专题十一 磁场
考点过关练
考点一 磁场对电流的作用
1.(2023江苏,2,4分)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B。L形导线通以恒定电流I,放置在磁场中。已知ab边长为2l,与磁场方向垂直,bc边长为l,与磁场方向平行。该导线受到的安培力为 ( )
A.0 B.BIl C.2BIl D.BIl
答案 C
2.(2021广东,5,4分)截面为正方形的绝缘弹性长管中心有一固定长直导线,长管外表面固定着对称分布的四根平行长直导线。若中心直导线通入电流I1,四根平行直导线均通入电流I2,I1 I2,电流方向如图所示。下列截面图中可能正确表示通电后长管发生形变的是 ( )
A B C D
答案 C
3.(2022江苏,3,4分)如图所示,两根固定的通电长直导线a、b相互垂直,a平行于纸面,电流方向向右,b垂直于纸面,电流方向向里。则导线a所受安培力方向 ( )
A.平行于纸面向上
B.平行于纸面向下
C.左半部分垂直纸面向外,右半部分垂直纸面向里
D.左半部分垂直纸面向里,右半部分垂直纸面向外
答案 C
4.(2021福建,6,4分)(多选)如图,四条相互平行的细长直导线垂直坐标系xOy平面,导线与坐标平面的交点为a、b、c、d四点。已知a、b、c、d为正方形的四个顶点,正方形中心位于坐标原点O,e为cd的中点且在y轴上;四条导线中的电流大小相等,其中过a点的导线的电流方向垂直坐标平面向里,其余导线电流方向垂直坐标平面向外。则 ( )
A.O点的磁感应强度为0
B.O点的磁感应强度方向由O指向c
C.e点的磁感应强度方向沿y轴正方向
D.e点的磁感应强度方向沿y轴负方向
答案 BD
5.(2022湖南,3,4分)如图(a),直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO'上,其所在区域存在方向垂直指向OO'的磁场,与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化,其截面图如图(b)所示。导线通以电流I,静止后,悬绳偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是 ( )
A.当导线静止在图(a)右侧位置时,导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大,静止后,导线对悬绳的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
答案 D
考点二 磁场对运动电荷的作用
6.(2022北京,7,3分)正电子是电子的反粒子,与电子质量相同、带等量正电荷。在云室中有垂直于纸面的匀强磁场,从P点发出两个电子和一个正电子,三个粒子运动轨迹如图中1、2、3所示。下列说法正确的是 ( )
A.磁场方向垂直于纸面向里
B.轨迹1对应的粒子运动速度越来越大
C.轨迹2对应的粒子初速度比轨迹3的大
D.轨迹3对应的粒子是正电子
答案 A
7.(2021全国乙,16,6分)如图,圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1,离开磁场时速度方向偏转90°;若射入磁场时的速度大小为v2,离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力。则为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
8.(2020课标Ⅲ,18,6分)真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m, 电荷量为e, 忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为 ( )
A. B. C. D.
答案 C
9.(2023全国乙,18,6分)如图,一磁感应强度大小为B的匀强磁场,方向垂直于纸面(xOy平面)向里,磁场右边界与x轴垂直。一带电粒子由O点沿x正向入射到磁场中,在磁场另一侧的S点射出,粒子离开磁场后,沿直线运动打在垂直于x轴的接收屏上的P点;SP=l,S与屏的距离为,与x轴的距离为a。如果保持所有条件不变,在磁场区域再加上电场强度大小为E的匀强电场,该粒子入射后则会沿x轴到达接收屏。该粒子的比荷为 ( )
A. B. C. D.
答案 A
10.(2020课标Ⅱ,24,12分)如图,在0≤x≤h,-∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场,不计重力。
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场,分析说明磁场的方向,并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm;
(2)如果磁感应强度大小为,粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场。求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离。
答案 (1)由题意,粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力,因此磁场方向垂直于纸面向里。设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R,根据洛伦兹力公式和圆周运动规律,有qv0B=m ①
由此可得R= ②
粒子穿过y轴正半轴离开磁场,其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上,半径应满足R≤h ③
由题意,当磁感应强度大小为Bm时,粒子的运动半径最大,由此得Bm=。 ④
(2)若磁感应强度大小为,粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上,结合②④式可得,此时圆弧半径为
R'=2h ⑤
粒子会穿过图中P点离开磁场,运动轨迹如图所示。
设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α,由几何关系有sin α== ⑥
得α= ⑦
由几何关系可得,P点到x轴的距离为
y=2h(1-cos α) ⑧
联立⑦⑧式得y=(2-)h。 ⑨
11.(2019课标Ⅰ,24,12分)如图,在直角三角形OPN区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一带正电的粒子从静止开始经电压U加速后,沿平行于x轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒子在OP边上某点以垂直于x轴的方向射出。已知O点为坐标原点,N点在y轴上,OP与x轴的夹角为30°,粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为d,不计重力。求
(1)带电粒子的比荷;
(2)带电粒子从射入磁场到运动至x轴的时间。
答案 (1) (2)
模型强化练
模型一 带电粒子在叠加场中的运动
1.(2023海南,2,3分)如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力的说法正确的是 ( )
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
答案 A
