(共23张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
3 有理数的加减运算
第6课时 有理数的加减混合运算的实际应用
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点 有理数加减混合运算的实际应用
1. [情境题·生活应用 2024·滨州滨城区期中]如图，小李在某
运动APP中，设定了每天的步数目标为8 000步，该APP
用目标线上方或下方的长条图表示每天超过或少于目标数
的步数，如3日，小李少于目标数的步数为500步，则从2
日到5日这四天中小李一共走的步数为( A )
A. 33 040步 B. 34 776步
C. 32 040步 D. 32 000步
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【点拨】
因为8 000＋650＋8 000＋(－500)＋8 000＋1 258＋8
000＋(－368)＝33 040(步)，所以从2日到5日这四天中小李
一共走的步数为33 040步.
A
【答案】
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2. [2023·泰安泰山区月考]某集团公司对所辖甲、乙两分厂上
半年经营情况记录如下表所示(其中“＋”表示盈利，
“－”表示亏损，单位：万元)，则甲厂上半年比乙厂上
半年多盈利( C )
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份
甲厂 －0.2 －0.3 ＋1 0 ＋1.2 ＋1.3
乙厂 －0.7 －0.3 －1.8 0 ＋1.8 ＋1.6
A. 3万元 B. 2.6万元
C. 2.4万元 D. 0.6万元
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【点拨】
甲厂上半年的盈利为－0.2＋(－0.3)＋(＋1)＋0＋(＋
1.2)＋(＋1.3)＝3(万元)，乙厂上半年的盈利为－0.7＋(－
0.3)＋(－1.8)＋0＋(＋1.8)＋(＋1.6)＝0.6(万元)，所以甲
厂上半年比乙厂上半年多盈利3－0.6＝2.4(万元).
C
【答案】
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3. [母题·教材P61随堂练习T1 2024·菏泽定陶区期中]下表是
某中学七年级5名学生的体重情况.
姓名 小颖 小明 小刚 小京 小宁
体重/千克 34 44 45 37 41
体重与平均体重的差/
千克 －7 ＋3 ＋4 －4 0
44
37
41
＋4
(1)试完成上表.
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【点拨】
由小颖体重为34千克，体重与平均体重的差为－7
千克，得到平均体重为34－(－7)＝34＋7＝41(千克)，
则小明的体重为41＋3＝44(千克)；小刚的体重与平均
体重的差为45－41＝4(千克)；小京的体重为41＋(－4)
＝37(千克)；小宁的体重为41千克.
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(2)最轻的与最重的相差 千克.
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4. 某中学图书馆一周(5天)的借书情况(规定：每天超过
100本的部分记为“＋”，不足100本的部分记为
“－”)如下表：
星期 一 二 三 四 五
借书数量变化/本 ＋21 ＋10 －17 ＋8 －12
该图书馆这一周共借出 本书，图书馆这周星期四
比星期三多借出 本书.
510
25
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【点拨】
该图书馆这一周共借出100×5＋(21＋10－17＋8－
12)＝500＋10＝510(本)书，这周星期四比星期三多借出
100＋8－(100－17)＝108－83＝25(本)书.
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5. [情境题·游戏活动型 2024·日照东港区校级月考]在教
师节晚会上，主持人小丽和小蓉进行一场游戏，游戏
规则如下：
(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到形如“□”的卡
片，那么加上卡片上的数，如果抽取到形如“○”的
卡片，那么减去卡片上的数.
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(2)比较两人所抽取的4张卡片上的数的计算结果，结果大
的为胜，结果小的为大家唱歌.
小丽和小蓉所抽取的卡片如图所示，你知道本次游戏
结束后谁会为大家唱歌吗？请说明理由.
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【解】根据题意得小丽： － ＋(－5)－4＝ ＋
－5－4＝－7；
小蓉：－2－ ＋(－5)－ ＝－2＋ －5＋ ＝
－7＋ ＝－6 .
因为－7＜－6 ，
所以小蓉获胜，小丽为大家唱歌.
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6. [情境题·体育赛事 2024·济南章丘区期中]世界杯比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下(单位：米)：＋10，－2，＋5，－6，＋12，－9，＋4，－14.(假定开始记录时，守门员正好在球门线上)
(1)守门员最后是否回到球门线上？
【解】＋10－2＋5－6＋12－9＋4－14＝0(m).
答：守门员最后正好回到球门线上.
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(2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？
【解】第一次离开球门线10米，第二次离开球门线10
－2＝8(米)，第三次离开球门线8＋5＝13(米)，第四次
离开球门线13－6＝7(米)，第五次离开球门线7＋12＝
19(米)，第六次离开球门线19－9＝10(米)，第七次离开
球门线10＋4＝14(米)，第八次离开球门线14－14＝
0(米)，19 m＞14 m＞13 m＞10 m＞8 m＞7 m＞0 m.
答：守门员离开球门线的最远距离达19米.
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(3)如果守门员离开球门线的距离超过10米(不包括10米)，
则对方球员挑射极可能造成破门.请问在这一时间段
内，对方球员有几次挑射破门的机会？
【解】由(2)中计算可知对方球员有三次挑射破门的
机会.
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7. [2023·泰安新泰市月考]随着人们生活水平的提高，家用轿
车越来越多地进入家庭，小明家中买了一辆小轿车，他连
续记录了七天中小轿车每天行驶的路程(如表)，以50 km
为标准，多于50 km的记为“＋”，不足50 km的记为
“－”.
