s时速度大小v= = m/s,故B正确;2
~4 s内水平方向、竖直方向均做匀速直线运动,加速度大小为0,故C错误;0~4 s内水平 方向位移大小x=4 m,竖直方向位移大小y= ×2×2 m+(4-2)×2 m=6 m,则位移大小s=
=2 m,故D错误。
答案 B
情况 图示 说明
渡河时
间最短 当船头垂直河岸时,渡河时间最 短,最短时间tmin=
三、小船渡河问题
渡河位
移最小 当v水 当v水>v船时,船头方向(即v船方向) 与合速度方向垂直,渡河位移最 小,最小渡河位移xmin=
点拨拓展 要区分小船的合速度与分速度。分速度包含水流速度、船自身动力产生 的速度(或在静水中的速度);合速度指的是小船的实际速度。
四、关联速度问题
1.题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上,沿绳(杆)方向的速度分量大小 相等。
2.分解原则
3.解题原则
沿绳、杆方向速度大小相等,垂直于接触面方向速度大小相等。
4.关联速度的几种常见情境
情境图示 分解图示 定量结论
vB=v1=
vA cos θ
v0=v1=
vA cos θ
vA1=vB1,则
vA cos α=
vB cos β
(注:A沿斜面下滑) vA1=vB1,则
vA cos α=
vB sin α
例2 一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑,如图所示,当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时轻杆与水平方向夹角θ=30°,B球的速度大小为v2,则 ( )
A.v2= v1 B.v2=2v1
C.v2=v1 D.v2= v1
解析 球A与球形容器球心等高,速度v1方向竖直向下,速度分解如图所示。
有v11=v1 sin 30°= v1,球B此时速度方向与杆的夹角α=60°,因此v21=v2 cos 60°= v2,沿杆方
向两球速度相等,即v21=v11,解得v2=v1,C项正确。
答案 C
考点二 抛体运动
一、平抛运动
1.运动条件:只受重力作用,初速度不为零且沿水平方向。
2.研究方法:平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体 运动。
3.基本规律
(1)位移关系
(2)速度关系
(3)轨迹方程:y= x2。
4.平抛运动的几个常用结论
表达式 取决因素
飞行时间 t= 由下落高度h决定,与初速度v0无 关
水平位移 x=v0 由初速度v0和下落高度h共同决 定
落地速度(θ
为落地前瞬
间速度与水
平方向间的
夹角) 大小v= 由初速度v0和下落高度h共同决 定
方向满足
tan θ= =
5.平抛运动中速度和位移的变化规律
(1)速度的变化规律
相等时间ΔT内的速度变化量相等:Δv=gΔT,方向竖直向下,如图所示。
(2)位移的变化规律
①相等时间ΔT内的水平位移相等:Δx=v0ΔT。
②连续相等时间ΔT内,竖直方向上的位移差不变,即Δy=g(ΔT)2。
6.平抛运动的两个重要推论
(1)推论一:如图所示,平抛运动任意时刻的速度偏转角θ与位移偏转角α满足 tan θ=2 tan α。
推导: →tan θ=2 tan α。
(2)推论二:平抛运动任意时刻的速度反向延长线通过对应水平位移的中点。
推导: →xB= 。
例3 如图所示,光滑直管MN倾斜固定在水平地面上,直管与水平地面间的夹角为45°, 管口到地面的高度h=0.4 m;在距地面高H=1.2 m处有一固定弹射装置,可以沿水平方向 弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口M处进入管 内,设小球弹出点O到管口M的水平距离为x,弹出的初速度大小为v0,重力加速度g取10 m/s2。关于x和v0的值,下列选项正确的是 ( )
A.x=1.6 m,v0=4 m/s
B.x=1.6 m,v0=4 m/s
C.x=0.8 m,v0=4 m/s
D.x=0.8 m,v0=4 m/s
解析 由题意可知,弹出后小球做平抛运动,到管口M时的速度方向沿直管方向,根据
平抛运动的推论,做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线过水平位移的中 点,如图所示。
根据几何关系得x=2(H-h)=1.6 m(恰好无碰撞地进入管内,说明末速度方向与水平地面 间的夹角为45°),小球在竖直方向做自由落体运动,根据公式y= gt2得小球从O点到M
点的运动时间t= =0.4 s,水平方向做匀速运动,有v0= =4 m/s,故选A。
