(共17张PPT)
1 认识一元二次方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解一元二次方程的概念 模型观念
2.根据一元二次方程的一般形式,确定各项系数 模型观念、运算能力
3.理解并灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题 运算能力、应用意识
4.能根据实际问题列一元二次方程 模型观念、抽象能力、应用意识
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.一元二次方程
(1)定义:只含有______未知数x的______方程,并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c是
常数,a≠0)的形式的方程.
(2)三要素:①是______方程;②只含有______未知数;
③未知数的最高次数是___次.
一个
整式
整式
一个
2
对点小练
1.(1)下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.3x=1 B.x2+3=0
C.2x2+3x3=5 D.+x2=0
(2)为绿化、美化环境,某园林部门计划在某地修建一个面积为100 m2的矩形花
园,它的长比宽多10 m,设宽为x m,可列方程为________________.
B
x(x+10)=100
新知要点
2.相关概念
对点小练
2.(1)方程x2-2x-3=0的二次项系数是( )
A.2 B.-3 C.1 D.-2
(2)若一元二次方程2x2+mx+1=0的一次项系数为4,则m的值为_______.
C
4
重点典例研析
【重点1】一元二次方程及相关概念(模型观念、运算能力)
【典例1】将方程y2-y(-4y+1)=1化为一般形式(要求二次项系数为正数),写出二次项的系数、一次项和常数项.
【自主解答】去括号,得y2+4y2-y=1,
整理,得5y2-y-1=0.
所以二次项的系数为5,一次项和常数项分别是-y,-1.
【举一反三】
1.下列关于x的方程中,是一元二次方程的是( )
A.3x+2=0 B.x2-3x=0
C.x+3xy-1=0 D.-4=0
2.(2024·遵义红花岗区质检)把一元二次方程(x-1)2=3x-2化为一般形式,若二次项
系数是1,则一次项系数和常数项分别为( )
A.-3 和3 B.-3 和1
C.-5 和3 D.-5 和1
3.已知(m-1)x|m+1|+3x-5=0是一元二次方程,则m=_______.
B
C
-3
【技法点拨】
辨别一元二次方程的三个技巧
1.分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程.
2.先把方程化简变形为一般形式后再判断.
3.二次项系数中含有字母时,若字母的取值不明确,不一定是一元二次方程.
【重点2】根据实际问题列一元二次方程(模型观念、抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P33T3强化)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》
中记录了这样的一个问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问:长多阔
几何 ”其大意是:矩形面积是864平方步,其中长与宽的和为60步,问:长比宽多多
少步 若设长比宽多x步,则下列符合题意的方程是( )
A.(60-x)x=864
B.·=864
C.(60+x)x=864
D.(30+x)(30-x)=864
B
【举一反三】
(2024·贵阳期中)生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送
一件,全组共相互赠送标本210件,设全组有x名学生,则根据题意列出方程是( )
A.x(x+1)=210 B.x(x-1)=210
C.2x(x+1)=210 D.x(x-1)=210
B
(10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列方程是一元二次方程的是( )
A.x2-2x+y=0 B.x3-2x+1=0
C.x2-2x+1=0 D.=1
素养当堂测评
C
2.(3分·模型观念、抽象能力、应用意识)如图,有一张矩形纸片,长10 cm,宽6 cm,
在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若
纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小
正方形边长是x cm,根据题意可列方程为( )
A.10×6-4×6x=32
B.10×6-4x2=32
C.(10-x)(6-x)=32
D.(10-2x)(6-2x)=32
D
3.(3分·模型观念、运算能力)将一元二次方程3x2+2x=5化为一般形式是_______
_________.
4.(3分·运算能力)若关于x的一元二次方程(a+2)x2-3ax+a-6=0的常数项为0,则a的
值为_______.
3x2+
2x-5=0
6
5.(8分·模型观念、运算能力)把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(x-5)2=36;
【解析】(1)一元二次方程(x-5)2=36的一般形式是x2-10x-11=0,
二次项系数是1,一次项系数是-10,常数项是-11;
(2)3y(y+1)=2(y+1).
