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（湘教版）九年级
上
2.2.1配方法（3）
一元二次方程
第二章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.进一步掌握配方的方法.
2.掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤.
3.学生能够理解并掌握用配方法解一般形式的一元二次方程的基本原理和步骤。
4.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程。
5.通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。
新知导入
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：
1.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
2.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方；
3.用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方.
新知导入
动脑筋
如何用配方法解本章2.1节“动脑筋”中的方程：25x2+50x-11=0呢？
思考：我们已经学习了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，你有什么方法将该方程的二次项系数化为1吗？
由于方程25x2+50x-11=0的二次项系数不为 1，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两边同除以 25，将二次项系数化为1，再用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
新知讲解
用配方法解方程：25x2+50x-11=0。
解：将二次项系数化为1，得：x2+2x-=0，
移项得 x2+2x=.
配方，得 x2+2x+1=+1,
因此 (x+1)2= .
由此得 x+1=或x+1=-.
解得 x1=0.2, x2=-2.2 .
对于实际问题的方程而言，x2=-2.2不合题意，应当舍去. 而x1=0.2符合题意， 因此年平均增长率为 20%.
新知讲解
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：
1.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
2.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
4.用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方.
典例精析
例4
用配方法解下列方程：4x2-12x-1=0.
解：将二次项系数化为1，得：x2-3x-=0，
移项得 x2-3x=.
配方，得 x2-3x+()2= +()2 ,
因此 (x- )2= .
由此得 x- =或x- =-.
解得 x1=, x2= .
典例精析
解方程：-2x2+4x-8=0.
解：将二次项系数化为1，得：x2-2x+4=0，
移项得 x2-2x=-4.
配方，得 x2-2x+1=-4+1,
因此 (x-1)2=-3.
因为在实数范围内， 任何实数的平方都是非负数，
因此， (x-1)2=-3不成立， 即原方程无实数根.
1.用配方法解方程－2x2＋3x－1＝0的第一步是在方程两边同时除以( )
A．2 B．－2 C. D．
2.方程－3x2＋2x＋1＝0的根为( )
A.x1＝1，x2＝－ B.x1＝，x2＝－1
C.x1＝6，x2＝－2 D.x1＝－6，x2＝2
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
B
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.下列式子中与多项式2x2－3x相等的是( )
A．2(x－)2－
B．2(x－ )2＋
C．(x－ )2－
D．(x－ )2＋
A
4.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
B．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
C．2t2－7t－4＝0化为(t)2＝
D．3x2－4x－2＝0化为(x)2＝
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
A
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
B
5.若一元二次方程4x2＋12x－1147＝0的两根为a，b，且a＞b，则3a＋b的值为( )
A．22
B．28
C．34
D．40
【综合拓展类作业】
课堂练习
用配方法解下列方程：
(1) 2x2+7x-4＝0； (2)-y2+y+2=0.
解：(1)将二次项系数化为1，得：x2+x=0，
移项得 x2+x =2.
配方，得 x2+x+2 =2+2,
因此(x+)2=.
由此得 x+=或x+=.
解得x1=, x2=-4.
【综合拓展类作业】
课堂练习
用配方法解下列方程：
(1) 2x2+7x-4＝0； (2)-y2+y+2=0.
解：(2)将二次项系数化为1，得：y2y3=0，
移项得 y2y=3.
配方，得 y2y+2 =3+2,
因此(y)2=.
由此得 y=或y=.
解得y1=2, y2=.
课堂总结
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
4.用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方.
板书设计
一般步骤：
1.二次项系数化为1：
2.移项：
3.配方：
4.用直接开平方法求解：
2.2.1配方法（3）
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.对于任意实数m，n，多项式m2＋n2－6m－10n＋36的值总是( )
A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2
2.小明用配方法解2x2－bx＋a＝0得x－＝±，则a的值为_________.
3.已知关于x的方程(a－1)x2＋2x－(a＋1)＝0的根都是整数，则满足条件的整数a的值为__________________．
D
-3
1,-1,0,2,3
【综合拓展类作业】
作业布置
若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程2x2-3x-5＝0的一个根，求这个三角形的周长.
解：解方程2x2-3x-5＝0(用配方法)得：x=或x=-1(不合题意，舍去).