第一
天 第二
天 第三
天 第四
天 第五
天 第六
天 第七
天
路程
/km －8 －11 －14 0 －16 ＋38 ＋18
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(1)这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多行驶
了多少千米？
【解】＋38－(－16)＝54(km).
答：这七天中，行程最多的一天比行程最少的一天多
行驶了54 km.
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(2)求这七天平均每天行驶多少千米.
【解】－8－11－14＋0－16＋38＋18＝7(km)，
(7×50＋7)÷7＝51(km).
答：这七天平均每天行驶51 km.
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(3)若行驶100 km需用汽油6升，汽油价为8.2元/升，请估
计小明家一个月(按30天计算)的汽油费用是多少元？
(计算结果精确到个位)
【解】30×51÷100×6×8.2＝752.76≈753(元).
答：估计小明家一个月的汽油费用是753元.
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8. [新视角·规律探究题] 将1 m长的线段从正中间截断，剩下
m，又把这 m长的线段从正中间截断，剩下 m，再把
这 m长的线段从正中间截断，剩下 m，…，如此进行
下去.例如：求 ＋ ，观察如图所示的图形可知 ＋ ＝1
－ ＝ .
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通过这个操作，仔细思考，试求： ＋ ＋ ＋ ＋…＋
的值.
【解】由题意知 ＋ ＝1－ ， ＋ ＋ ＝1－ ，…，
所以 ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＝ .
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8(共14张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
2 认识有理数
第4课时 用绝对值比较大小
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点 用绝对值比较有理数的大小
1. [母题教材P42随堂练习T1]下列结论正确的是( C )
A. －2＜－3 B. －0.2＜－0.3
C. － ＜－ D. － ＜－
C
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2. [易错题][2024·重庆A卷]下列四个数中，最小的数是
( A )
A. －2 B. 0
C. 3 D. －
A
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3. [情境题·生活应用 2024·济南天桥区期末]如表是我国四个
城市某一天的平均气温：
城市 北京 哈尔滨 济南 上海
气温/℃ －8 －16 －5 2
其中平均气温最低的城市是( B )
A. 北京 B. 哈尔滨
C. 济南 D. 上海
B
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4. [2024·临沂罗庄区期中]不大于－2.2的最大整数是( B )
A. －2 B. －3
C. －1 D. 0
【点拨】
不大于－2.2的最大整数即小于或等于－2.2的最大
整数，－3＜－2.2，所以不大于－2.2的最大整数是－3.
B
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5. [2024·威海]一批食品，标准质量为每袋454 g.现随机抽取
4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，
不足的克数用负数表示.那么最接近标准质量的是( C )
A. ＋7 g B. －5 g
C. －3 g D. 10 g
【点拨】
因为｜＋7｜＝7，｜－5｜＝5，｜－3｜＝3，｜10｜
＝10，3＜5＜7＜10，所以最接近标准质量的是－3 g.
C
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6. [2024·淄博期末]若m，n是有理数，满足｜m｜＞｜
n｜，且m＞0，n＜0，则下列选项中，正确的是( B )
A. n＜－m＜m＜－n
B. －m＜n＜－n＜m
C. －n＜－m＜n＜m
D. －m＜－n＜n＜m
【点拨】
因为m，n是有理数，满足｜m｜＞｜n｜，且m＞
0，n＜0，所以－m＜n＜－n＜m.
B
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7. 比较大小：－ －( ＋ )(填“＞”或“＜”).
【点拨】
－ ＝－ ，－ ＝－ .
因为 ＞ ，所以－ ＜－ ，
所以－ ＜－ .
＜
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8. 已知如下各数：4，－ ，0，－4，2.5，－1，解答下列
各题.
(1)用“＞”把这些数连接起来；
【解】如图，将各数在数轴上表示出来，
所以4＞2.5＞0＞－1＞－ ＞－4.
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(2)求这些数的绝对值的和.
【解】4＋ ＋0＋｜－4｜＋2.5＋｜－1｜＝4＋1.5
＋0＋4＋2.5＋1＝13.
故这些数的绝对值的和为13.
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9. [情境题·生活应用]在活动课上，有6名同学用橡皮泥做了6
个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的
毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表：
做乒乓
球的同
学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟
检测结 果/毫米 ＋
0.031 －
0.017 ＋
0.023 －
0.021 ＋
0.022 －
0.011
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(1)请你指出哪些同学做的乒乓球是符合要求的？
【解】张兵、蔡伟做的乒乓球是符合要求的.
(2)指出符合要求的乒乓球中哪名同学做的质量最好？6名
同学中，哪名同学做的质量最差？
【解】蔡伟做的质量最好，李明做的质量最差.
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(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名，
用学过的绝对值的知识说明.
【解】因为｜－0.011｜＜｜－0.017｜＜｜－0.021｜
＜｜＋0.022｜＜｜＋0.023｜＜｜＋0.031｜，
所以6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为蔡
伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明.
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9(共13张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
1 从小学算术说起
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 小学四则运算
1. [2024·荣德原创]下列计算正确的是 ( D )
A. 10－2＋3＝10－5＝5
B. 18÷ ×3＝18÷1＝18
C. ＋ ＝ ＝
D. 18×( － )＝18× －18× ＝9－6＝3
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因为10－2＋3＝8＋3＝11，所以A错误；因为18÷
×3＝18×3×3＝162，所以B错误；因为 ＋ ＝ ＋
＝ ，所以C错误；D正确.
【点拨】
【答案】
D
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2. [2024·济南历下区期末]在横线上填“＞”“＜”或
“＝” .