2.(2022广东,8,6分)(多选)如图所示,磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放,沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上,下列说法正确的有 ( )
A.电子从N到P,电场力做正功
B.N点的电势高于P点的电势
C.电子从M到N,洛伦兹力不做功
D.电子在M点所受的合力大于在P点所受的合力
答案 BC
3.(2022全国甲,18,6分)空间存在着匀强磁场和匀强电场,磁场的方向垂直于纸面(xOy平面)向里,电场的方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场的作用下,从坐标原点O由静止开始运动。下列四幅图中,可能正确描述该粒子运动轨迹的是 ( )
答案 B
4.(2021福建,2,4分)一对平行金属板中存在匀强电场和匀强磁场,其中电场的方向与金属板垂直,磁场的方向与金属板平行且垂直纸面向里,如图所示。一质子H)以速度v0自O点沿中轴线射入,恰沿中轴线做匀速直线运动。下列粒子分别自O点沿中轴线射入,能够做匀速直线运动的是(所有粒子均不考虑重力的影响) ( )
A.以速度射入的正电子e)
B.以速度v0射入的电子e)
C.以速度2v0射入的氘核H)
D.以速度4v0射入的α粒子He)
答案 B
5.(2022重庆,5,4分)2021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B。若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子重力,则 ( )
A.电场力的瞬时功率为qE
B.该离子受到的洛伦兹力大小为qv1B
C.v2与v1的比值不断变大
D.该离子的加速度大小不变
答案 D
6.(2023新课标,18,6分)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后,打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点,a点在小孔O的正上方,b点在a点的右侧,如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的,铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场,则电场和磁场方向可能为 ( )
A.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
答案 C
7.(2023江苏,16,15分)霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时,电子沿x轴做直线运动;入射速度小于v0时,电子的运动轨迹如图中的虚线所示,且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。
(1)求电场强度的大小E;
(2)若电子入射速度为,求运动到速度为时位置的纵坐标y1;
(3)若电子入射速度在0答案 (1)v0B (2) (3)90%
模型二 带电粒子在组合场中的运动
8.(2022湖北,8,4分)(多选)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从P点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 ( )
A.kBL,0° B.kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°
答案 BC
9.(2022广东,7,4分)如图所示,一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域,两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场,并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中,可能正确的是 ( )
答案 A
10.(2019课标Ⅲ,18,6分)如图,在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限,随后垂直于y轴进入第一象限,最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
11.(2023海南,13,4分)(多选)如图所示,质量为m、带电荷量为+q的带电粒子,从坐标原点O以初速度v0射入第一象限内的电、磁场区域,在0x0区域内有垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场,控制电场强度E(E值有多种可能),可让粒子从NP射入磁场后偏转打到足够长的接收器MN上,不计重力,则 ( )
A.粒子从NP中点射入磁场,电场强度E=
B.粒子从NP中点射入磁场时的速度v=v0
C.粒子在磁场中做圆周运动的圆心到NM的距离为
D.粒子在磁场中运动的轨迹半径的最大值是
答案 AD
12.(2023辽宁,14,13分)如图,水平放置的两平行金属板间存在匀强电场,板长是板间距离的倍。金属板外有一圆心为O的圆形区域,其内部存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子沿中线以速度v0水平向右射入两板间,恰好从下板边缘P点飞出电场,并沿PO方向从图中O'点射入磁场。已知圆形磁场区域半径为,不计粒子重力。
(1)求金属板间电势差U。
(2)求粒子射出磁场时与射入磁场时运动方向间的夹角θ。
(3)仅改变圆形磁场区域的位置,使粒子仍从图中O'点射入磁场,且在磁场中的运动时间最长。定性画出粒子在磁场中的运动轨迹及相应的弦,标出改变后的圆形磁场区域的圆心M。
答案 (1) (2)60°或 (3)粒子在圆形磁场区域中的运动轨迹对应的弦越长,运动时间越长,故运动轨迹对应的弦为圆形磁场区域的直径时,粒子在磁场中的运动时间最长,设粒子射入磁场时的速度方向与水平方向夹角为β,则有cos β==,即β=30°,如图2所示,由几何关系知cos α==,故30°<α<60°,故可找到弦O'A的位置(其中A为粒子射出圆形磁场区域的位置)、圆心M的位置,进而画出粒子的运动轨迹。
13.(2021广东,14,15分)如图是一种花瓣形电子加速器简化示意图。空间有三个同心圆a、b、c围成的区域,圆a内为无场区,圆a与圆b之间存在辐射状电场,圆b与圆c之间有三个圆心角均略小于90°的扇环形匀强磁场区Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。各区磁感应强度恒定,大小不同,方向均垂直纸面向外。电子以初动能Ek0从圆b上P点沿径向进入电场。电场可以反向,保证电子每次进入电场即被全程加速。已知圆a与圆b之间电势差为U,圆b半径为R,圆c半径为R,电子质量为m,电荷量为e。忽略相对论效应。取tan 22.5°=0.4。
(1)当Ek0=0时,电子加速后均沿各磁场区边缘进入磁场,且在电场内相邻运动轨迹的夹角θ均为45°,最终从Q点出射,运动轨迹如图中带箭头实线所示。求Ⅰ区的磁感应强度大小、电子在Ⅰ区磁场中的运动时间及在Q点出射时的动能;
(2)已知电子只要不与Ⅰ区磁场外边界相碰,就能从出射区域出射。当Ek0=keU时,要保证电子从出射区域出射,求k的最大值。
答案 (1) 8eU (2)