故周长为2+3+=.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第二章
课标要求 1.能根据现实情境理解一元二次方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。2.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。3.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。4.了解一元二次方程的根与系数的关系。5.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
内容分析 本章是湘教版九年级下册第二章《一元二次方程》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“方程与不等式”.一元二次方程是初中数学的重要内容之一，在初中代数中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以巩固前面学过的实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识，并为后续学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识打下基础。此外，一元二次方程也是解决实际问题的重要工具，对于培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
学情分析 学生基础情况：学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程等基础知识，对方程的概念和一般形式有了一定的了解。然而，对于一元二次方程这一新内容，学生可能会感到陌生和困难。学生学习态度与能力：部分学生对数学有浓厚的兴趣，能够积极参与课堂讨论和合作探究活动；但也有部分学生对数学缺乏兴趣，学习动力不足。学生在数学思维能力、自主学习能力、合作交流能力等方面存在差异，部分学生可能缺乏这些能力或未能充分发挥出来。学生学习习惯与方法：部分学生已经养成了良好的学习习惯和有效的学习方法，能够独立完成作业并主动预习和复习；但也有部分学生缺乏良好的学习习惯和方法，需要教师进行引导和帮助。
单元目标 （一）教学目标1.使学生理解一元二次方程的基本概念、一般形式及其各项系数（包括二次项系数、一次项系数、常数项）的含义，并能正确识别。2.使学生掌握一元二次方程的四种基本解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），并能在不同情境下灵活运用。3.使学生能够利用一元二次方程解决简单的实际问题，包括建立数学模型、列方程、求解及验证解的合理性等步骤。4.通过小组讨论、合作探究等学习方式，培养学生的自主学习能力、合作交流能力和解决问题的能力。5.引导学生经历一元二次方程解法的探索过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的思考方法，以及“化归”思想和“降次”策略。（二）教学重点、难点教学重点：1.一元二次方程的概念及其一般形式。2.一元二次方程的四种基本解法及其应用。3.利用一元二次方程解决简单实际问题的步骤和方法。教学难点：1.从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型。2.理解和掌握一元二次方程求根公式的推导过程及其应用。3.根据一元二次方程根的情况确定判别式的值的符号，以及利用判别式判断一元二次方程根的情况。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1一元二次方程12.2一元二次方程的解法62.3一元二次方程根的判别式12.4一元二次方程根与系数的关系12.5一元二次方程的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1一元二次方程1.理解一元二次方程的定义.2.知道一元二次方程的一般形式.4.在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.1.能识别一元二次方程.2．能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项.任务一：通过实际问题引入一元二次方程的概念.任务二：理解一元二次方程的定义.任务三：知道一元二次方程的一般形式.任务四：习题检测.2.2.1配方法（1）1.理解什么叫做一元二次方程的根.2.学生能够理解并掌握直接开平方法解一元二次方程的基本步骤和原理.3.通过观察和思考，学生能够体会到将复杂问题转化为简单问题的数学思想.能够熟练地将一元二次方程转化为可开平方的形式，并求出其解.任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：观察和思考，将一元二次方程转化为一元一次方程.任务三：理解并掌握直接开平方法解一元二次方程的基本步骤和原理.任务四：习题检测.2.2.1配方法（2）1.学生能够理解配方法的基本原理和解题步骤.2.学生能够熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.3.通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法.能够熟练运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法和完全平方公式.任务二：通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法.任务三：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.1配方法（3）1.进一步掌握配方的方法.2.掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤.3.学生能够理解并掌握用配方法解一般形式的一元二次方程的基本原理和步骤.4.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.任务一：回顾用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤.