立体几何单节知识点归纳
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立体几何知识点
一．向量
1．三点P,A,B共线已知O是空间任一点,有且.
当的中点
2．四点P,A,B,C共面已知O是空间任一点,有+且.
3．设,则⑴
⑵. ⑶
⑷.
⑸=(
4．设点A,B,C是线段AB的中点,
则①. ②点C(
③|AB|=
5．运算律: ①, ②
6．设直线的方向向量为=(m,n),则直线的斜率k=
7．设P分所成的比为,既=,且,
则（分点坐标=）
8．设G是△ABC的重心,则G
9．向量的加法运算——三角形或平形四边形法则,
向量的减法运算——三角形法则（终点-起点，如）
10．向量与平面平行：
指向量所在的直线与平面平行或向量在平面内。记作//。
11．共面向量：
（1）定义：指平行于同一平面的向量
（2）定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使
10．空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数对
。称为空间的一个基底，，都叫做基向量。
11．空间向量的坐标表示：
当=（单位正交基底）时，有，则称（）是向量的坐标。
二．立体几何
1．掌握平面性质的三大公理及三个推论.
2．空间两直线的位置关系——平行、相交和异面.
3．两条异面直线所成的角:
（1）概念,(2)范围(0,90°]，（3）求法: ①作角——平移，②说明，③求角。
4．直线与平面的位置关系:直线在平面内和直线在平面外——平行和相交。
5．掌握直线与平面平行,平面与平面平行的性质和判定定理
① ②
③
④
⑤
⑥
6． 掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质和判定定理
①
②
③
④
7．其它与平行,垂直有关的定理
(1) (2)
(3) (4)
8．三垂线定理与逆定理
①AB是平面的斜线, ②BO是斜线AB在平面内的射影, ③
定理: ②③①③; 逆定理:①③②③
9．直线与平面所成的角[0°,90°]
(1)斜线与平面所成的角:
①定义:斜线与它在平面内的射影所成的角,
②范围（0°,90°）
③最小角定理:
(2)直线与平面平行或直线在平面内成角为0°
(3)直线与平面垂直成角为90°
10．二面角
（1）概念,(2)范围[0°,180°],(3)二面角的平面角: ①定义, ②构造方法——定义法、垂面法和三垂线法，（4）二面角的求法: ①作平面角, ②说明, ③求角
11．掌握用向量法求(证明)一些几何量
(1)证明线线垂直和线面垂直
(2)求两条异面直线的夹角：利用
(3)求两条异面直线a,b的公垂线长d
①利用
②其中是异面直线a,b的公共法向量
(4)求点A到平面的距离d
其中是平面的法向量,
B是平面上的一个已知点。
(5)求直线AB与平面所成的角
=
(6)求二面角
①或
其中分别是两个平面的法向量
②利用
12．棱柱与棱锥
(1)直棱柱的侧面积=底面周长×高,体积=底面面积×高
(2)斜棱柱的侧面积=直截面周长×侧棱长,体积=直截面面积×侧棱长
(3)长方体的对角线长其中分别为长,宽,高
(4)棱锥的体积=底面面积×高
(5)掌握正棱锥的高,斜高,侧棱,底面边长,
侧棱与底面的夹角,侧面与底面的夹角求法:
解题时在利用下面两个图形求解
13．球
(1)球的截面(—圆)的性质:
①球心O与圆心的连线O与圆面垂直
②球心与圆面的距离
(2)球面上两点A,B的球面距离
①定义:经过A,B两点的大圆的劣弧长
②求法:利用大圆O与小圆的公共弦AB,
注意劣弧AB所对的圆心角是角AOB而不是角AB
(3)经度与纬度
①纬度:某点P的纬度就是指经过这点的球半径与经
过这点的纬度圈所在的平面的夹角
②经度:某点P的经度就是指经过这点的经线与地轴
确定的半平面与0°经线与地轴确定的半平面所在的
二面角的大小.
(4)球内接长方体的性质: ①长方体的中心就是球心, ②长方体的对角线长就是球的直径
(5)正四面体的内切球与外接球的性质:它们是同心球,球心在正四体的高线上,内切球与外接球的半径的和等于正四面体的高,求解时可利用等体积法.
(6)球体积,球的表面积,弧长公式
x
z
y
B
A
O
x
B
y
线线平行
面面平行
线面平行
⑥
⑤
④
③
②
①
线线垂直
线面垂直
面面垂直
①
②
③
④
O
B
EMBED Equation.3 B
A
a
A
B
O
C
D
A
B
O
a
b
O
B
C
A
a
d
b
D
O
B
A
A
B
C
S
O
M
O
O
M
A
B
R
O
A
r
O
R
r
A
d
经度
纬线
纬度
经线
O
地轴
P
A
B
N
M
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一．向量
1．三点P,A,B共线已知O是空间任一点,有且.