一题多解 本题还可以分解末速度,列表达式tan 45°= = ,y= gt2=H-h,联立可先
求出t与v0,再由x=v0t求出x。
答案 A
二、类平抛运动的特点及处理方法
1.平抛运动的初速度水平,只受重力,加速度a=g;类平抛运动的初速度不一定水平,但合
力方向与初速度方向垂直且为恒力,其加速度a= 恒定。
2.解决类平抛运动的核心思想仍然是运动的分解。
(1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方 向的匀加速直线运动。
(2)特殊分解法:对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为 ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向上列方程求解 。
例4 如图所示,将小球从倾角θ=30°的光滑斜面上A点以速度v0=10 m/s水平抛出(即v0 ∥CD),最后从B处离开斜面,已知AB间的高度差h=5 m,g取10 m/s2,不计空气阻力。下 列说法正确的是 ( )
A.小球的加速度大小为 m/s2
B.小球做平抛运动,运动轨迹为抛物线
C.小球到达B点时的速度大小为10 m/s
D.小球从A点运动到B点所用的时间为1 s
解析 根据牛顿第二定律有mg sin θ=ma,解得a=g sin θ=g sin 30°=10× m/s2=5 m/s2,
故A错误。小球沿CE方向加速度恒定,做匀加速运动,沿CD方向做匀速运动,故小球做 类平抛运动,运动轨迹为抛物线,故B错误。沿CE方向小球做匀加速运动,根据位移时 间关系式可得 = at2,代入数据解得t=2 s,小球到达B点时的速度大小vB=
= m/s=10 m/s,故C正确,D错误。
答案 C
三、斜抛运动
1.定义:将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出,物体只受重力作用的运动。
2.性质:斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线。
3.研究方法:运动的合成与分解。
(1)水平方向:匀速直线运动。
(2)竖直方向:匀变速直线运动。
对于斜上抛运动,如果抛出点与末位置等高,通常可以将斜抛运动从最高点分段研究,
后半段相当于平抛运动,前半段相当于反向的平抛运动。
4.基本规律(以斜上抛运动为例,如图所示)
(1)水平方向:v0x=v0 cos θ,F合x=0。
(2)竖直方向:v0y=v0 sin θ,F合y=-mg。
考点三 圆周运动
一、圆周运动的运动学问题
1.匀速圆周运动
(1)定义:做圆周运动的物体,若在相等的时间内通过的弧长都相同,则该物体做的是匀 速圆周运动。
(2)特点:加速度大小不变,方向(时刻改变)始终指向圆心,是变加速运动。
(3)条件:合力大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2.描述圆周运动的物理量及其相互关系
共轴传动 皮带传动 齿轮传动 摩擦传动
传
动
装
置
图
3.常见的几种传动方式及其特点
基
本
特
征 角速度相同 轮缘或啮合处线速度大小相等
转动方
向相同 转动方
向相同 转动方向相反
定
量
关
系 ωA=ωB
vA∶vB=r∶R
aA∶aB=r∶R vA=vB,ωA∶ωB=R∶r
aA∶aB=R∶r
(齿数比等于半径比)
二、圆周运动的动力学问题
1.匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果:向心力产生向心加速度,只改变速度的方向,不改变速度的大小。
(2)大小:Fn=m =mrω2=m r=mωv。
(3)方向:始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力。
(4)来源:向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由一个力的分 力提供。
2.向心力与向心加速度
(1)向心力是产生向心加速度的原因。向心加速度由物体的向心力和物体的质量决
定。
(2)向心力和向心加速度瞬时对应。
点拨拓展 对于非匀速圆周运动,合力不是向心力,合力指向圆心方向的分力提供向 心力。
3.圆周运动中的动力学问题的解题思路
圆周运动图例 向心力分析
静摩擦力提供向心力
f=Fn=m =mω2r=
m r=ma
圆筒给木块的压力(弹力)提供向心力
N=Fn=m =mω2r=
m r=ma
4.水平面内匀速圆周运动的几种常见模型