(1) × ；
(2) ÷ ；
(3) ÷3 ×13.
＞
＜
＜
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(1) ＞1，所以 × ＞ ；
(2) ＜1，所以 ＜ ÷ ；
(3)3＞1，13＞1，所以 ÷3＜ ， ×13＞ ，
所以 ÷3＜ ×13.
【点拨】
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练点2 小学实际问题
3. [2024·潍坊潍城区期末]如图，如果把一个长5 cm，宽3 cm
的长方形拉成一个平行四边形，这个平行四边形的高可能
是( A )
A. 2 cm B. 3 cm
C. 4 cm D. 5 cm
【点拨】
由题图可知：一个长方形拉成一个平行四边形后，
底没变，但是高变小了，即平行四边形的高小于3 cm，只
有A选项符合.
A
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4. [母题教材P29尝试交流T2]请写出生活中能写成10－15的
实例：
.
(答案不唯一)某仓库今天入库10套产品，出库15
套产品
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【解】150× ＝150× ＝180(棵).
答：梨树有180棵.
5. [2024·济南市中区期末]看图列式并解答.
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6. 能表示出 的意义的算式是( C )
A. － ＝ B. 1－ ＝
C. － ＝ D. ＋ ＝
7. [2024·荣德原创]周末，小明一家自驾到达泰安市，准备登
泰山，小明查到当时山脚的温度为8 ℃，已知山顶的温度
比山脚低9 ℃，那么此时山顶的温度是 .
C
－1 ℃
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【解】25× × ＝10× ＝4(米).
答：这个弹力球第二次落下后又弹起约4米.
8. [新考向·知识情境化 2024·济南市中区期末]一个弹力球从
25米的高空落下，每次能弹起的高度约是上一次落下高度
的 (如图)，这个弹力球第二次落下后又弹起约多少米？
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9. [情境题·生活应用 2024·济宁任城区期末]加工一批同样的
服装，甲车间单独做要15天完成，乙车间单独做要20天完
成.两个车间合做，同时做了3天，甲车间比乙车间多做了
150套.这批服装一共要做多少套？
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【解】150÷
＝150÷
＝150÷
＝150×20
＝3 000(套).
答：这批服装一共要做3 000套.
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9(共31张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
全章热门考点整合应用
本章主要学习了有理数的定义及其相关概念、有理数的
运算、科学记数法与近似数等.本章内容是中考的基本考查
内容之一，命题形式多以选择题和简单的计算题为主，注重
对基础知识和基本技能的考查，其热门考点可概括为七个概
念、一种运算、六种运算技巧、三种思想.
名师点金
1. [新考向·数学文化]《九章算术》是中国古代的一部数学专
著，成书于公元一世纪左右.书中注有“今两算得失相
反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相
反，则分别叫作正数与负数.若气温为零上5 ℃记作＋5 ℃，则－10 ℃表示气温为( A )
A. 零下10 ℃ B. 零下15 ℃
C. 零上15 ℃ D. 零上10 ℃
A
考点1 七个概念
概念1正数和负数
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概念2有理数
2. [2024·济南平阴县期末]请把下列各数填入它所属于的集合
的大括号里.
1，0.070 8，－700，－3.88，
0，3.14，－ ，0. .
正有理数集合：{ …}，
正分数集合：{ …}，
1，0.070 8，3.14，0. ，
0.070 8，3.14，0. ，
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非负整数集合：{ …}，
负有理数集合： .
1，0，
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概念3数轴
3. [2024·德州陵城区期中]将一把刻度尺按如图所示的方式放
在数轴上(数轴的单位长度是1 cm)，刻度尺上的“1 cm”
和“6 cm”分别对应数轴上的－1.2和x，则x为( A )
A. 3.8 B. 2.8
C. 4.8 D. 6
A
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概念4相反数
4. [2024·淄博张店区期中]下列各组数中互为相反数的是
( C )
A. － 与－2 B. －1与－(＋1)
C. －(－3)与－3 D. 2与｜－2｜
C
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概念5绝对值
5. 如图，已知a，b分别是数轴上点A，B所表示的有理
数，且｜a｜＝5，｜b｜＝2.
(1)试确定数a，b.
【解】因为｜a｜＝5，｜b｜＝2，所以a＝±5，b＝±2.
由数轴可知a＜b＜0，所以a＝－5，b＝－2.
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(2)表示a，b两数的点之间的距离是多少？
【解】因为－2－(－5)＝3，
所以表示a，b两数的点之间的距离是3.
(3)若C点在数轴上，且C点到B点的距离是C点到A点距
离的 ，请直接写出C点所表示的数.
【解】C点所表示的数为－0.5或－2.75.
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概念6倒数
6. [2024·济宁邹城市期末改编]已知有理数a，b互为相反
数，c，d互为倒数，求(a＋b)2 025＋(－cd)2 024的值.
【解】因为有理数a，b互为相反数，c，d互为倒数，
所以a＋b＝0，cd＝1，
所以(a＋b)2 025＋(－cd)2 024
＝02 025＋(－1)2 024
＝1.
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概念7科学记数法和近似数
7. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进
度过七成半.将2.39亿用科学记数法表示应为( B )
A. 23.9×107 B. 2.39×108
C. 2.39×109 D. 0.239×109
B
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8. [2024·潍坊寿光市期末]据统计我国每年浪费的食物总量折
合粮食约499.5亿千克，把这个数精确到十亿位，用科学
记数法表示为 千克.
【点拨】
499.5亿千克＝49 950 000 000千克＝4.995×1010千克
≈5.0×1010千克.