当的中点
2．四点P,A,B,C共面已知O是空间任一点,有+且.
3．设,则⑴
⑵. ⑶
⑷.
⑸=(
4．设点A,B,C是线段AB的中点,
则①. ②点C(
③|AB|=
5．运算律: ①, ②
6．设直线的方向向量为=(m,n),则直线的斜率k=
7．设P分所成的比为,既=,且,
则（分点坐标=）
8．设G是△ABC的重心,则G
9．向量的加法运算——三角形或平形四边形法则,
向量的减法运算——三角形法则（终点-起点，如）
10．向量与平面平行：
指向量所在的直线与平面平行或向量在平面内。记作//。
11．共面向量：
（1）定义：指平行于同一平面的向量
（2）定理：如果两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使
10．空间向量基本定理：
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数对
。称为空间的一个基底，，都叫做基向量。
11．空间向量的坐标表示：
当=（单位正交基底）时，有，则称（）是向量的坐标。
二．立体几何
1．掌握平面性质的三大公理及三个推论.
2．空间两直线的位置关系——平行、相交和异面.
3．两条异面直线所成的角:
（1）概念,(2)范围(0,90°]，（3）求法: ①作角——平移，②说明，③求角。
4．直线与平面的位置关系:直线在平面内和直线在平面外——平行和相交。
5．掌握直线与平面平行,平面与平面平行的性质和判定定理
① ②
③
④
⑤
⑥
6． 掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质和判定定理
①
②
③
④
7．其它与平行,垂直有关的定理
(1) (2)
(3) (4)
8．三垂线定理与逆定理
①AB是平面的斜线, ②BO是斜线AB在平面内的射影, ③
定理: ②③①③; 逆定理:①③②③
9．直线与平面所成的角[0°,90°]
(1)斜线与平面所成的角:
①定义:斜线与它在平面内的射影所成的角,
②范围（0°,90°）
③最小角定理:
(2)直线与平面平行或直线在平面内成角为0°
(3)直线与平面垂直成角为90°
10．二面角
（1）概念,(2)范围[0°,180°],(3)二面角的平面角: ①定义, ②构造方法——定义法、垂面法和三垂线法，（4）二面角的求法: ①作平面角, ②说明, ③求角
11．掌握用向量法求(证明)一些几何量
(1)证明线线垂直和线面垂直
(2)求两条异面直线的夹角：利用
(3)求两条异面直线a,b的公垂线长d
①利用
②其中是异面直线a,b的公共法向量
(4)求点A到平面的距离d
其中是平面的法向量,
B是平面上的一个已知点。
(5)求直线AB与平面所成的角
=
(6)求二面角
①或
其中分别是两个平面的法向量
②利用
12．棱柱与棱锥
(1)直棱柱的侧面积=底面周长×高,体积=底面面积×高
(2)斜棱柱的侧面积=直截面周长×侧棱长,体积=直截面面积×侧棱长
(3)长方体的对角线长其中分别为长,宽,高
(4)棱锥的体积=底面面积×高
(5)掌握正棱锥的高,斜高,侧棱,底面边长,
侧棱与底面的夹角,侧面与底面的夹角求法:
解题时在利用下面两个图形求解
13．球
(1)球的截面(—圆)的性质:
①球心O与圆心的连线O与圆面垂直
②球心与圆面的距离
(2)球面上两点A,B的球面距离
①定义:经过A,B两点的大圆的劣弧长
②求法:利用大圆O与小圆的公共弦AB,
注意劣弧AB所对的圆心角是角AOB而不是角AB
(3)经度与纬度
①纬度:某点P的纬度就是指经过这点的球半径与经
过这点的纬度圈所在的平面的夹角
②经度:某点P的经度就是指经过这点的经线与地轴
确定的半平面与0°经线与地轴确定的半平面所在的
二面角的大小.
(4)球内接长方体的性质: ①长方体的中心就是球心, ②长方体的对角线长就是球的直径
(5)正四面体的内切球与外接球的性质:它们是同心球,球心在正四体的高线上,内切球与外接球的半径的和等于正四面体的高,求解时可利用等体积法.
(6)球体积,球的表面积,弧长公式
x
z
y
B
A
O
x
B
y
线线平行
面面平行
线面平行
⑥
⑤
④
③
②
①
线线垂直
线面垂直
面面垂直
①
②
③
④
O
B
EMBED Equation.3 B
A
a
A
B
O
C
D
A
B
O
a
b
O
B
C
A
a
d
b
D
O
B
A
A
B
C
S
O
M
O
O
M
A
B
R
O
A
r
O
R
r
A
d
经度
纬线
纬度
经线
O
地轴
P
A
B
N
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