任务二：探究用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.任务三：运用配方法解决实际问题中的一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.2公式法1.理解并掌握一元二次方程求根公式的推导过程.2.能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程.3.通过观察、推导、交流归纳等活动，培养学生的合情推理与归纳总结的能力.能正确、熟练地运用公式法解一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法和配方法.任务二：经历一元二次方程求根公式的推导过程.任务三：运用公式法解一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.3因式分解法（1）1.掌握应用因式分解法解一元二次方程的基本步骤和方法.2.能正确、熟练地运用因式分解法解一元二次方程.3.通过观察、比较和归纳等数学活动，体会“降次”和“等价转化”的数学思想方法。培养学生的逻辑推理能力和代数运算能力.能正确、熟练地运用因式分解法解一元二次方程.任务一：回顾直接开平方法、配方法和公式法.任务二：体会“降次”和“等价转化”的数学思想方法.任务三：运用因式分解法解一元二次方程.任务四：习题检测.2.2.3因式分解法（2）1.理解并掌握四种一元二次方程的解法2.学生能够熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能根据方程的具体形式灵活选择适当的解法。3.学生能够理解不同解法之间的联系和区别，掌握解题的一般步骤和技巧。能够熟练掌握一元二次方程的各种解法，并能根据方程的具体形式灵活选择适当的解法任务一：回顾四种解法.任务二：根据方程的具体形式灵活选择适当的解法.任务三：巩固四种一元二次方程的解法.任务四：习题检测.2.3一元二次方程根的判别式1.掌握一元二次方程根的判别式（即b -4ac）的概念和表示方法。2.能用根的判别式判断一元二次方程的根的情况（包括是否有实数根、两个实数根是否相等）。3.能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数的取值范围。1.能用根的判别式判断一元二次方程的根的情况（包括是否有实数根、两个实数根是否相等）2. 能根据根的情况确定一元二次方程中的字母系数的取值范围任务一：回顾四种解法.任务二：经历一元二次方程根的判别式定理的推导过程.任务三：综合运用根的判别式解决问题.任务四：习题检测.2.4一元二次方程根与系数的关系1.学生能够理解并掌握一元二次方程根与系数的关系定理及其证明方法.2.学生能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积.3.学生能够运用根与系数的关系解决一些实际问题.1.能够利用根与系数的关系定理求出一元二次方程的两个根的和与积.2.能够运用根与系数的关系解决一些实际问题.任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：发现、归纳并证明一元二次方程根与系数的关系.任务三：运用根与系数的关系解决一些实际问题.任务四：习题检测.2.5一元二次方程的应用（1）1.学生能够理解和掌握平均增长率问题和销售利润问题的数学模型.2.学生能够运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.3.学生能够分析并解释问题的解，判断解的合理性.能够运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.任务一：回顾解应用题的一般步骤.任务二：探究平均增长率问题和销售利润问题.任务三：运用一元二次方程解决平均增长率问题和销售利润问题.任务四：习题检测.2.5一元二次方程的应用（2）1.掌握一元二次方程在面积（体积）问题中的应用方法.2.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案.能够根据实际问题列出正确的一元二次方程，并求解方程以得到问题的答案任务一：复习导入，回顾旧知.任务二：探究一元二次方程在面积（体积）问题中的应用任务三：运用一元二次方程解决面积（体积）问题.任务四：习题检测.
《一元二次方程》单元教学设计
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分课时教学设计
第三课时《2.2.1配方法（3）》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 教材在介绍用配方法解一般形式的一元二次方程时，通常会将其视为解一元二次方程的重要方法之一。配方法通过对方程进行变形，将其转化为完全平方的形式，从而方便求解。这种方法不仅解决了二次项系数为1的方程，还适用于更一般的一元二次方程，即形如ax2+bx+c=0（a≠0）的方程。
学习者分析 学生在学习用配方法解一般形式的一元二次方程之前，已经具备了一定的数学基础和解题能力。他们已经学习了配方法解二次项系数为一的一元二次方程、平方根的意义、完全平方式、一元一次方程的解法以及直接开平方法解一元二次方程等知识。然而，由于配方法涉及到较为复杂的代数运算和变形技巧，学生在初次接触时可能会感到一定的困难。同时，九年级学生已经能够按思维的概括去观察事物，观察的精确性和概括性有所提高。他们能够通过观察、比较、分析等方式，抓住问题的主要特点并进行较为全面、深刻的分析。
教学目标 1.进一步掌握配方的方法. 2.掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤. 3.学生能够理解并掌握用配方法解一般形式的一元二次方程的基本原理和步骤。 4.学生能够熟练运用配方法解决实际问题中的一元二次方程。 5.通过探究配方法的过程，学生能够体会转化的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力。 6.培养学生的观察、比较、分析和概括能力，以及代数运算和变形技巧。
教学重点 掌握用配方法解一般形式的一元二次方程的基本原理和步骤
教学难点 解决二次项系数不为1的方程时的配方变形技巧