14.(2021浙江6月选考,22,10分)如图甲所示,空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成,其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点,垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场;立方体内存在磁场,其磁感应强度沿z方向的分量始终为零,沿x和y方向的分量Bx和By随时间周期性变化规律如图乙所示,图中B0可调。氙离子(Xe2+)束从离子源小孔S射出,沿z方向匀速运动到M板,经电场加速进入磁场区域,最后从端面P射出。测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为2e,忽略离子间的相互作用,且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
(1)求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小vS;
(2)不考虑在磁场突变时运动的离子,调节B0的值,使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出,求B0的取值范围;
(3)设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T,单位时间从端面P射出的离子数为n,且B0=,求图乙中t0时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
答案 (1) (2)0~ (3)离子在立方体中运动轨迹的剖面图如图所示
洛伦兹力提供向心力,有2ev0(B0)=
且满足B0=
解得R3=L,cos θ=
离子从端面P射出时,在沿z轴方向根据动量定理有
FΔt=nΔt·mv0 cos θ-0
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力大小为F'=F=nmv0,方向沿z轴负方向。
考点强化练
考点一 磁场对电流的作用
1.(2023届广州二模,9)(多选)如图是安培研究通电导体间相互作用的简化示意图。甲、乙、丙三个圆形线圈的圆心在同一水平轴线上,轴线垂直线圈平面。甲和丙固定且用导线串联,并通以电流I1,乙通入电流I2,电流方向在图中标出,则乙线圈 ( )
A.圆心处的磁场方向水平向左
B.圆心处的磁场方向水平向右
C.受到甲对它的吸引力
D.受到丙对它的排斥力
答案 BC
2.(2023届广东一模,9)(多选)如图,用轻质导线将一根硬直金属棒与电源、开关连接成电路,并使金属棒与ad'平行,放置在正方体的上表面,正方体处在匀强磁场中。闭合开关,发现金属棒竖直向上跳起,由此可知,该区域的磁场方向可能是 ( )
A.垂直于aa'd'd平面
B.垂直于abb'a'平面
C.垂直于a'b'c'd'平面
D.垂直于abc'd'平面
答案 BCD
3.(2023届广州执信中学三模,3)如图甲所示为特高压输电线路上使用六分裂阻尼间隔棒的情景。其简化如图乙,间隔棒将6条输电导线分别固定在一个正六边形的顶点a、b、c、d、e、f上,O为正六边形的中心,A点、B点分别为Oa、Od的中点。已知通电导线在周围产生磁场的磁感应强度与电流大小成正比,与到导线的距离成反比。6条输电导线中通有垂直纸面向外,大小相等的电流,其中a导线中的电流对b导线中电流的安培力大小为F,则 ( )
A.A点和B点的磁感应强度相同
B.b导线所受安培力大小为F
C.a、b、c、d、e五根导线在O点产生磁场的磁感应强度方向垂直于ed向下
D.a、b、c、d、e五根导线在O点产生磁场的磁感应强度方向垂直于ed向上
答案 C
考点二 磁场对运动电荷的作用
4.(2023届江门一模,6)一种粒子探测器的简化模型如图所示。圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,PQ过圆心,平板MQN为探测器,整个装置放在真空环境中。所有带电离子从P点沿PQ方向射入磁场,忽略离子重力及离子间相互作用力。对能够打到探测器上的离子,下列分析正确的是 ( )
A.打在Q点左侧的离子带正电
B.打在MQN上离Q点越远的离子,入射速度一定越大
C.打在MQN上离Q点越远的离子,比荷一定越大
D.入射速度相同的氢离子和氘离子,打在MQN上的位置更靠近Q点的是氘离子
答案 D
5.(2024届广东9月联考,8)(多选)如图所示,虚线框MNQP内的匀强磁场垂直纸面向里,a、b、c三个带电粒子先后从PQ边的中点垂直于PQ边射入磁场,速度方向均平行于纸面,它们在磁场中运动的轨迹在图中均已画出。不计粒子所受的重力,下列说法正确的是 ( )
A.粒子b、c均带正电
B.若三个粒子的比荷相同,则粒子b在磁场中的速度最大
C.若三个粒子的比荷相同,则粒子a在磁场中运动的时间最长
D.若三个粒子入射的动量相同,则粒子c所带的电荷量最小
答案 BC
模型综合练
模型一 带电粒子在叠加场中的运动
1.(2023届汕尾中学期末,6)如图所示,空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场,已知电场强度大小为E,方向竖直向下,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面。一电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中,运动轨迹如图所示,其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点,不计电子的重力。下列说法正确的是 ( )
A.磁感应强度方向垂直纸面向外
B.电子的初速度v0小于
C.由O点至P点的运动过程中,电子的速度增大
D.将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动
答案 D
2.(2023届茂名冲刺模拟,10)(多选)如图所示,空间有一无限大、正交的匀强电场和匀强磁场,电场强度为E,方向竖直向下,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向外,场中有一内壁光滑竖直放置的绝缘长筒,其底部有一带电荷量为-q(q>0),质量为的小球,g为重力加速度,小球直径略小于长筒内径。现长筒在外力作用下以大小为v0的速度向右做匀速直线运动。已知小球刚离开长筒时小球在竖直方向的分速度大小为v0,下列说法正确的是 ( )
A.小球在长筒中的运动时间为
B.小球在长筒中的运动时间为
C.小球从长筒中飞出后做匀速圆周运动的轨道半径的大小为
D.小球从长筒中飞出后做匀速圆周运动的轨道半径的大小为
答案 BD
3.(2023届潮州二模,16)如图所示,直角坐标系xOy所在竖直平面内,第一、第二象限中分布着沿x轴负方向的匀强电场E1,第三、第四象限中分布着沿y轴正方向的匀强电场E2;第三、第四象限还分布着匀强磁场(图中未画出)。一质量为m、带电荷量为q的带正电小球自坐标为(0,L)的A点由静止出发,进入第三象限后恰能做匀速圆周运动并垂直于y轴射入第四象限,已知E1=,重力加速度为g。求:
(1)小球第一次通过x轴时的速度大小;
(2)匀强电场的电场强度E2和匀强磁场的磁感应强度B大小的比值;
(3)小球从第四象限穿出后,经过一段时间会再次到达x轴上的N点(图中未标出),求小球从出发运动至N点的时间tAN。
答案 (1)2 (2) (3)
模型二 带电粒子在组合场中的运动
