三 实数
【A层 基础夯实】
知识点1 无理数的概念及实数的分类
1.(2023·巴中中考)下列各数为无理数的是(C)
A.0.618 B. C. D.
2.(2024·遂宁期末)下列各数中,不是无理数的是 (B)
A. B. C.π D.
3.(2024·资阳质检)在实数,,,中,有理数的个数是 4 .
4.课堂上,老师让同学们从下列数中找一个无理数:-,,,0,,-.其中,甲同学说:“-”,乙同学说:“”,丙同学说:“.”
(1)甲、乙、丙三位同学中,说错的是 甲 .
(2)请将老师所给的数字按要求填在横线上:
整数: 0,- ;
负分数: - .
5.把下列各数写入相应的数集中:-,,0.3,,,-7.5,-3.141 52,0,,,
-0.212 112 111 2…(相邻两个2之间的1的个数逐次加1 )
有理数集:{-,,0.3,,-7.5,-3.141 52,0,…};
无理数集:{,,-0.212 112 111 2…(相邻两个2之间的1的个数逐次加1)…};
正实数集:{,0.3,,,, …};
负实数集:{-,-7.5,-3.141 52,
-0.212 112 111 2…(相邻两个2之间的1的个数逐次加1) …}.
知识点2 实数的大小比较、实数的运算
6.(2023·恩施中考)下列实数:-1,0,,-,其中最小的是(A)
A.-1 B.0
C. D.-
7.(2023·宁夏中考)估计的值应在(C)
A.3.5和4之间 B.4和4.5之间
C.4.5和5之间 D.5和5.5之间
8.(2023·甘孜州中考)比较大小: > 2.(填“<”或“>”)
9.数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离是 3+2 .
10.计算或求x的值:
(1)-12 024+++|2-|;
【解析】(1)-12 024+++|2-|=-1+5+(-2)+(-2)
=-1+5-2+-2=.
(2)-22+-+;
【解析】(2)-22+-+
=-4+0-+=-4.
(3)(x-1)2=25;
【解析】(3)∵(x-1)2=25,
∴x-1=-5或x-1=5,
解得:x=-4或x=6.
(4)(x+3)3=-27.
【解析】(4)∵(x+3)3=-27,
∴x+3=-3,解得:x=-6.
【B层 能力进阶】
11.(2023·嘉兴、舟山中考)下面四个数中,比1小的正无理数是(A)
A. B.- C. D.
12.(2023·南通中考)如图,数轴上A,B,C,D,E五个点分别表示数1,2,3,4,5,则表示数的点应在(C)
A.线段AB上 B.线段BC上
C.线段CD上 D.线段DE上
13.下列各数:-,-,1-,,-1.2,,绝对值为它的相反数的数有(B)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
14.(2023·包头中考)若a,b为两个连续整数,且a<
15.两个无理数,它们的和为1,这两个无理数可以是 π,1-π(答案不唯一) .(写出两个即可)
16.已知边长为1的正方形对角线长为.如图,以数轴的单位长度为边作一个正方形.以表示数1的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A,点B,则点A所表示的数是 1- .
17.(2024·成都期末)已知实数a,b,c,d,e,f,且a,b互为倒数,c,d互为相反数,e的绝对值为,f的算术平方根是8,求ab++e2+的值.
【解析】∵a,b互为倒数,∴ab=1.
∵c,d互为相反数,∴c+d=0.
∵e的绝对值为,∴e=±.
∵f的算术平方根是8,∴=8,∴f=64,∴当e=时,原式=×1++()2+=.
当e=-时,原式=×1++(-)2+=.
综上,原式=.
18.如果一个正方形ABCD的面积为69.
(1)求正方形ABCD的边长a.
【解析】(1)∵正方形ABCD的面积为69,
∴正方形ABCD的边长a=;
(2)正方形ABCD的边长满足m【解析】(2)∵64<69<81,∴8<<9,
∴m=8,n=9;
(3)m,n在满足(2)的条件下,求-的值.
【解析】(3)当m=8,n=9时,
原式=-=-2-3=-5.