5.0×1010
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考点2 一种运算——有理数的运算
9. [2024·泰安新泰市期末]计算：
(1)－10.2＋1.6－(－4.2)＋ ；
【解】－10.2＋1.6－(－4.2)＋
＝－10.2＋1.6＋4.2＋0.4
＝－4.
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(2)(－1)2 024×｜－8｜＋(－2)3÷( － )2.
【解】(－1)2 024×｜－8｜＋(－2)3÷
＝1×8＋(－8)÷
＝8＋(－8)× ＝8＋(－18)
＝－10.
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10. 小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两人一起参加社区的
演出.在演出前，主持人让她们自己确定出场顺序，可她
俩都争着要先出场，最后，主持人出了一个主意，如图.
－｜－5｜ －(－3) －0.4的倒数 (－1)5 0的相反数
比－2大 的数
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【解】－｜－5｜＝－5，－(－3)＝3，－0.4的倒数是
－ ，(－1)5＝－1，0的相反数是0，比－2大 的数是 .
在数轴上表示出来，
如图所示.
则－5＜－ ＜－1＜0＜ ＜3.
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考点3 六种运算技巧
技巧1运用运算律
11. 运用简便方法计算：
(1)2 －3 －5 ＋( －3 )；
【解】原式＝2 －3 －5 －3
＝ ＋
＝－1－9
＝－10.
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(2)[2024·南京鼓楼区校级月考]( － － )×(－27).
【解】原式＝ ×(－27)－ ×(－27)－ ×(－27)
＝－6＋9＋2
＝5.
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技巧2逆用运算律
12. [2024·南京鼓楼区校级月考]运用简便方法计算：－6×
＋4× －5× .
【解】原式＝ ×(－6＋4－5)
＝ ×(－7)
＝－3.
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技巧3先化成倒数，再用运算律
13. [2024·济南市中区校级月考]阅读以下材料，完成相关的
填空和计算.
(1)根据倒数的定义我们知道，若(a＋b)÷c＝－2，则
c÷(a＋b)＝ ；
－
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(2)计算：( － ＋ )÷ ；
【解】 ÷
＝ ×36
＝ ×36－ ×36＋ ×36
＝15－4＋24＝35.
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(3)根据以上信息可知，( － )÷( － ＋ )＝
.
【点拨】
由(2)知 ÷ ＝35，所以
÷ ＝－ .
－
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技巧4借数凑整法
14. 计算：89＋899＋8 999＋89 999－9－99－999－9 999－
99 999.
【解】原式＝(90＋900＋9 000＋90 000－4)－(10＋100＋
1 000＋10 000＋100 000－5)＝99 990－111 110－4＋5＝
－11 119.
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技巧5巧妙组合法
15. [母题教材P91复习题T8]计算：1－3－5＋7＋9－11－13
＋15＋17－…－2 021＋2 023＋2 025.
【解】1－3－5＋7＋9－11－13＋15＋17－…－2 021＋2 023＋2 025＝(1－3－5＋7)＋(9－11－13＋15)＋…＋(2 017－2 019－2 021＋2 023)＋2 025＝0＋2 025＝
2 025.
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技巧6裂项相消法
16. 计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ .
【解】原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋
＝( 1－ )＋( － )＋( － )＋( － )＋( － )＋( －
)＋ ＋ ＋( － )＝1－ ＝ .
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考点4 三种思想
思想1数形结合思想
17. [2024·枣庄台儿庄区月考]如图，点A和B表示的数分别
为a和b，下列式子中，不正确的是( C )
A. a＞－b B. a＜b
C. a－b＞0 D. a＋b＞0
C
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思想2转化思想
18. 下列各式中，可以写成a－b＋c的是( B )
A. a－(＋b)－(＋c) B. a－(＋b)－(－c)
C. a－(－b)＋(－c) D. a－(－b)＋(＋c)
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A. a－(＋b)－(＋c)＝a－b－c，故A错误；B. a
－(＋b)－(－c)＝a－b＋c，故B正确；C. a－(－b)＋
(－c)＝a＋b－c，故C错误；D. a－(－b)＋(＋c)＝a
＋b＋c，故D错误.
【答案】
B
【点拨】
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19. [2024·北京朝阳区校级期中]计算：－ × ÷( － ).
【解】－ × ÷ ＝－ × ×
＝ × × ＝ .
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思想3分类讨论思想
20. [2024·青岛即墨区期中改编]已知｜a｜＝3，｜b｜＝
13，且ab＜0，求a－b的值.
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【解】 由题意可知a＝±3，b＝±13，
因为ab＜0，所以a＝－3，b＝13或a＝3，b＝－13，
当a＝－3，b＝13时，
a－b＝－3－13＝－16；
当a＝3，b＝－13时，
a－b＝3－(－13)＝16.
综上，a－b的值为－16或16.
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20(共10张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
5 有理数的乘方
微专题3 非负数性质的应用
例 已知a，b都是有理数，若(a＋2)2＋｜b－1｜＝0，则(a
＋b)2 024的值是( C )
A. －2 023 B. －1
C. 1 D. 2 023
【点拨】
因为(a＋2)2＋｜b－1｜＝0，(a＋2)2≥0，｜b－1｜
≥0，
所以a＋2＝0，b－1＝0，
C
解得a＝－2，b＝1，
所以(a＋b)2 024＝(－1)2 024＝1.
方法点拨：任何数的绝对值和偶次幂都是非负数，若几个非
负数的和为0，那么这几个非负数只能为0.