4.(2024届潮州松昌中学摸底测,14)如图所示,M、N两金属圆筒是直线加速器的一部分,M与N的电势差为U;边长为2L的立方体区域内有竖直向上的匀强磁场。一质量为m,电荷量为+q的粒子,以初速度v0水平进入圆筒M左侧的小孔。粒子在每个筒内均做匀速直线运动,在两筒间做匀加速直线运动。粒子自圆筒N出来后,从正方形add'a'的中心垂直进入磁场区域,最后由正方形abb'a'中心垂直飞出磁场区域,忽略粒子受到的重力。求:
(1)粒子进入磁场区域时的速率;
(2)磁感应强度的大小。
答案 (1) (2)
5.(2023届河源期末,16)现代科技中常常利用电场和磁场来控制带电粒子的运动,某控制装置如图所示,区域Ⅰ中有圆弧形均匀辐向电场,半径为R的弧线O'O处的场强大小处处相等,且大小为E1、方向指向圆心O1;在空间坐标系中,区域Ⅱ是边长为L的正方体空间,该空间内充满沿y轴正方向的匀强电场E2(大小未知);区域Ⅲ也是边长为L的正方体空间,空间内充满平行于xOy平面、与x轴负方向成45°角的匀强磁场,磁感应强度大小为B,在区域Ⅲ的上表面是一粒子收集板;一群比荷不同的带正电粒子以不同的速率先后从O'沿切线方向进入辐向电场,所有粒子都能通过辐向电场从坐标原点O沿x轴正方向进入区域Ⅱ,不计带电粒子所受重力和粒子之间的相互作用。
(1)若某一粒子进入辐向电场的速率为v0,该粒子通过区域Ⅱ后刚好从P点进入区域Ⅲ中,已知P点坐标为(L,,0),求该粒子的比荷和区域Ⅱ中电场强度E2的大小;
(2)保持(1)问中E2不变,为了使粒子能够在区域Ⅲ中直接打到粒子收集板上,求粒子的比荷需要满足的条件。
答案 (1) (2)<<
6.(2023届茂名一模,15)如图甲所示,空间存在方向竖直向上周期性变化的匀强电场,场强大小随时间变化如图乙所示,空间还存在方向垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小随时间变化如图丙所示。一个质量为0.1 kg、带电荷量为+0.2 C的小球,在t=0时刻从空间P点在纸面内以水平向右大小为10 m/s的速度抛出。小球在空中运动的时间大于2 s,最终落地时速度垂直于地面。重力加速度为10 m/s2,小球可视为质点,求:
(1)t=1 s时,小球的速度大小;
(2)1~2 s内小球受到的合力大小;
(3)小球第一次速度水平向左时距P点的高度;
(4)P点离地面的高度至少为多少。
答案 (1)10 m/s (2)2π N (3) m (4) m
微专题专练
微专题15 磁场与现代科技
1.(2023广东,5,4分)某小型医用回旋加速器,最大回旋半径为0.5 m,磁感应强度大小为1.12 T,质子加速后获得的最大动能为1.5×107 eV。根据给出的数据,可计算质子经该回旋加速器加速后的最大速率约为(忽略相对论效应,1 eV=1.6×10-19 J) ( )
A.3.6×106 m/s B.1.2×107 m/s
C.5.4×107 m/s D.2.4×108 m/s
答案 C
2.(2021河北,5,4分)如图,距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场,磁感应强度大小为B1,一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中,磁感应强度大小为B2,导轨平面与水平面夹角为θ,两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置,恰好静止。重力加速度为g,不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是 ( )
A.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上,v=
B.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下,v=
C.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上,v=
D.导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下,v=
答案 B
3.(2023届湛江一中、深圳实验中学1月联考,7)如图所示,大量不同的带电粒子从小孔进入电势差为U的加速电场,其初速度几乎为0,加速后经过小孔进入速度选择器,速度选择器中存在正交的匀强电场和匀强磁场,场强大小和磁感应强度大小分别为E和B1,粒子沿直线通过速度选择器,再垂直进入右边磁感应强度大小为B2的匀强磁场中,做匀速圆周运动打在底片上,不计粒子重力,则 ( )
A.粒子打在底片上不同位置是因为进入右边磁场时的速度不同
B.粒子打在底片上不同位置是因为粒子比荷不同
C.如果速度选择器平行板带电荷量不变,仅使两板间距离增大,能沿直线通过速度选择器的粒子速度变小
D.如果增大速度选择器中磁场的磁感应强度B1,能沿直线通过速度选择器的粒子速度变大
答案 B
4.(2024届佛山南海摸底,14)如图所示是某种质谱仪的结构简化图。质量为m、电荷量为+q的粒子束恰能沿直线通过速度选择器,并从环状D形盒的中缝(宽度略大于粒子直径)射入磁感应强度为B0、方向垂直纸面向里的环形磁场区域。环状D形盒的外半径为2R,内半径为R,外壳的厚度不计,出口M、N之间放置照相底片,底片能记录粒子经过出口时的位置。已知速度选择器中电场强度大小为E,方向水平向左,磁感应强度大小为B(磁场方向未画出)。不计粒子重力,若带电粒子能够打到照相底片,求:
(1)B的方向以及粒子进入环状D形盒时的速度大小;
(2)环状D形盒中的磁感应强度B0的大小范围。
答案 (1)垂直于纸面向外 (2)≤B0≤
5.(2021天津,12,18分)霍尔元件是一种重要的磁传感器,可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c,以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz,如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子,空穴可看作带正电荷的自由移动粒子,单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后,某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场,磁感应强度的大小为B,沿+y方向,于是在z方向上很快建立稳定电场,称其为霍尔电场,已知电场强度大小为E,沿-z方向。
(1)判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向;
(2)若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为In,求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz;
(3)霍尔电场建立后,自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz,求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数,并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。
答案 (1)沿+z方向 (2)e
(3)nacvnzΔt pacvpzΔt 大小相等、方向相反
微专题16 磁场中的动态圆问题
6.(2019北京,16,6分)如图所示,正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场。一带电粒子垂直磁场边界从a点射入,从b点射出。下列说法正确的是 ( )
