选择必修 第二章 2.1.1 倾斜角与斜率 课件(共29张PPT)

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选择必修
第二章 直线和圆的方程
本章介绍
解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质.解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创立奠进了基础.
本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等.类似地，通过确定圆的几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究与圆相关的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题.
选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.1直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
教学目标
学习目标 数学素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 1.数学抽象素养.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程． 2.数学抽象素养和逻辑推理素养.
3.掌握倾斜角和斜率之间的关系及过两点的直线的斜率公式. 3.数学抽象素养和数学运算素养.
知新引入
我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，可用坐标表示点；那么，如何用坐标表示直线呢？.
为了用代数方法研究直线的有关问题，本章我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
观察下图的斜拉桥拉索，确定一条直线的几何要素是什么？
新知探究
基本事实：两点确定一条直线.
设A，B为直线上的两点，则是该直线的方向向量；
确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的
一条直线 l（如右图），如何利用坐标系确定它的位置？
O
x
y
l
O
x
y
A
B
两点确定一条直线 一点和一个方向确定一条直线；
两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.
知新探究
在平面直角坐标系中，经过一点 P 可以作无数条直线 l1，l2，l3，… ，它们组成一个直线束. 观察右图说说这些直线的区别是什么？
O
x
y
α3
α2
α1
l1
l2
l3
l'
P
α'
在平面直角坐标系中，我们规定：水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向.
我们看到，这些直线相对 x轴的倾斜程度不同，也就是直线向上的方向与x轴的正方向所成的角不同.
因此，我们可以可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
知新探究
当直线l 与 x 轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l 向上的方向 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.
右图中直线l1的倾斜角α1为锐角，直线l'的倾斜角α'
为钝角.
当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.
O
x
y
α3
α2
α1
l1
l2
l3
l'
P
α'
因此，直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤ α < 180°.
知新探究
所以，直线上的一个定点以及它的倾斜角即可确定平面直角坐标系中一条直线位置.
O
x
y
α3
α2
α1
l1
l2
l3
l'
P
α'
这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等；
因此，我们可用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
练习：
下列各图中 表示直线倾斜角的为 ( 　)
C
知新探究
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，
（1）已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线l经过P1(–1，1)，P2(，0) ，那么α与P1，P2的坐标又有什么关系？
（3）一般地，如果直线l经过 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
α
O
x
y
P (，1)
l
（1）
（1）如图，向量= (，1)，且直线OP的倾斜角为α，
由正切函数的定义，有 ；
知新探究
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α，
（1）已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线l经过P1(–1，1)，P2(，0) ，那么α与P1，P2的坐标又有什么关系？
（3）一般地，如果直线l经过 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
O
x
y
P1 (–1，1)
P2 (，0)
α
α
P
（2）
（2）如图，向量=(–1–，1–0)=(–1–，1).
平移向量到，则点P的坐标为(–1–，1)，
且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有
；
知新探究
（3）一般地，如果直线l经过 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
① 如图，当向量的方向向上时，平移向量
，直线OP的倾斜角也是α，
（3）①
x
α
O
y
P1
P2
P
α
x
α
O
y
P1
P2
P
α
,
.
由正切函数的定义，有
（3）②
x
α
O
y
P2
P1
P
α
x
α
O
y
P2
P1
P
α
② 如图，当向量的方向向上时，平移向量
，直线OP的倾斜角也是α，
,
也有
.
知新探究
当直线 P1P2 与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
O
x
y
P2
P1
P2
P1
成立；
设 P1 (x1，y)，P2 (x2，y)，x1 ≠ x2，则 = 0；
综上可知：直线l的倾斜角α与直线l上的两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) (x1 ≠ x2) 的坐标有如下关系：
①
知新探究
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).
斜率常用小写字母k表示，即
练习：
1.倾斜角是30°时，这条直线的斜率为 ；
2.倾斜角是120°时，这条直线的斜率为 .
倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率 .
日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度，坡度 = ．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.
②
.
.
当直线的倾斜角由 0°逐浙增大到 180°时，其斜率如何变化？为什么？
知新探究
根据斜率的定义，完成下列填空：
图示
倾斜角 (范围) α = 0° 0°< α < 90° α = _____ 90°< α < 180°
斜率 (范围) _________ _________ 不存在 _________
0
(0，+ ∞)
90°
(– ∞，0)
新知探究
由正切函数单调性，倾斜角不同的直线，斜率也不同.因此，可以用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向.
如果直线经过两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) (x1 ≠ x2)，那么由①②可得如下斜率公式：
.
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度.
新知探究
(1)已知直线上的两点A(a1,a2),B(b1,b2),运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B两点的顺序有关吗？
(2)当直线 P1P2 与 y 轴平行或重合时，上述公式还适用吗？为什么？
由得,P1、P2 两点的位置关系不影响正切值.
显然，当直线的倾斜角α = 90°时，x1 = x2，上述式子没有意义.
新知探究
我们知道，直线 P1P2 上的向量以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量.当直线 P1P2 上的向量的坐标为(x2-x1,y2-y1)
当直线 P1P2 与x轴不垂直时，x1 ≠ x2，此时，向量也是直线 P1P2 的方向向量，且它的坐标为,其中k是直线 P1P2 的斜率.因此，若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则.
新知探究
【例1】如图，已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：
直线CA的斜率：，
直线AB的斜率：;
直线BC的斜率：;
由 kAB> 0 及 kCA > 0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC < 0可知，直线BC的倾斜角为钝角.
O
x
y
A
–2
–1
–4
–3
2
1
3
2
1
3
–1
B
C
新知探究
【例2】⑴已知过点A（2m,3),B(2,-1)的直线的倾斜角为45°，求实数m的值；
⑵若过点A（2m,3),B(2,-1)的直线的倾斜角为90°，求实数m的值；
⑶若过点A（2m,3),B(2,-1)的直线的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围.
解：
⑴∵直线的倾斜角为45°，
∴,
即,
∴m=3.
⑵直线的倾斜角为90°，
∴m<1.
∴2m=2,即m=1;
⑶∵直线的倾斜角为钝角，
∴k<0,即,
新知探究
【例3】已知两点A（-3,4),B(3,2)，过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
解：
如图，由题意可知
k≤-1或k≥3.
,
∴要使直线l与线段AB有公共点，直线l的斜率k的取值范围为
,
初试身手
1.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
⑴ A(2,3)，B(4,5); ⑵C(－2,3)，D(2，－1);
⑶P(－3,1)，Q(－3,10).
⑴存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即＝1，又0°≤α＜180°，
所以倾斜角α＝45°.
解：
⑵存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即＝－1，又 0°≤α＜180°，
所以倾斜角α＝135°.
⑶不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
初试身手
2.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈，则k的取值范围是 ．
∵α∈，
解：
当≤α＜时，，
∴,
∴,
当≤α＜π时，，
∴．
初试身手
3.已知直线l过点M(m+1,m－1),N(2m,1).
⑴当m为何值时，直线l的斜率是1？
⑵当m为何值时，直线l的倾斜角为90°
⑴设直线斜率为k，由斜率公式可得
解：
∴m=.
k===1,k===1,
⑵∵直线倾斜角为90 °,
∴m+1=2m,即可得m=1.
课堂小结
1.直线的倾斜角
2.直线的斜率
当直线l 与 x 轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l 向上的方向 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤ α < 180°.
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).
斜率常用小写字母k表示，即
如果直线经过两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) (x1 ≠ x2)，那么可得如下斜率公式：
.
作业布置
作业： P55 练习 第3,4,5题
P57-58 习题2.1 第1，2，3题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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