变式一 已知变为三个非负数的和为0
1. 已知a，b，c满足｜a＋1｜＋( b＋2 )2＋｜c－3｜＝
0，求a2 025＋bc的值.
【解】由｜a＋1｜＋ ＋｜c－3｜＝0，易知a
＋1＝0，b＋2 ＝0，c－3＝0，
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解得a＝－1，b＝－2 ，c＝3，
所以a 2 025＋bc
＝(－1)2 025＋
＝－1－
＝－ .
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变式二 已知变为两个式子相等
2. 已知｜n－2｜＝－(m＋3)2，求－3m－4n的值.
【解】因为｜n－2｜＝－(m＋3)2，
所以｜n－2｜＋(m＋3)2＝0，
因为｜n－2｜≥0，(m＋3)2≥0，
所以n－2＝0，m＋3＝0，
解得n＝2，m＝－3，
所以－3m－4n＝1.
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变式三 已知变为两个非负数互为相反数
3. [2024·烟台芝罘区期中]已知(a－3)2与｜b＋4｜互为相反
数，求b2－a3＋(a＋b)2 025的值.
【解】 由题意得(a－3)2＋｜b＋4｜＝0，
因为(a－3)2≥0，｜b＋4｜≥0，
所以a－3＝0，b＋4＝0，
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解得a＝3，b＝－4，
所以b2－a3＋(a＋b)2 025
＝(－4)2－33＋(－1)2 025
＝16－27－1
＝－12.
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变式四 利用非负数的性质求最值
4. [2024·淄博张店区期末]若式子3｜x－2｜＋4有最小值，
则该式子的最小值为 .
【点拨】
因为3｜x－2｜≥0，所以3｜x－2｜＋4≥4，所以
3｜x－2｜＋4的最小值为4.
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5. [2024·泰安肥城市期末改编]当式子(x＋3)2＋｜y－4｜＋2
取最小值时，求xy的值.
【解】因为(x＋3)2≥0，｜y－4｜≥0，
所以当式子(x＋3)2＋｜y－4｜＋2取最小值时，x＋3＝
0，y－4＝0，解得x＝－3，y＝4，
所以xy＝(－3)4＝81.
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5(共19张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
4 有理数的乘除运算
第2课时 乘法运算律
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点 有理数的乘法运算律
1. 在计算( － )×0.25×(－4)＝( － )×[0.25×(－4)]的过
程中，运用了( B )
A. 乘法交换律
B. 乘法结合律
C. 乘法对加法的分配律
D. 乘法的结合律和交换律
B
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2. 下列计算不正确的是( C )
A. 3×(－2)＝(－2)×3
B. ( － )×(－12)＝(－12)×( － )
C. ( － ＋ )×4＝ ×4＋ ×4
D. (－25)×(－16)×(－4)＝[(－25)×(－4)]×(－16)
【点拨】
×4＝ ×4＋ ×4.
C
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3. [新考法·过程辨析法]两名同学在计算( ＋ － )×12时，
用了不同的方法.
琪琪说：“先计算括号里面的算式 ＋ － ＝－ ，再
乘12，得结果为－1.”
嘉嘉说：“先把 ， 和－ 分别与12相乘，再把所得的
数相加，得结果为－1.”
对于两名同学的计算方法，下面描述正确的是( C )
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A. 两名同学都使用了运算律
B. 琪琪使用了加法结合律
C. 嘉嘉使用了乘法对加法的分配律
D. 嘉嘉使用了乘法交换律
【点拨】
琪琪没有使用运算律，嘉嘉使用了乘法对加法的
分配律.
C
【答案】
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4. [母题教材P68习题T1]用简便方法计算：
(1)(－1.25)× ×(－4)×( － )；
【解】原式＝[(－1.25)×(－4)]×［ × ］＝
5×(－1)＝－5.
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(2)( － － ＋ )×(－36)；
【解】原式＝ ×(－36)－ ×(－36)＋ ×(－
36)＝3＋1－6＝－2.
(3)(－56)×(－32)＋51×(－32).
【解】原式＝(－32)×(－56＋51)＝－32×(－5)＝160.
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纠易错 运用乘法对加法的分配律时易漏乘或弄错符号而出错
5. [2024·济宁任城区期中]( －7 )×8可化为( D )
A. －7× ×8 B. －7×8＋
C. －7×8＋ ×8 D. －7×8－ ×8
【点拨】
×8
＝ ×8
＝－7×8－ ×8.
D
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6. 若2 024×63＝p，则2 024×64的值可表示为( C )
A. p＋1 B. p＋63
C. p＋2 024 D. p
【点拨】
因为2 024×63＝p，所以2 024×64＝2 024×(63＋1)
＝2 024×63＋2 024＝p＋2 024.
C
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7. [情境题·生活应用]某校体育器材室共有60个篮球，一天课
外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的 ， 和 ，这
60个篮球够借吗？如果够借，还剩几个篮球？如果不够
借，还缺几个篮球？
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【解】60×
＝1×60－ ×60－ ×60－ ×60
＝60－30－20－15
＝－5(个).
答：这60个篮球不够借，还缺5个篮球.
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8. [2024·芜湖鸠江区校级月考]用简便方法计算(－5)×( －
3 )＋(－7)×( －3 )＋12×( －3 ).
【解】原式＝(－5－7＋12)×
＝0×
＝0.