A.粒子带正电
B.粒子在b点速率大于在a点速率
C.若仅减小磁感应强度,则粒子可能从b点右侧射出
D.若仅减小入射速率,则粒子在磁场中运动时间变短
答案 C
7.(2020课标Ⅰ,18,6分)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,为半圆,ac、bd与直径ab共线,ac间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内从c点垂直于ac射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子,其运动时间为 ( )
A. B. C. D.
答案 C
8.(2021海南,13,4分)(多选)如图,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则 ( )
A.粒子一定带正电
B.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场
C.粒子入射速率为
D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L
答案 ACD
9.(2020浙江7月选考,22,10分)某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩形EFGH、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,探测板CD平行于HG水平放置,能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c三束宽度不计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界EH水平射入磁场,b束中的离子在磁场中沿半径为R的四分之一圆弧运动后从下边界HG竖直向下射出,并打在探测板的右边缘D点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N,离子束间的距离均为0.6R,探测板CD的宽度为0.5R,离子质量均为m,电荷量均为q,不计重力及离子间的相互作用。
(1)求离子速度v的大小及c束中的离子射出磁场边界HG时与H点的距离s;
(2)求探测到三束离子时探测板与边界HG的最大距离Lmax;
(3)若打到探测板上的离子被全部吸收,求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F与板到HG距离L的关系。
答案 (1) 0.8R (2)R (3)a或c束中每个离子动量的竖直分量p'=p cos α=0.8qBR
当0E与D在同一竖直线上,CD=0.5R、QE=0.2R,tan β=tan α=,解得L=0.4R
当R当L>0.4R,只有b束离子打到CD探测板上,F=Np=NqBR。
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考点一 磁场对电流的作用
一、磁场的描述
1.磁场的基本性质:磁场对处于其中的磁体、电流和运动电荷有力的作用。
2.磁感应强度
(1)物理意义:描述磁场的强弱和方向的矢量。
(2)大小:B= 。
①比值定义法:此公式是由比值定义法得出的磁感应强度的定义式,仅在电流元(IL)与 磁场方向垂直时成立。
②决定因素:磁场中某点的磁感应强度是由磁场本身决定的,与I、B、F均无关。
(3)方向:小磁针静止时N极的指向。
(4)单位:特斯拉,符号为T。
3.磁感线的特点
(1)方向:磁感线上某点的切线方向就是该点的磁场方向。
(2)强弱:磁感线的疏密程度定性地表示磁场的强弱。
(3)磁感线是闭合曲线,没有起点和终点。在磁体外部,由N极指向S极;在磁体内部,由S 极指向N极。
(4)同一磁场的磁感线不中断、不相交、不相切。
(5)磁感线是假想的曲线,客观上并不存在。
4.匀强磁场:磁感应强度的大小处处相等、方向处处相同的磁场称为匀强磁场。
5.地磁场
(1)地磁的N极在地理南极附近,地磁的S极在地理北极附近,磁感线分布大致如图所 示。
(2)在赤道平面上,距离地球表面高度相等的各点,磁感应强度相等,且方向水平向北。
(3)地磁场在南半球有竖直向上的分量,在北半球有竖直向下的分量。
6.其他常见的磁场
(1)常见磁体的磁场(如图所示)
(2)电流的磁场
直线电流
的磁场 通电螺线
管的磁场 环形电流
的磁场
特点 无磁极、非匀强磁场且 距导线越远处磁场越弱 与条形磁体的磁场相似, 管内近似为匀强磁场,管 外为非匀强磁场 环形电流的两侧等效为 小磁针的N极和S极,且 离圆环中心越远,磁场越 弱
安培定则
立体图
横截面图
纵截面图
7.磁场的叠加
磁感应强度是矢量,空间内某点的磁感应强度应为各磁场源在该点产生的磁感应强度 的矢量和,应用平行四边形定则进行合成。如图所示,B1、B2、B3分别为三个磁场源在 O点产生的磁感应强度,B为合磁感应强度。
例1 如图所示为一边长为d的正方体,在FE、ND两边放置两条无限长直导线,分别通 有电流I1、I2,且I1=I2=I,电流方向如图所示。若一根无限长直导线通过电流I时,所产生 的磁场在距离导线d处的磁感应强度大小为B,则图中C、O两点处的磁感应强度大小 分别为 ( )
A.2B、0 B.2B、2B
C.0、 B D. B、 B
解析 根据右手螺旋定则可得两处电流在O、C点产生的磁场方向如图所示,且磁感
应强度大小均为B,则根据磁场的叠加可得,O、C两点处的磁感应强度大小均为 B,D
正确。
答案 D
二、安培力
1.大小
(1)一般情况下:F=BIL sin θ,其中θ为磁感应强度B与电流I间的夹角。
(2)当磁感应强度B的方向与电流I的方向垂直时:F=BIL。
(3)当磁感应强度B的方向与电流I的方向平行时:F=0。
点拨拓展 L为导线在磁场中的有效长度。如弯曲通电导线的有效长度L等于连接两 端点的线段的长度,相应的电流方向沿两端点连线由始端流向末端,如图所示。
2.方向
(1)用左手定则判定:伸开左手,使拇指与其余四指垂直,并且都与手掌在同一个平面内; 让磁感线从掌心垂直进入,并使四指指向电流的方向,这时拇指所指的方向就是通电 导线在磁场中所受安培力的方向。
(2)安培力方向的特点:F⊥B,F⊥I,即F垂直于B和I决定的平面。
3.安培力作用下导体运动的判断方法
电流元法 分割为电流元 安培力方向→整段导体
所受合力方向→运动方向
特殊位置法 在特殊位置→安培力方向→运动方向
等效法 环形电流→小磁针通电螺线管→条形磁体
结论法 两电流相互平行时无转动趋势,同向电流互相吸引,异向电流互相排斥;两不平行的直线电流相互作用时,有转到平行且电流方向相同的趋势
转换研究对象法 定性分析磁体在电流产生的磁场作用下的受力或运动的问题时,可先分析电流在磁体产生的磁场中所受的安培力,然后由牛顿第三定律确定磁体所受电流磁场的作用力,从而确定磁体所受合力及运动方向
例2 一个可以自由运动的线圈L1和一个固定的线圈L2互相绝缘垂直放置,且两个线圈 的圆心重合,如图所示。当两线圈中通以图示方向的电流时,从左向右看,线圈L1将
( )
A.不动 B.顺时针转动
C.逆时针转动 D.在纸面内平动
解析 解法一 电流元法
把线圈L1沿水平转轴分成上下两部分,每一部分又可以看成无数段直线电流元,电流元 处在L2产生的磁场中,根据安培定则可知各电流元所在处的磁场方向向上,由左手定则 可得,上半部分电流元所受安培力方向均指向纸外,下半部分电流元所受安培力方向 均指向纸内,因此从左向右看,线圈L1将顺时针转动。