重力与弹力的合力提供向心力
Fn=
重力与拉力的合力提供向心力
Fn=mg tan θ
轨道对列车弹力的水平方向的分力提供向心力
Fn=mg tan θ
例5 如图所示,一根细线下端拴一个金属小球Q,细线穿过小孔(小孔光滑),另一端连 接在金属块P上,P始终静止在水平桌面上,若不计空气阻力,小球在某一水平面内做匀 速圆周运动(圆锥摆)。实际上,小球在运动过程中不可避免地受到空气阻力作用。因 阻力作用,小球Q的运动轨道发生缓慢的变化(可视为一系列半径不同的圆周运动)。 下列判断正确的是 ( )
A.小球Q的位置越来越高
B.细线的拉力变小
C.小球Q运动的角速度变大
D.P受到桌面的静摩擦力变大
解析 由于小球受到空气阻力作用,线速度减小,则所需要的向心力减小,小球做近
心运动,
小球的位置越来越低,故A错误;设细线与竖直方向的夹角为θ,细线的拉力大小为T,小 孔下方细线的长度为L,当小球做匀速圆周运动时,由重力和细线的拉力的合力提供向 心力,如图所示,则有T= ,mg tan θ=m =mω2L sin θ,解得ω= ,由于小球受
到空气阻力作用,线速度减小,θ减小, cos θ增大,因此,细线的拉力T减小,角速度ω减小, 故B正确,C错误;对金属块P,由平衡条件知,P受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉 力大小,拉力减小,则P受到桌面的静摩擦力变小,故D错误。
答案 B
三、离心现象
1.定义:当提供的向心力小于物体做圆周运动所需的向心力时,物体远离圆心的现象称
为离心现象。
2.受力与运动特点
(1)匀速直线运动:F=0;
(2)离心运动:0(3)匀速圆周运动:F=mω2r;
(4)近心运动:F>mω2r。
微专题3 有约束条件的平抛运动问题
一、斜面约束的平抛运动问题
1.已知速度方向
图示 方法 基本规律
分解速度,构建速度的矢 量三角形 水平速度vx=v0
竖直速度vy=gt
合速度v= 由tan θ= = 得t=
由tan θ= = 得t=
在运动起点同时分解 v0、g 由0=v1-a1t,0- =-2a1d得t= ,d=
图示 方法 基本规律
分解位移,构建位移的矢 量三角形 水平位移x=v0t
竖直位移y= gt2
合位移大小s= 由tan θ= = 得t=
2.已知位移方向
例1 如图所示,从倾角为θ的斜面上的A点以初速度v0水平抛出一个物体,物体落在斜 面上的B点,不计空气阻力。求:
(1)抛出后经多长时间物体与斜面间距离最大
(2)A、B间的距离为多少
解析 解法一 (1)以抛出点为坐标原点,
沿斜面方向为x轴,垂直于斜面方向为y轴,建立坐标系,如图(a)所示。vx=v0 cos θ,vy=v0 sin θ,ax=g sin θ,ay=g cos θ。物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线 运动,垂直于斜面方向先做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动,类似于竖直上 抛运动。令vy'=v0 sin θ-g cos θ·t=0,此时物体与斜面间的距离最大,即t= 。
(2)当t= 时,物体离斜面最远,由对称性可知总飞行时间T=2t= ,A、B间距离
s=v0 cos θ·T+ g sin θ·T2= 。
图(b)
解法二 (1)设物体运动到C点离斜面最远,所用时间为t,将v分解成vx和vy,如图(b)所示。
图(c)
由tan θ= = ,得t= 。
(2)设由A到B所用时间为t‘,水平位移为x,竖直位移为y,如图(c)所示 。
图(d)
由图可得tan θ= ,y=x tan θ①,y= gt'2②,x=v0t'③,由①②③式得t'= ,而x=v0t'=
,因此A、B间的距离s= = 。
解法三 (1)如图(d)所示。
当速度方向与斜面平行时,物体离斜面最远,此时v的反向延长线通过此时水平位移AP 的中点Q,则 tan θ= = ,t= 。
(2)lAC=y= gt2= ,而由几何关系可知lAC∶lCD=1∶3,所以lAD=4y= ,A、B间距
离s= = 。
答案 (1) (2)
运动情境 物理量分析
tan θ= = →t=
在半圆内的平抛运动,R+ =v0t→t=
二、圆弧面(或曲面)约束的平抛运动问题
小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过,此时半径OQ 垂直于速度方向,圆心角θ与速度的偏转角相等
微专题4 曲线运动中的临界问题
一、平抛运动的临界问题
1.平抛运动的临界问题的两种常见情境