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9. [新视角·新定义题 2024·淄博张店区期中]有理数a，b，
c，在乘法运算中，满足①交换律：ab＝ba；②对加法
的分配律：c(a＋b)＝ca＋cb.现对a b这种新运算作
如下定义，规定：a b＝ab＋a＋b.
(1)计算(－2) 3和3 (－2)的值，想一想：这种运算是否
满足交换律？
【解】根据题中的新定义得(－2) 3＝－2×3－2＋3＝
－5，3 (－2)＝3×(－2)＋3－2＝－5.
这种运算满足交换律.
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(2)举例说明：这种运算是否满足对加法的分配律？
【解】因为3 (－2＋1)＝3 (－1)＝3×(－1)＋3－1＝
－1，3 (－2)＋3 1＝3×(－2)＋3－2＋3×1＋3＋1＝
2，－1≠2，
所以这种运算不满足对加法的分配律.
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10. [新视角·过程探究题]学习了有理数的乘法后，老师给同
学们出了这样一道题目：计算49 ×(－5)，看谁算得又
快又对.
有两名同学的解法如下：
小明：原式＝－ ×5
＝－
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＝－249 ；
小军：原式＝( 49＋ )×(－5)
＝49×(－5)＋ ×(－5)
＝－249 .
(1)对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
【解】小军的解法较好.
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(2)小强认为还有更好的方法：把49 看作50－ ，请把
小强的解法写出来.
【解】49 ×(－5)＝ ×(－5)
＝50×(－5)－ ×(－5)
＝－250＋
＝－249 .
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(3)请你用最合适的方法计算：9 ×(－3).
【解】9 ×(－3)
＝ ×(－3)
＝10×(－3)－ ×(－3)
＝－30＋
＝－29 .
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10(共27张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
4 有理数的乘除运算
第1课时 有理数的乘法
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 有理数乘法法则
1. [2023·天津]计算( － )×(－2)的结果等于( D )
A. － B. －1
C. D. 1
【点拨】
原式＝＋ ＝1.
D
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2. [2024·青岛市南区校级月考]下列说法中错误的是( D )
A. 一个数同0相乘，仍得0
B. 一个数同1相乘，仍是原数
C. 一个数同－1相乘，得原数的相反数
D. 互为相反数的两个数的积是1
【点拨】
如0的相反数是0，0×0＝0，故D错误.
D
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3. [2024·东营期中]若a＋b＜0，ab＜0，则下列说法正确的
是( B )
A. a，b同号
B. a，b异号且负数的绝对值较大
C. a，b异号且正数的绝对值较大
D. 以上均有可能
【点拨】
因为ab＜0，所以a，b异号，又因为a＋b＜0，所
以负数的绝对值较大，所以A，C，D选项错误，B选
项正确.
B
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4. [母题教材P63例1]计算：
(1) ×( － )；
【解】 × ＝－ .
(2)－1×(－27)；
【解】－1×(－27)＝27.
(3)(＋3)×( － ).
【解】(＋3)× ＝－4.
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练点2 倒数
5. [2023·娄底]2 023的倒数是( D )
A. 2 023 B. －2 023
C. － D.
D
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6. [2024·枣庄台儿庄区期中]2的相反数的倒数是( B )
A. －2 B. －
C. 2 D.
【点拨】
2的相反数是－2，－2的倒数是－ .
B
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7. [2024·淄博淄川区期中]若m，n互为倒数，则｜mn－3｜
＝ .
【点拨】
因为m，n互为倒数，所以mn＝1，所以｜mn－
3｜＝｜1－3｜＝｜－2｜＝2.
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练点3 多个有理数相乘的法则
8. [2024·德州陵城区月考]下列计算结果是负数的是( C )
A. (－3)×4×(－5)
B. (－3)×4×0
C. (－3)×4×(－5)×(－1)
D. 3×(－4)×(－5)
【点拨】
A. 有2个负因数，积是正数；B. 有因数0，积为
0；C. 有3个负因数，积是负数；D. 有2个负因数，
积是正数.
C
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9. 有2 024个有理数相乘，如果积为0，那么这2 024个数中
( C )
A. 全部为0 B. 只有一个为0
C. 至少有一个为0 D. 有两个互为相反数
【点拨】
多个有理数相乘时，若乘积为0，则至少有一个因数
为0.
C
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10. 已知a＝(－12)×(－23)×(－34)×(－45)，b＝(－123)
×(－234)×(－345)，则下列叙述正确的是( B )
A. a，b均为正数
B. a为正数，b为负数
C. a为负数，b为正数
D. a，b均为负数
【点拨】
因为a中有4个负数相乘，所以a为正数.因为b中有
3个负数相乘，所以b为负数.
B
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11. 绝对值不大于4的所有整数的积是 .
【点拨】
绝对值不大于4的整数有0，1，2，3，4，－1，－2，－3，－4，所以它们的乘积为 0.
0
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纠易错 几个有理数相乘时因忽视符号法则而致错
12. 计算：
(1)0.1×(－0.001)×(－1)；
【解】原式＝－0.000 1×(－1)＝0.000 1.
(2)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.
【解】原式＝0.
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13. [2024·德州期末]如图，数轴上A，B两点所表示的数分
别为a，b，下列各式：①ab＞0；②a＋b＜0；③(a－
1)(b－1)＞0.其中正确式子的序号是( B )
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
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a＞0，b＜0，则ab＜0，故①不正确；0＜a＜1，
b＜－1，则a＋b＜0，故②正确；易知a－1＜0，b－1
＜0，所以(a－1)(b－1)＞0，故③正确.
综上，只有②③正确.