解法二 等效法
把线圈L1等效为小磁针,该小磁针刚好处于环形电流I2的中心,小磁针的N极应指向该 点环形电流I2的磁场方向,由安培定则可知I2产生的磁场方向在其中心处竖直向上,而L1 等效成小磁针后,转动前,N极指向纸内,因此小磁针的N极应由指向纸内转为向上,所以 从左向右看,线圈L1将顺时针转动。
解法三 结论法
环形电流I1、I2不平行,则一定有相对转动,直到两环形电流同向平行为止。据此可得, 从左向右看,线圈L1将顺时针转动。
答案 B
4.安培力作用下的平衡问题
(1)安培力作用下的平衡问题与力学中的平衡问题分析方法是相同的,只不过多了安培 力,解题关键仍是受力分析。
(2)视图转换:对于安培力作用下的力学问题,导体中的电流方向、磁场方向以及其受 力方向往往分布在三维空间的不同方向上,这时应变立体图为二维平面图。如图所示。
考点二 磁场对运动电荷的作用
一、洛伦兹力
1.定义:磁场对运动电荷的作用力叫作洛伦兹力。
2.大小
(1)当v∥B(或v=0)时,洛伦兹力F=0。
(2)当v⊥B时,洛伦兹力F=qvB。
(3)当v与B的夹角为θ时,F=qvB sin θ。
3.方向
(1)判定方法:左手定则
①掌心——磁感线垂直穿入掌心。
②四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向。
③拇指——指向洛伦兹力的方向。
(2)方向特点:F⊥B,F⊥v,即F垂直于B和v决定的平面。由此我们可知,洛伦兹力不对受 其作用的电荷做功。
4.洛伦兹力与安培力的联系与比较
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现,洛伦兹力是安培力的微观实质。二者是相同性质的 力,都是磁场力。
(2)安培力可以做功,而洛伦兹力对运动电荷不做功。
二、带电粒子(不计重力)在匀强磁场中的运动
1.基本运动分析
(1)带电粒子仅在洛伦兹力作用下的运动形式
①若v∥B,带电粒子以入射速度v做匀速直线运动。
②若v⊥B,带电粒子在垂直于磁场的平面内,以入射速度v做匀速圆周运动。
③若v与B成θ角,带电粒子在平行于磁场方向,以v cos θ做匀速直线运动;在垂直于磁场 方向,以v sin θ做匀速圆周运动,轨迹为螺旋线。
(2)洛伦兹力作用下带电粒子做圆周运动的物理量
点拨拓展 周期T与轨道半径r和运行速率v无关,只与磁场的磁感应强度B和粒子的比 荷有关。
2.带电粒子在有界磁场中的运动
(1)圆心的确定
①已知两个位置的速度方向时,可通过入射点和出射点作垂直于速度方向的直线,两 条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示)。
②已知入射方向和入射点、出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连 接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示）。
③已知粒子轨迹上某点速度的方向及轨迹半径r,则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的 位置为圆心(如图丙所示)。
(2)半径的计算
①动力学方程求半径
由qvB=m 可得R= 。
②几何知识求半径
若轨迹明确,一般由数学知识(勾股定理、三角函数、弦切角定理等)来确定半径。如 图所示,已知匀强磁场区域的宽度为d,轨迹对应的水平长度为L,圆心角为θ,根据几何
关系可得R= 。根据R2=L2+(R-d)2,可得R= 。
(3)运动时间的计算
①利用圆心角θ、周期T计算:t= T。
②利用弧长、线速度计算:t= 。
点拨拓展 圆周运动中的几种角度关系
若是劣弧,粒子速度的偏转角(φ)等于圆心角(α),并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的 2倍(如图所示),即φ=α=2θ=ωt。若是优弧,φ=2π-α。
(4)常见的几种边界磁场
①直线边界:进出磁场具有对称性。
②平行边界:存在临界条件。
③圆形边界:进出磁场具有对称性。
a.沿径向射入必沿径向射出,如图甲所示;
b.射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ,射出磁场时速度方向与磁场圆半径的夹角 也为θ。可简记为“等角进出”,如图乙所示。
3.带电粒子在有界磁场中运动的多解问题
图例 结论
带电
粒子
电性
不确定 带电粒子以速度v垂直射入匀强 磁场。如带正电,其轨迹为a;如带 负电,其轨迹为b
磁场
方向
不确定 带正电粒子以速度v垂直射入匀 强磁场。若磁场方向垂直纸面 向里,其轨迹为a;若磁场方向垂直 纸面向外,其轨迹为b
临界
状态
不唯一 粒子恰好从下极板左侧飞出,其 轨迹为a;粒子恰好从下极板右侧 飞出,其轨迹为b
运动
具有
周期性 带电粒子在电场、磁场相接的 空间运动时,往往具有周期性,因 而形成多解
例3 如图所示,在直角三角形CDE区域内有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外 的匀强磁场,P为直角边CD的中点,∠C=30°,CD=2L,一束相同的带负电粒子以不同的 速率从P点垂直于CD射入磁场,粒子的比荷为k,不计粒子间的相互作用和重力。下列 说法错误的是 ( )
A.速率不同的粒子在磁场中运动时间一定不同
B.从CD边飞出的粒子最大速率为
C.粒子从DE边飞出的区域长度为L
D.从CE边飞出的粒子在磁场中运动的最长时间为
解题指导 无论带电粒子在哪类边界磁场中做匀速圆周运动,解题时要抓住三个步
骤。
解析 速率不同但都较小的粒子从CD边射出时,粒子在磁场中运动轨迹均为半圆,
运动时间均为 = × = ,故A错误。根据左手定则,粒子向左偏转,从CD边飞出的
粒子最远从D点飞出,半径R= ,由qvmB= ,解得vm= ,故B正确。由B项分析可知,
粒子可以从D点飞出;粒子轨迹与CE相切并从DE上的M点飞出时,对应粒子从DE边飞 出的最远点,如图所示,由几何关系得R= CD=L,则粒子从DE边飞出的区域长度为L,故
C正确。从CE边飞出的粒子,与CE相切时在磁场中运动的时间最长,由几何关系可得 ∠FDC=60°,最长时间t= × = ,故D正确。
答案 A
归纳总结
带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题的四个结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时,弧长(或弦长)越长或圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时 间越长。
(3)当速率v变化时,运动轨迹圆心角越大,运动时间越长。
(4)在圆形边界匀强磁场中,当轨迹圆的半径大于磁场圆的半径,且入射点和出射点位 于磁场圆同一条直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大,运动时间最长。
模型一 带电粒子在叠加场中的运动
一、三种场的比较
力的特点 功和能的特点
重力场 大小:G=mg
方向:竖直向下 重力做功与路径无关
重力做功改变物体的重力势能
电场 大小:F=qE
方向:正(负)电荷受力方向与场强 方向相同(相反) 电场力做功与路径无关
W=qU
电场力做功改变物体的电势能
磁场 大小:F=qvB(v⊥B)
方向:可用左手定则判断 洛伦兹力不做功,不改变带电粒 子的动能
二、“三步法”突破叠加场问题
