湖南省永州市2024年九年级下学期中考一模数学试卷(含详解)

湖南省永州市2024届九年级下学期中考一模数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若x的相反数是3,则x的值是( )
A. B. C.3 D.
2．湖南省2023年地区生产总值突破五万亿元,同比增长,其中数据50000用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3．下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标,其中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4．下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5．某校在读书系列活动中,为了解学生的课外阅读情况,随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间(单位：小时)进行统计,数据如图表,两组数据的众数分别为、,方差分别为、,则( )
甲组 6 7 8 8 8 9 10
乙组 4 7 8 8 8 9 12
A., B.,
C., D.,
6．已知直线,将一块含角的直角三角板按如图方式放置,其中斜边与直线n交于点D.若,则的度数为( )
A. B. C. D.
7．直线不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
9．已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系,它的图象如图所示.下列说法正确的是( )
A.函数解析式为 B.蓄电池的电压是18V
C.当时, D.当时,
10．如图,抛物线的图像与轴相交于、两点,与y轴相交于点C,以下结论：①；②；③当时,；④.正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题
11．因式分解：__________.
12．在函数中,自变量x的取值范围是___.
13．在平面直角坐标系中,点关于x轴对称点的坐标是______.
14．分式方程的解为______.
15．某校开展征文活动,学生只能从“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”三个主题中选择一个主题上交征文,那么两名学生恰好选中同一主题征文的概率是______.
16．在中,,,,将绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥,则该圆锥的侧面积是___________.
17．如图,的边与相交于C,D两点,且经过圆心O,边与相切,切点为B.如果,那么等于______.
18．如图,在中,,,,以点A为圆心,适当长为半径作弧分别交,于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在的内部相交于点G,作射线,交于点D,则D到的距离为______.
三、解答题
19．计算：
20．先化简,再求值：,其中.
21．某校利用课后延时服务时间,开设“阳光球类系列课程”,有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程,为了解学生对课程的喜爱情况,随机调查了m名学生(每名学生必选且只选其中一门课程).根据以下统计图提供的信息,请解答下列问题：
(1)______,______；
(2)补全条形统计图；
(3)“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为______.
(4)若全校共有3000名学生,请估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球.
22．如图,小明用测角仪(测角仪高度忽略不计)测量楼栋的高度.先在A处测得楼顶C的仰角,然后向楼底方向直行20米到达B处,测得楼顶C的仰角.求楼栋的高度.(参考数据：,,结果保留整数)
23．如图,在矩形中,O为对角线的中点,过点O作分别交、边于点E、F,连接,.
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若,,求菱形的边长.
24．3月12日,某校开展植树活动,准备购买桂花树和香樟树,已知购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元,购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元.
(1)求香樟树和桂花树的单价；
(2)现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵,要求总费用不超过3300元,学校最多可以购买多少棵桂花树？
25．如图,是的内接三角形,点H在上,连接并延长交于点D,连接,.
(1)求证：
(2)若,求证：；
(3)在(2)的条件下,若,的半径为r,且,求的值.
26．以x为自变量的两个函数y与g,令,我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数与它们的“相关函数”为.恒成立,所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值,恒成立.
(1)已知函数与函数相交于点、,求函数y与g的“相关函数”h；
(2)已知以x为自变量的函数与,当时,对于x的每一个值,函数y与g的“相关函数”恒成立,求t的取值范围；
(3)已知以x为自变量的函数与(a、b、c为常数且,),点,点、是它们的“相关函数”h的图象上的三个点,且满足,求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：∵3的相反数是-3,x的相反数是3
∴
故选：A.
2．答案：B
解析：,
故选：B.
3．答案：A
解析：A、是轴对称图形,故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形,故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形,故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形,故本选项不符合题意；
故选：A.
4．答案：C
解析：A、,故该选项是错误的；
B、,故该选项是错误的；
C、,故该选项是正确的；
D、,故该选项是错误的；
故选：C.
5．答案：D
解析：甲组数据8出现了三次,次数最多,
,
乙组数据8出现了三次,次数最多,
,
,
,
,
,
,
,
故选：D.