【解析】(2)一元二次方程3y(y+1)=2(y+1)的一般形式是3y2+y-2=0,
二次项系数是3,一次项系数是1,常数项是-2.
本课结束1 认识一元二次方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解一元二次方程的概念 模型观念
2.根据一元二次方程的一般形式,确定各项系数 模型观念、运算能力
3.理解并灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题 运算能力、应用意识
4.能根据实际问题列一元二次方程 模型观念、抽象能力、应用意识
基础主干落实
新知要点 对点小练
1.一元二次方程 (1)定义:只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)的形式的方程. (2)三要素:①是整式方程;②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是2次. 1.(1)下列方程中是关于x的一元二次方程的是(B) A.3x=1 B.x2+3=0 C.2x2+3x3=5 D.+x2=0 (2)为绿化、美化环境,某园林部门计划在某地修建一个面积为100 m2的矩形花园,它的长比宽多10 m,设宽为x m,可列方程为 x(x+10)=100 .
2.相关概念 2.(1)方程x2-2x-3=0的二次项系数是(C) A.2 B.-3 C.1 D.-2 (2)若一元二次方程2x2+mx+1=0的一次项系数为4,则m的值为 4 .
重点典例研析
【重点1】一元二次方程及相关概念(模型观念、运算能力)
【典例1】将方程y2-y(-4y+1)=1化为一般形式(要求二次项系数为正数),写出二次项的系数、一次项和常数项.
【自主解答】去括号,得y2+4y2-y=1,
整理,得5y2-y-1=0.
所以二次项的系数为5,一次项和常数项分别是-y,-1.
【举一反三】
1.下列关于x的方程中,是一元二次方程的是(B)
A.3x+2=0 B.x2-3x=0
C.x+3xy-1=0 D.-4=0
2.(2024·遵义红花岗区质检)把一元二次方程(x-1)2=3x-2化为一般形式,若二次项系数是1,则一次项系数和常数项分别为(C)
A.-3 和3 B.-3 和1
C.-5 和3 D.-5 和1
3.已知(m-1)x|m+1|+3x-5=0是一元二次方程,则m= -3 .
【技法点拨】
辨别一元二次方程的三个技巧
1.分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程.
2.先把方程化简变形为一般形式后再判断.
3.二次项系数中含有字母时,若字母的取值不明确,不一定是一元二次方程.
【重点2】根据实际问题列一元二次方程(模型观念、抽象能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P33T3强化)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问:长多阔几何 ”其大意是:矩形面积是864平方步,其中长与宽的和为60步,问:长比宽多多少步 若设长比宽多x步,则下列符合题意的方程是(B)
A.(60-x)x=864
B.·=864
C.(60+x)x=864
D.(30+x)(30-x)=864
【举一反三】
(2024·贵阳期中)生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共相互赠送标本210件,设全组有x名学生,则根据题意列出方程是(B)
A.x(x+1)=210 B.x(x-1)=210
C.2x(x+1)=210 D.x(x-1)=210
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·模型观念)下列方程是一元二次方程的是(C)
A.x2-2x+y=0 B.x3-2x+1=0
C.x2-2x+1=0 D.=1
2.(3分·模型观念、抽象能力、应用意识)如图,有一张矩形纸片,长10 cm,宽6 cm,在它的四角各减去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是x cm,根据题意可列方程为(D)
A.10×6-4×6x=32
B.10×6-4x2=32
C.(10-x)(6-x)=32
D.(10-2x)(6-2x)=32
3.(3分·模型观念、运算能力)将一元二次方程3x2+2x=5化为一般形式是 3x2+2x-5=0 .
4.(3分·运算能力)若关于x的一元二次方程(a+2)x2-3ax+a-6=0的常数项为0,则a的值为 6 .
5.(8分·模型观念、运算能力)把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(x-5)2=36;
【解析】(1)一元二次方程(x-5)2=36的一般形式是x2-10x-11=0,
二次项系数是1,一次项系数是-10,常数项是-11;
(2)3y(y+1)=2(y+1).
【解析】(2)一元二次方程3y(y+1)=2(y+1)的一般形式是3y2+y-2=0,
二次项系数是3,一次项系数是1,常数项是-2.