例1 空间同时存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的方向沿y轴正方向,场强大小为 E;磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为+q的粒子(重力不计)从坐标原点O由 静止释放,释放后,粒子恰能沿图中的曲线运动。已知该曲线的最高点P的纵坐标为h, 曲线在P点附近的一小部分,可以看作是半径为2h的圆周上的一小段圆弧,则 ( )
A.粒子在y轴方向做匀加速运动
B.粒子在最高点P的速度大小为
C.磁场的磁感应强度大小为
D.粒子经过时间π 运动到最高点
解析 (设问1:带电粒子在y轴方向上受到的力是恒力还是变力 )对带电粒子受力分
析可知,粒子受到的电场力竖直向上且不变,但粒子受到的洛伦兹力沿y轴方向的分力 是变化的,故粒子在y轴方向的合力是变化的,加速度是变化的,A错误。(设问2:带电粒 子由原点O运动到P点哪些力对其做功 由什么规律求粒子在P点的速度 )从O到P过 程中,只有电场力对粒子做功,洛伦兹力不做功,故由动能定理得qEh= m ,解得vP=
,B错误。(设问3:从哪个角度求磁感应强度 如何列式 )洛伦兹力与磁感应强度
相关,洛伦兹力不做功,故求解磁感应强度大小要从运动状态的角度切入。粒子经过P 点时,可视为正在做半径为2h的圆周运动,此时洛伦兹力和电场力的合力提供向心力, 即qvPB-qE=m ,联立解得B= ,C正确。(设问4:能否由匀变速直线运动规律求粒
子运动到最高点的时间 选项里的式子如何来的 )粒子在空间中做比较复杂的曲线运 动,根据题给条件无法计算出粒子运动到最高点的时间,而选项中的式子是粒子在磁 场中做匀速圆周运动的周期,故该时间并非粒子运动到最高点的时间,D错误。
答案 C
例2 如图所示,直流电源(不计内阻)与阻值为R1的定值电阻、滑动变阻器R2以及水平 放置的平行板电容器构成闭合回路,平行板电容器的板间距为d、板长为 d,板间存
在垂直纸面向外的匀强磁场。质量为m、带电荷量为-q的小球以某一水平初速度从 电容器下极板左边缘无碰撞地进入电容器。已知重力加速度大小为g,电源电动势ε= ,小球向右飞入电容器的初速度为v0= ,不计电场、磁场边缘效应,不计空气阻
力。
(1)若滑动变阻器接入电路中的阻值R2=7R1,且小球恰好做匀速直线运动,求匀强磁场的 磁感应强度大小B0;
(2)若小球在板间恰好做匀速圆周运动,且能从两极板间飞出,求R2接入电路中的阻值,
以及磁感应强度大小的取值范围。
解析 (1)根据闭合电路欧姆定律有
I=
解得电容器两板间电压U=IR1=
极板间电场强度大小E= =
小球恰好做匀速直线运动,则受力平衡,
有qE+qv0B0=mg,解得B0= = 。
(2)小球恰好做匀速圆周运动,则重力与电场力平衡,即qE'=mg,定值电阻R1两端的电压 U'=E'd。根据串联电路的分压关系有 = ,
联立解得R2=3R1。画出小球恰好能从两极板间飞出的两条临界轨迹,如图所示。
小球恰好从两板间右侧飞出时,设其做圆周运动的半径为r1,由几何知识得 =(r1-d)2+
( d)2,解得r1=2d,小球恰好从两板间左侧飞出时,设其做圆周运动的半径为r2,则r2= ,
则圆周运动的半径取值范围为r>2d或r< ,根据洛伦兹力提供向心力有qv0B= ,则磁
感应强度大小的取值范围为B> 或B< 。
答案 (1) (2)3R1 B> 或B<
模型二 带电粒子在组合场中的运动
一、磁偏转与电偏转的不同(不计重力)
电偏转 磁偏转
偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场
示
意
图
受力 只受恒定的静电力 只受大小恒定的洛伦兹力
运动 类平抛运动 匀速圆周运动
轨迹 抛物线 圆弧
物理
规律 牛顿第二定律、
类平抛运动规律 牛顿第二定律、
向心力公式
基本
公式 L=vt,y= at2
a= ,tan θ= qvB= ,r=
T= ,t= ,sin θ=
做功
情况 静电力既改变速度
方向,也改变速度
大小,对电荷做功 洛伦兹力只改变速度
方向,不改变速度大
小,对电荷永不做功
二、常见的类型
1.磁场与磁场的组合
这类问题的实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题,带电粒子在两个磁场中的速度 大小相同,但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接 点与两圆心共线的特点,进一步寻找边、角关系。
2.磁场与电场的组合
(1)从电场进入磁场
电场中:加速直线运动
磁场中:匀速圆周运动
电场中:类平抛运动
磁场中:匀速圆周运动
(2)从磁场进入电场
磁场中:匀速圆周运动
v与E同向或反向
电场中:匀变速直线运动
磁场中:匀速圆周运动
v0与E垂直
电场中:类平抛运动
三、分析思路及解题方法
1.分析思路
(1)画运动轨迹:根据受力分析和运动学分析,大致画出粒子的运动轨迹。
(2)找关键点:确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关 键。
(3)划分过程:将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段,对不同的阶段选取不同的规 律处理。
2.常见粒子的运动及解题方法
例3 如图,空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场。在x≥0区域,磁感应强度 的大小为B0;x<0区域,磁感应强度的大小为λB0(常数λ>1)。一质量为m、电荷量为q(q> 0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场,此时开始计时。当粒子的速 度方向再次沿x轴正向时,求(不计重力)
(1)粒子运动的时间;
(2)粒子与O点间的距离。
解题指导 粒子在磁场中运动轨迹如图所示,速度方向再次沿x轴正向时,意味着粒
子在左、右磁场中各转过半周,所以粒子与O点间距离为直径的差值。
解析 (1)在匀强磁场中,带电粒子做匀速圆周运动。设在x≥0区域,圆周运动轨迹半
径为R1;在x<0区域,圆周运动轨迹半径为R2。由洛伦兹力计算式及牛顿运动定律得
qB0v0=m ①
qλB0v0=m ②
粒子速度方向转过180°时,所需时间为t1
t1= ③
粒子再转过180°时,所需时间为t2,t2= ④
联立①②③④式得,所求时间为t0=t1+t2= (1+ ) ⑤
(2)由几何关系及①②式得,所求距离为
d0=2(R1-R2)= (1- ) ⑥
答案 (1) (1+ ) (2) (1- )
例4 如图,在空间直角坐标系O-xyz中,界面Ⅰ与Oyz平面重叠,界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平 行,且相邻界面的间距均为L,与x轴的交点分别为O、O1、O2;在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿z轴 负方向的匀强电场E,在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿y轴正方向的匀强磁场B。一质量为m、电 荷量为+q的粒子,从z轴上距O点 处的P点,以速度v0沿x轴正方向射入电场区域,该粒子
刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求:
(1)电场强度E的大小;
(2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出,磁感应强度B应多大。