(1)物体有最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度等。
(2)物体的速度方向恰好为某一方向。
2.处理平抛运动的临界问题的关键
(1)关于临界条件的关键信息:“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜 面平行”“速度方向与圆周相切”等。
(2)解题关键:从实际出发寻找临界点,画出物体运动的草图,确定临界条件。
例2 “山西刀削面”传统的操作手法是一手托面,一手拿刀,直接将面削到开水锅 里。如图所示,小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h,与锅沿的水平距离为L,锅的半 径也为L。将削出的小面圈的运动视为平抛运动,且小面圈都落入锅中,重力加速度为 g。关于所有小面圈在空中运动的描述,下列说法错误的是 ( )
A.运动的时间都相同
B.速度的变化量都相同
C.落入锅中时,最大速度是最小速度的3倍
D.若初速度为v0,则L 解析 每个小面圈做平抛运动下落的高度相同,则运动的时间都相同,A正确。根据
Δv=gt可知,每个小面圈速度的变化量都相同,B正确。落入锅中时(边界条件:最大水平 距离为3L,最小水平距离为L),最大水平速度v0max= ,最小水平速度v0min= ,合速度v=
,其中t= ,则最大速度不是最小速度的3倍(点拨:最大水平速度是最小水
平速度的3倍),初速度v0的范围为L 答案 C
二、水平圆周运动中的临界问题
与弹力有关的临界问题 与摩擦力有关的临界问题
情境
图示
受力
示意图
力学
方程 竖直方向:T cos θ+FN sin θ=mg
水平方向:T sin θ-FN cos θ=mω2l sin θ 对B:T=mBg
对A:T+f=mAω2r
临界
特征 当FN=0,即ω= 时,小球即将
“飘起来” 当f=fm时,A物体即将相对圆盘滑 动
例3 一定质量的小球由轻绳a和b分别系于一轻质竖直细杆的A点和B点,如图所示。 当轻杆绕轴AB匀速转动时,带动小球在水平面内做匀速圆周运动,转动过程中绳a、b 均处于伸直状态,且绳b水平。下列说法正确的是 ( )
A.绳a中张力可能为0
B.绳b中张力不可能为0
C.角速度越大,绳a的拉力越大
D.若剪断b绳,绳a的拉力大小可能不变
解析 小球做匀速圆周运动,在竖直方向合力为0,水平方向的合力提供小球做圆周
运动的向心力,故绳a在竖直方向上的分力与小球受到的重力相等,即绳a中的张力不 可能为0,故A错误。小球在水平面内做匀速圆周运动,绳a与绳b在水平方向的分力之 和提供小球做圆周运动的向心力,故绳b中张力可能为0,此时绳a水平方向的分力提供 小球做圆周运动的向心力,若此时剪断绳b,绳a的拉力大小不变,故B错误,D正确。由
上述分析可知,绳a在竖直方向的分力等于小球受到的重力,即Fa sin θ=mg,Fa= ,故
绳a的拉力大小与角速度无关,故C错误。
答案 D
三、竖直圆周运动中的临界问题
轻“绳”模型 轻“杆”模型
情境
图示
弹力
特征 弹力可能向下,也可能等于零 弹力可能向下,可能向上,也可能 等于零
最高点受
力示意图
最高点力学方程 mg+FT=m mg±FN=m
最高点临界特征 FT=0,即mg=m ,得v= v=0,FN为支持力,
此时FN=mg
模型关键 (1)“绳”只能对小球施加拉力
(2)小球通过最高点的速度至少 为 (1)“杆”对小球的作用力可以 是拉力,也可以是支持力
(2)小球通过最高点的速度最小 可以为0
例4 如图甲所示,用一轻质绳拴着一质量为m的小球,在竖直平面内做圆周运动(不计 一切阻力)。小球运动到最高点时绳对小球的拉力为F,小球在最高点的速度大小为v, 其F-v2图像如图乙所示,则 ( )
A.轻质绳长为
B.当地的重力加速度为
C.当v2=c时,轻质绳的拉力大小为 +a
D.只要v2≥b,小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为6a
解析 当小球运动到最高点时,对小球受力分析,由牛顿第二定律有F+mg= ,可得
F= -mg,可知图线斜率k= = ,可得轻质绳长l= m,故A错误。由题图可知纵截距的
绝对值a=mg,则有g= ,故B错误。由题图可知F= v2-a,故当v2=c时,有F= -a,故C错
误。从最高点到最低点,由机械能守恒定律有2mgl= mv'2- mv2,在最低点对小球受力
分析,由牛顿第二定律有F'-mg= ,联立可得小球在最低点和最高点时绳的拉力差F'-
F=6mg=6a,故D正确。
答案 D
归纳总结
竖直圆周运动临界问题的思维流程