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： 1.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边; 2.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 3.用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方.学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋 如何用配方法解本章2.1节“动脑筋”中的方程：25x2+50x-11=0呢？ 思考：我们已经学习了用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，你有什么方法将该方程的二次项系数化为1吗？ 教师讲授： 由于方程25x2+50x-11=0的二次项系数不为 1，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两边同除以 25，将二次项系数化为1，再用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 答案： 解：将二次项系数化为1，得：x2+2x-=0， 移项得x2+2x=. 配方，得x2+2x+1=+1, 因此 (x+1)2= . 由此得x+1=或x+1=-. 解得x1=0.2, x2=-2.2 . 对于实际问题的方程而言，x2=-2.2不合题意，应当舍去. 而x1=0.2符合题意，因此年平均增长率为20%. 教师讲授： 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： 1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数; 2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边; 3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方; 4.用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方.学生活动2： 认真思考，探究如何解二次系数不为1的一元二次方程 学生认真听讲 经历解二次系数不为1的一元二次方程的过程 学生认真听讲，了解解二次系数不为1的一元二次方程的一般步骤 活动意图说明：使学生经历抽象反比例函数性质的过程，通过探究和教师讲授理解反比例函数的性质，体会从特殊到一般的思想。环节三：例题精析教师活动3： 例4 用配方法解下列方程：4x2-12x-1=0. 解：将二次项系数化为1，得：x2-3x-=0， 移项得x2-3x=. 配方，得x2-3x+()2= +()2 , 因此 (x- )2= . 由此得x- =或x- =-. 解得x1=, x2= . 议一议 解方程：-2x2+4x-8=0. 解：将二次项系数化为1，得：x2-2x+4=0， 移项得x2-2x=-4. 配方，得x2-2x+1=-4+1, 因此 (x-1)2=-3. 因为在实数范围内， 任何实数的平方都是非负数， 因此， (x-1)2=-3不成立， 即原方程无实数根.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤： 二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数； 移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边; 配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方; 用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用配方法解方程－2x2＋3x－1＝0的第一步是在方程两边同时除以( ) A．2 B．－2 C. D．－ 2.方程－3x2＋2x＋1＝0的根为( ) A.x1＝1，x2＝－ B.x1＝，x2＝－1 C.x1＝6，x2＝－2 D.x1＝－6，x2＝2 3.下列式子中与多项式2x2－3x相等的是( ) A．2(x－)2－ B．2(x－)2＋ C．(x－)2－ D．(x－)2＋ 选做题： 4.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25 B．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100 C．2t2－7t－4＝0化为(t－)2＝ D．3x2－4x－2＝0化为(x－)2＝ 5.若一元二次方程4x2＋12x－1147＝0的两根为a，b，且a＞b，则3a＋b的值为( ) A．22 B．28 C．34 D．40 【综合拓展类作业】 用配方法解下列方程： (1) 2x2＋7x－4＝0； (2)－y2＋y＋2＝0.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.对于任意实数m，n，多项式m2＋n2－6m－10n＋36的值总是( ) A．非负数 B．0 C．大于2 D．不小于2 2.小明用配方法解2x2－bx＋a＝0得x－＝±，则a的值为_________ 3.已知关于x的方程(a－1)x2＋2x－(a＋1)＝0的根都是整数，则满足条件的整数a的值为__________________． 【综合拓展类作业】 若一个三角形的两边长分别为2和3，第三边长是方程2x2－3x－5＝0的一个根，求这个三角形的周长.
教学反思 在教学用配方法解一般形式的一元二次方程时，教师应注意以下几点以提高教学效果： 1.采用实例教学：通过具体实例引入配方法的概念和步骤，帮助学生更好地理解和掌握所学内容。同时，引导学生分析实例中的难点和易错点，提高他们的解题能力。 2.强化练习与巩固：提供足够的练习题供学生练习和巩固所学知识。通过练习题的设置和讲解，帮助学生发现自己的不足之处并加以改进。 3.注重思想方法的培养：在教学过程中注重培养学生的转化思想。通过引导学生将复杂问题转化为简单问题、将未知问题转化为已知问题等方式培养他们的数学思维能力。
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