解题指导 (1)粒子在电场区域做类平抛运动,则由类平抛运动规律和牛顿第二定律
列式求电场强度;(2)粒子在磁场区域做匀速圆周运动,画出带电粒子刚好不从界面Ⅲ 飞出的运动轨迹,由牛顿第二定律和几何条件列式。
解析 (1)粒子在电场区域做类平抛运动,设粒子在电场中的加速度为a,画出粒子在
xOz平面内的运动轨迹,如图所示。
由类平抛运动规律有L=v0t、 = at2,根据牛顿第二定律有qE=ma,联立方程解得E=
(2)设粒子到O1点时的速度为v,与x轴夹角为θ,则有tan θ=2 tan α,其中tan α= = ,故tan
θ=1,即有θ=45°,v= = v0。
在磁场区域,粒子做匀速圆周运动,粒子刚好不从界面Ⅲ飞出,其运动轨迹如图所示,则 根据几何关系有R+R cos 45°=L,
又qvB=m
解得B= 。
答案 (1) (2)
微专题15 磁场与现代科技
原理图 规律
带电粒子由静止被加速电场加速,qU= mv2,
在磁场中做匀速圆周运动,qvB=m ,比荷 =
带电粒子经电场加速,经磁场回旋,在磁场中运动一个周期被电场加速两次,每次动能增加qU。 由qvB= 得Ekm= 。加速次数n= ,总时间t= T=
若qv0B=Eq,即v0= ,粒子做匀速
直线运动
等离子体射入,受洛伦兹力偏转, 使两极板分别带正、负电,两极 板间电压为U时稳定,q =qv
0B,U=v0Bd
当q =qvB时,有v= ,流量Q=Sv
=π × =
在匀强磁场中放置一个矩形截 面的载流导体,当磁场方向与电 流方向垂直时,导体在与磁场、 电流方向都垂直的方向上出现 了电势差。这个现象称为霍尔 效应
例1 (多选)回旋加速器的工作原理如图甲所示,D形金属盒置于真空中,两盒间的狭缝 很小,带电粒子穿过狭缝的时间可以忽略,匀强磁场与盒面垂直。图乙为回旋加速器 所用的交变电压随时间变化的规律,某同学保持交变电压随时间变化的规律不变,调 整所加磁场的磁感应强度大小,从而实现利用同一回旋加速器分别加速氘核 H)和氦
核 He)两种粒子。忽略相对论效应的影响,则 ( )
A.回旋加速器加速带电粒子能够达到的最大速度与D形金属盒的半径有关
B.氘核 H)和氦核 He)在回旋加速器中的运动时间之比为1∶1
C.氘核 H)和氦核 He)的加速次数之比为2∶1
D.加速氘核 H)和氦核 He)的磁感应强度大小之比为1∶2
解析 令D形金属盒的半径为R,粒子最终从磁场飞出时有qvmaxB=m ,解得vmax=
,可知D形金属盒的半径越大,粒子离开时的速度越大,故A正确(知识点拨:粒子获
得的最大速度由磁感应强度B和D形盒半径R决定,与加速电压U无关);为了使得粒子 在回旋加速器中正常加速,粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与交变电流的周期相
等,即T= ,由于氘核 H)和氦核 He)的比荷相等,则氘核 H)和氦核 He)运动过程
中所加磁场的磁感应强度相等,即加速氘核 H)和氦核 He)的磁感应强度大小之比为
1∶1,故D错误;令粒子在狭缝中的加速次数为n,则粒子离开时的最大动能Ekmax= m =
,由动能定理得nqU=Ekmax,解得n= ,氘核 H)和氦核 He)的比荷相等,则氘
核 H)和氦核 He)的加速次数之比为1∶1,故C错误;两粒子的周期相同,加速的次数也
相同,故两种粒子在回旋加速器中的运动时间相同,B正确。
答案 AB
微专题16 磁场中的动态圆问题
一、“放缩圆”模型的应用
适用条件 速度方向一定,大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度大小的变化而变化。如图所示(图中只画出粒子带正电的情境),速度v越大,运动半径也越大
轨迹圆圆心共线:可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
应用方法 以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索出临界条件
二、“旋转圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定,方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强 磁场时,它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若射入初速 度为v0,则轨迹半径R= 。如图所示(粒子带负电)
轨迹圆圆心共圆:带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R= 的圆上
应用方法 将一半径R= 的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出粒子运动的临界条件
三、“平移圆”模型的应用
适用条件 速度大小一定,方向一定,入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定,入射点不同,但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R= ,如图所示(粒子带负电)
轨迹圆圆心共线:带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上,该直线与入射点的连线平行或共线
应用方法 将半径R= 的圆进行平移,从而探索出粒子运动的临界条件
例2 (多选)如图所示,半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度 为B,M为磁场边界上一点,有无数个带电荷量为+q、质量为m的相同粒子(不计重力)在 纸面内向各个方向以相同的速率通过M点进入磁场,这些粒子射出边界的位置均处于 边界的某一段圆弧上,这段圆弧的弧长是圆周长的 。下列说法中正确的是 ( )
A.粒子从M点进入磁场时的速率为v=
B.粒子从M点进入磁场时的速率为v=
C.若将磁感应强度的大小增加到 B,则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的
D.若将磁感应强度的大小增加到 B,则粒子射出边界的圆弧长度变为原来的
解析 圆形区域的半径为R,磁感应强度为B时,从M点射入的粒子与磁场边界的最远
交点为P,最远的点是轨迹圆直径与磁场边界圆的交点(粒子射出边界的位置均处于边 界的某一段圆弧上,说明轨迹圆半径小于磁场圆半径。速度大小一定,方向不同,使用 “旋转圆”可以发现旋转过程中轨迹圆与磁场圆边界交点连成的弦有最大值,最长弦 为轨迹圆直径),如图所示。
由题意可知∠POM=120°,所以粒子做圆周运动的半径r=R sin 60°= R,根据牛顿第二
定律,qvB=m ,联立解得v= ,A正确,B错误;若将磁感应强度的大小增加到 B,则
粒子的轨道半径变为r1= = = r= R,故射出边界的粒子区域所占的圆心角为6
0°,则射出边界的粒子圆弧长度变为原来的 = ,C正确,D错误。
答案 AC
点拨拓展 若轨迹圆半径等于磁场圆半径,就会形成磁发散模型,其逆过程为磁聚焦 模型。
①磁发散模型
速率相同的同种粒子从圆形有界磁场边界上一点沿各方向进入磁场,若粒子在磁场中 的轨迹半径与磁场边界半径相等,则所有粒子经过磁场偏转后离开磁场时的速度方向 垂直于以入射点为端点的直径,如图所示。
②磁聚焦模型
速度相同的同种粒子以垂直于某条直径的方向进入一圆形有界磁场,若粒子在磁场中 的轨迹半径与磁场边界半径相等,则所有粒子经过磁场偏转后的轨迹交于该条直径的
一个端点,如图所示。