【C层 创新挑战(选做)】
19.(推理能力、模型观念、运算能力)
数轴上两点A,B分别表示数a,b.定义A,B距离为AB=|a-b|,
(1)当点A表示2,点B表示5时,AB= .当点A表示-2,点B表示-5时,AB= ;
答案:3 3
【解析】(1)当点A表示2,点B表示5时,AB=5-2=3.当点A表示-2,点B表示-5时,AB=-2-(-5)=3.
(2)当点A表示1,点B表示-时,AB= ;当点A表示x,点B表示,且AB=3时,A表示的数x为多少
答案:1+
【解析】(2)当点A表示1,点B表示-时,AB=1-(-)=1+;
当点A表示x,点B表示,且AB=3时,A表示的数x为-3或+3.
(3)当|x+|+|x-|取最小值时,求x的取值范围,并求出|x+|+|x-|的最小值.
【解析】(3)根据绝对值的定义有:|x+|+|x-|可表示为点x到-与两点距离之和,根据几何意义分析可知,
当-≤x≤时,|x+|+|x-|有最小值+. 实数
【A层 基础夯实】
知识点1 无理数的概念及实数的分类
1.(2023·巴中中考)下列各数为无理数的是( )
A.0.618 B. C. D.
2.(2024·遂宁期末)下列各数中,不是无理数的是 ( )
A. B. C.π D.
3.(2024·资阳质检)在实数,,,中,有理数的个数是 .
4.课堂上,老师让同学们从下列数中找一个无理数:-,,,0,,-.其中,甲同学说:“-”,乙同学说:“”,丙同学说:“.”
(1)甲、乙、丙三位同学中,说错的是 .
(2)请将老师所给的数字按要求填在横线上:
整数: ;
负分数: .
5.把下列各数写入相应的数集中:-,,0.3,,,-7.5,-3.141 52,0,,,
-0.212 112 111 2…(相邻两个2之间的1的个数逐次加1 )
有理数集:{…};
无理数集:{…};
正实数集:{ …};
负实数集:{ …}.
知识点2 实数的大小比较、实数的运算
6.(2023·恩施中考)下列实数:-1,0,,-,其中最小的是( )
A.-1 B.0
C. D.-
7.(2023·宁夏中考)估计的值应在( )
A.3.5和4之间 B.4和4.5之间
C.4.5和5之间 D.5和5.5之间
8.(2023·甘孜州中考)比较大小: 2.(填“<”或“>”)
9.数轴上表示-2的点与表示3的点之间的距离是 .
10.计算或求x的值:
(1)-12 024+++|2-|;
(2)-22+-+;
(3)(x-1)2=25;
【B层 能力进阶】
11.(2023·嘉兴、舟山中考)下面四个数中,比1小的正无理数是( )
A. B.- C. D.
12.(2023·南通中考)如图,数轴上A,B,C,D,E五个点分别表示数1,2,3,4,5,则表示数的点应在( )
A.线段AB上 B.线段BC上
C.线段CD上 D.线段DE上
13.下列各数:-,-,1-,,-1.2,,绝对值为它的相反数的数有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
14.(2023·包头中考)若a,b为两个连续整数,且a<15.两个无理数,它们的和为1,这两个无理数可以是 .(写出两个即可)
16.已知边长为1的正方形对角线长为.如图,以数轴的单位长度为边作一个正方形.以表示数1的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A,点B,则点A所表示的数是 .
17.(2024·成都期末)已知实数a,b,c,d,e,f,且a,b互为倒数,c,d互为相反数,e的绝对值为,f的算术平方根是8,求ab++e2+的值.
18.如果一个正方形ABCD的面积为69.
(1)求正方形ABCD的边长a.
(2)正方形ABCD的边长满足m(3)m,n在满足(2)的条件下,求-的值.
【C层 创新挑战(选做)】
19.(推理能力、模型观念、运算能力)
数轴上两点A,B分别表示数a,b.定义A,B距离为AB=|a-b|,
(1)当点A表示2,点B表示5时,AB= .当点A表示-2,点B表示-5时,AB= ;
(2)当点A表示1,点B表示-时,AB= ;当点A表示x,点B表示,且AB=3时,A表示的数x为多少
(3)当|x+|+|x-|取最小值时,求x的取值范围,并求出|x+|+|x-|的最小值.