【点拨】
B
【答案】
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14. [新考法·分类讨论法 2024·济南章丘区期中]已知｜x｜＝
2，y是3的相反数，则xy的值为( C )
A. －1 B. －5
C. ±6 D. －5或1
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当x＝2，y＝－3时，xy＝－6；当x＝－2，y＝－3时，xy＝6.
所以xy＝±6.
【点拨】
因为｜x｜＝2，y是3的相反数，
所以x＝±2，y＝－3.
【答案】
C
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15. [2024·威海环翠区校级期中]在2，－4，－3，5中，任选
两个数，它们的积最小是( C )
A. －8 B. －15
C. －20 D. －6
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因为｜－20｜＝20，｜－15｜＝15，｜－8｜＝
8，｜－6｜＝6，
20＞15＞8＞6，
所以－20＜－15＜－8＜－6.
【点拨】
－4×5＝－20，－3×5＝－15，－4×2＝－8，－3×2＝－6.
【答案】
C
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16. 一名潜水员从水面向下潜水，每秒下潜2米，求5秒后他
所处的位置.
【解】－2×5＝－10(米).
答：5秒后他在水面下10米的位置.
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17. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是
2，求 －(a＋b－cd)x－5cd的值.
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【解】因为a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝
对值是2，
所以a＋b＝0，cd＝1，x＝2或x＝－2.
当x＝2时， －(a＋b－cd)x－5cd＝0－(0－1)×2
－5×1＝2－5＝－3；
当x＝－2时， －(a＋b－cd)x－5cd＝0－(0－1)
×(－2)－5×1＝－2－5＝－7.
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18. [新视角·新定义题 2024·青岛市南区月考]若定义一种新的
运算“*”，规定：对有理数a，b，a*b＝4ab，如2*3
＝4×2×3＝24.
(1)求3*(－4)的值；
【解】3*(－4)
＝4×3×(－4)
＝－48.
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(2)求(－2)*(6*3)的值.
【解】(－2)*(6*3)
＝(－2)*(4×6×3)
＝(－2)*72
＝4×(－2)×72
＝－576.
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19. [情境题·游戏活动型]如图是一个“冲出围城”的游戏，
规则如下：城中人(在最中间)想要冲出围城，可以横走
也可以竖走，但不可以斜走，每走一格就可以得到格中
相应的数作为生命值，每格中的数用乘法累计.当生命值
为正数且小于＋9，并且人所在的格子处于最外圈时，就
可以冲出围城，否则不可以出城.
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例如：(－2)×(＋2)×(＋2)×(－1)＝＋8＜＋9，所以－2→＋2→＋2→－1就是一条冲出围城的路线.
把你找到的冲出围城的路线用箭头在图中表示出来.(画
出一条路线即可)
【解】路线如图所示.(答案不唯一)
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19(共30张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
6 有理数的混合运算
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 有理数的混合运算
1. [2023·杭州](－2)2＋22＝( D )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
【点拨】
(－2)2＋22＝4＋4＝8.
D
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2. [2024·潍坊期末]下列运算正确的是( D )
A. － － ＝－ B. 5÷ × ＝5
C. －6－3×4＝－36 D. 16÷( － )＝192
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5÷ ×＝5× ×
＝ ，故选项B错误；
－6－3×4＝－6－12
＝－18，故选项C错误；
【点拨】
－ － ＝－ ，故选项A错误；
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16÷
＝16÷
＝16×12
＝192，故选项D正确.
D
【答案】
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3. [新考法·程序计算法 2024·聊城茌平区期中]按照图中所示
的操作步骤，若输入x的值为－3，则输出的有理数
是 .
【点拨】
由题意得(－3)2÷3＋5
＝9÷3＋5
＝3＋5
＝8.
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4. [母题教材P81习题2.18T2]阅读下面的解题过程并解
答问题：
计算：－22÷( －1 －3)×6.
解：原式＝－4÷( － )×6 (第一步)
＝－4÷(－25) (第二步)
＝－ . (第三步)
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(1)上面的解题过程中有两处错误：第一处是第
步，错误的原因是 ，第二处
是第 步，错误的原因是
；
(2)请将计算过程和结果进行更正.
【解】原式＝－4÷ ×6＝－4× ×6＝
.
二
没有按运算顺序计算
三
没有按运算法则正确
确定结果的符号
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5. 计算：
(1)[2024·青岛期末]－12 024＋ ×(－4)3；
【解】原式＝－1＋ ×(－64)
＝－1＋(－32)
＝－33.
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(2)(－1)×(－4)＋22÷(7－5).
【解】原式＝(－1)×(－4)＋4÷2
＝4＋2
＝6.
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练点2 “24点”游戏
6. [母题·教材P80尝试·交流2024·枣庄山亭区期末]有一种
“24点”的游戏，游戏规则是：任取四个1～13范围内的
自然数，将这四个数进行加、减、乘、除四则运算(每个
数必须用一次且只用一次，可以加括号)，使其结果等于
24或－24，例如对1，2，3，4可进行运算：(1＋2＋3)×4
＝24.现有四个有理数2，3，4，7，运用上述规则写出算
式，使其运算结果等于24，你的算式是
.
[(－2)＋(－4)]
×(3－7)(答案不唯一)
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【点拨】
[(－2)＋(－4)]×(3－7)
＝(－2－4)×(－4)
＝(－6)×(－4)
＝24.
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纠易错 当底数是负数或分数时因忽略括号导致错误
7. 计算：－23÷ ×( － )2.
【解】－23÷ × ＝－8× × ＝－8.
