山东省A7联盟2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（图片版，无答案）

山东省A7联盟2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题
高三数学测试卷（一）
（本试题考试时间 120分钟，满分 150分） 2024.8
考生注意：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分，满分 40分。每小题只有一个选项符合题目要求
1．集合的 的子集个数为
A.2 B.4 C.8 D.16
2．若复数z满足 （i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．从 ， ，1，3这4个数中随机取出2个不同的数，则这2个数的乘积不超过1的概率为
A． B． C． D．
4．已知正三棱柱 与以 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为
A． B． C． D．
5．有四个幂函数： ； ； ； .某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：
①它是偶函数；②它的值域是 且 ；③它在 上单调递增．若他给出的三个性质中有两个正确、
一个错误，则他研究的函数是
A． B． C． D．
6．对于平面上的动点P，且满足对于A（x1，y1），B（x2，y2）；PA、PB长度之比为 t（t不为0），则我们称P
点运动所得的轨迹为 “完美曲线” 。 若A（-2，0），B（4，0），t=2.则下列和“完美曲线”有交点的有几
个？（1）y=3ln3 （2） y2=3x （3） 8y-x+6=0 （4）（x-2）2+（y- 3）2 = 2
A．2 B．3 C．0 D．1
7．若曲线 的一条切线为 （ 为自然对数的底数），其中 为正实数，则 的取值范
围是
A． B． C． D．
8．正项数列 中， （ 为实数），若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
高三数学测试题（第1页，共4页）
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二、多项选择题:本题共 3小题,每小题 6分，满分 18分
9．已知函数 的部分图象如图所示，则
A． B． C． D．
10．已知不等式 对任意 恒成立，其中 ， 是整数，则 的取值可以为
A． B． C．0 D．8
11．由倍角公式 可知， 可以表示为 的二次多项式.一般地，存在一个 次多项
式 ，使得 ，这些多项式 称为切比雪夫
（P.L.Tschebyscheff）多项式.运用探究切比雪夫多项式的方法可得
A． B．
C． D．
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分，满分 15分
12．若 ， ，则 .
13．已知某射击运动员在10次射击中，命中环数的平均数为7，方差为4，现增加两次射击，命中环数分别是6和
8，则该射击运动员的这12次射击的命中环数的方差为 .
14．设集合 ，（ ， ）且A中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值
为 .
高三数学测试题（第2页，共4页）
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四、解答题:本题共 5小题，满分 77分
解答题（一）
15～17题，每题有2问，（1）问所有考生必须作答，（2）问在（a）（b）中任选一题作答。考生选的序号不同，
题目满分不同。若选择（a），满分为8分；选择（b），满分4分。若多做，则按第一小题计分。
解答时，先在答题卡上将所选序号涂黑，然后作答。
15.（本题满分13分）
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝ ，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝ ，求PA；
(2) (a)若∠APB＝150°，求tan∠PBA． （b）求PC+PB的取值范围
16．（本题满分15分）
已知数列{an}的前n项和为 Sn（n为正整数），若 S1=2，3Sn=（n+2）an
（1）求 a2025
（2）
1 1 1 3
（a）证明： 1+ 2+ … + < 2
（b）解不等式：Sn< 2025
17.（本题满分15分）
如图①，已知三角形AB'C是边长为2的等边三角形，D是 的中点， ，如图②，将 沿边DH
翻折至 .
(1) 在线段BC上是否存在点 F，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
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(2) （a）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为 ，求点B到直线CH的距离.
（b）若点B在平面ADHC上的投影在DH上，求平面ABC与直线AH所成角的正弦值
解答题（二）
18～19小题，每题17分，考生须作答所有小问。
18.（本题满分17分）
已知抛物线 E：y2=2px. 过抛物线焦点 F作直线 l1分别在第一、四象限交 E于 K、P两点，过原点O作直线 l2
与抛物线的准线交于 E点，设两直线交点为 S.若当点P的纵坐标为-2时，|OP|= 5
（1）求抛物线的方程
（2）若 EP平行于x轴，证明 S在抛物线上
（3）在（2）的条件下，记三角形SEP的重心为R，延长ER交 SP于Q，直线EQ交抛物线于N、T（T在右
侧），设NT中点为G，求当三角形PEG、ESQ的面积之比n取得极值时的R点的纵坐标
19．（本题满分17分）
已知集合 （ ， ），若存在数阵 满足：
① ；
② ．
则称集合 为“好集合”，并称数阵 为 的一个“好数阵”．
(1)已知数阵 是 的一个“好数阵”，试写出 ， ， ， 的值；
(2)若集合 为“好集合”，证明：集合 的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 的所有“好数阵”；若不是，说明理
由．
高三数学测试题（第4页，共4页）
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