6．答案：B
解析：如图：
∵,
,
,
,
故选：B.
7．答案：C
解析：由于,,
故函数过一、二、四象限,不过第三象限.
直线不经过第三象限,
故选C.
8．答案：A
解析：,
由①得：；
由②得：,
∴原不等组的集为,；
在数轴上表示为
故选A.
9．答案：C
解析：设,将代入可得,故A错误；
∴蓄电池的电压是36V,故B错误；
当时,,该项正确；
当当时,,故D错误,
故选：C.
10．答案：B
解析：①：图象与x有两个交点
①正确；
②：图象开口向上
对称轴
图象与y的交点在y负半轴
②正确；
③：由图象可知,当时,
③不正确；
④：由图象知,当时,
④正确.
故选：B.
11．答案：
解析：；
故答案为.
12．答案：
解析：要使在实数范围内有意义,必须.
13．答案：
解析：点关于x轴对称点的坐标是,
故答案为：.
14．答案：
解析：,
去分母得：,
解得：,
经检验：是分式方程的解.
故答案为：.
15．答案：
解析：将“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”分别记为A、B、C,
画树状图如下：
两名学生恰好选中同一主题征文的概率是:,
故答案为：.
16．答案：
解析：∵在中,,,,
∴勾股定理可知,
∵将绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥
∴该圆锥是以BC为底面半径,AB为母线组成的即,,
∴圆锥侧面积,
故答案为：.
17．答案：
解析：连接,
与相切,,
半径,
,
故答案为：.
18．答案：/
解析：过点D作于M,如图,
由勾股定理可求得,
由题中作图知,平分,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴；
设,则,
在中,由勾股定理得：,
解得：,
即的长为为；
∴
故答案为：.
19．答案：4
解析：原式
.
20．答案：；1
解析：原式
.
当时,
原式
.
21．答案：(1)100,5
(2)图见解析
(3)
(4)学校约有600名学生喜爱打乒乓球
解析：(1)(名)；
故答案为：100,5；
(2)(名)
如图所示：
(3)
“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为；
(4)(名)
∴学校约有600名学生喜爱打乒乓球.
22．答案：这栋楼的高度为27米
解析：过点C作,垂足为E,
设为,
在中,,
∴,
∴
在中,,
∵
∴,
∴,
∵,
∴,
解得：,
∴,
∴,
答：这栋楼的高度为27米.
23．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵点O是的中点
∴
在和中
∴
∴
已知
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形；
(2)∵四边形是矩形
∴
∵四边形是菱形
∴
设菱形的边长为x,
则,
在中
即
解得
所以菱形的边长为.
24．答案：(1)香樟树和桂花树单价分别为60元,90元
(2)最多可以购买桂花树30棵
解析：(1)设香樟树和桂花树单价分别为x元,y元
根据题意得,,
解方程得,,
答.香樟树和桂花树单价分别为60元,90元.
(2)设学校购买桂花树m棵,则购买香樟树棵,
根据题意得,,
解不等式得,,
答：最多可以购买桂花树30棵.
25．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)证明：∵,
∴,
又∵
∴；
(2)证明：∵,
∴,即
∵
∴,
∴,
∴；
(3)如图,连接,
∵,,
∴,
∴,
∴是直径,
∴,
∵,
设,则,
∵O,H分别是、的中点,
∴是的中位线,
∴,
在中,,
在中,,
∵
∴,
∴
∴.
26．答案：(1)
(2)
(3)且
解析：(1)∵已知函数与函数相交于点、,
∴,
解得,
∴函数,
∴；
(2)∵函数与,
∴相关函数,
∵当时,对于x的每一个值,函数y与g的“相关函数”恒成立,
∴恒成立,
当时,,
当时,恒成立,
∴；
(3)∵函数与,
∴,
将点、、代入解析式得：
,,,
∴,
∵,
∴,
解不等式得：且,
不妨令,则且,
设函数h与x轴交于,,
∴,是方程的两根,
∴,,
∴函数h的图象截x轴得到的线段长度为：
,
∵且,
∴且,
即且.