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8. [新视角·新定义题]定义新运算“ ”，规定：a b＝a2
－｜b｜，则(－2) (－1)的运算结果为( D )
A. －5 B. －3
C. 5 D. 3
【点拨】
由题意可得
(－2) (－1)
＝(－2)2－｜－1｜
＝4－1
＝3.
D
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9. 计算：
(1)－32＋1＋4× － ×(－0.5)2；
【解】原式＝－9＋1＋4× － × ＝－9＋1＋1－
＝－7 .
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(2)(－3)2－( 1 )2× －16÷ .
【解】原式＝9－ × －16÷ ＝9－1－16× ＝9－
1－54＝－46.
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10. [情境题·游戏活动型]小刚与小明在玩数字游戏，现有5张
写着不同数字的卡片(如图)，小刚请小明按要求抽出卡
片，完成下列问题.
(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，
如何抽取？最大值是多少？
【解】抽取写着5和4的卡片，最大值是5×4＝20.
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(2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最
小，如何抽取？最小值是多少？
【解】抽取写着－ 和5的卡片，最小值是
5÷(－｜－2｜)＝－2.5.
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(3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为
24，如何抽取？写出运算式子(一种即可).
【解】抽取写着0，－ ，4，－ 的卡片.
0－ ×4
＝0－(－2－4)×4
＝0－ ×4
＝0－(－24)
＝24.(答案不唯一)
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11. [新考向·知识情境化 2024·烟台栖霞市期中]昨天，小宇把
老师布置的作业题忘记了，只记得式子是b2－｜a｜＋
c，小亮告诉小宇，a是最大的负整数，b的相反数是
2，c的相反数和绝对值都是它本身.请你帮小宇解答下
列问题：
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【解】a是最大的负整数，则a＝－1，
b的相反数是2，则b＝－2，
c的相反数和绝对值都是它本身，则c＝0.
(1)写出a，b，c的值；
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(2)求b2－｜a｜＋c的值.
【解】因为a＝－1，b＝－2，c＝0，
所以b2－｜a｜＋c＝(－2)2－｜－1｜＋0＝4－1＋0
＝3.
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12. [新考法·阅读类比法]阅读材料，解决问题：
由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，
37＝2 187，38＝6 561，…，不难发现3的正整数幂的个
位数字按3，9，7，1循环出现.因为3100＝34×25，所以
3100的个位数字与34的个位数字相同，应为1；因为32 023
＝34×505＋3，所以32 023的个位数字与33的个位数字相同，
应为7.
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(1)请你仿照上述材料，分别求出799的个位数字及899的个
位数字；
【解】因为71＝7，72＝49，73＝343，74＝2 401，75＝
16 807，…，
所以7的正整数幂的个位数字按7，9，3，1循环出现.
因为799＝74×24＋3，所以799的个位数字与73的个位数字
相同，应为3.
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因为81＝8，82＝64，83＝512，84＝4 096，85＝32
768，…，
所以8的正整数幂的个位数字按8，4，2，6循环出现.
因为899＝84×24＋3，所以899的个位数字与83的个位数字
相同，应为2.
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(2)直接写出22 025＋72 025＋82 025的个位数字.
【解】个位数字为7.
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因为22 025＝24×506＋1，
所以22 025的个位数字与21的个位数字相同，是2.
【点拨】
因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝
32，…，
所以2的正整数幂的个位数字按2，4，8，6循环
出现.
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由(1)可知7的正整数幂的个位数字按7，9，3，1
循环出现.
因为72 025＝74×506＋1，
所以72 025的个位数字与71的个位数字相同，是7.
由(1)可知8的正整数幂的个位数字按8，4，2，6
循环出现.
因为82 025＝84×506＋1，
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所以82 025的个位数字与81的个位数字相同，是8.
因为2＋7＋8＝17，所以22 025＋72 025＋82 025的个
位数字是7.
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鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
5 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 乘方的意义
1. [母题·教材P74随堂练习T1 2024·枣庄山亭区期中]对于算
式(－3)4，正确的说法是( D )
A. 3是底数，4是指数
B. 3是底数，4是幂
C. －3是底数，4是幂
D. －3是底数，4是指数
D
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2. [2024·菏泽期中]－26表示的意义是( C )
A. 2个6相乘的相反数
B. 6个2相乘
C. 6个2相乘的相反数
D. 6个－2相乘
C
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3. 将式子23＋23＋23＋23用幂的形式表示正确的是( A )
A. 25 B. 29
C. 212 D. 216
【点拨】
23＋23＋23＋23＝23×4＝2×2×2×2×2＝25.
A
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练点2 乘方的运算
4. [2024·菏泽牡丹区期中]－32的相反数是( D )
A. 3 B. C. － D. 9
【点拨】
－32＝－9，－9的相反数是9.
D
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5. [2024·泰安新泰市期末]在有理数－3，｜－3｜，(－3)2
中，负数有( A )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 0个
【点拨】
因为｜－3｜＝3，(－3)2＝9，所以只有1个负数，为
－3.
A
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6. [新视角·新定义题 2024·烟台蓬莱区期中]规定两正数a，
b之间的一种运算，记作：(a，b)，如果ac＝b，那么
(a，b)＝c.例如：23＝8，则(2，8)＝3.那么( ， )等于
( B )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【点拨】
因为 ＝ ，所以 ＝4.
B
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7. [2024·淄博淄川区期末]计算－(－2)3的结果是 .
【点拨】
－(－2)3＝－(－8)＝8.
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8. 计算：
(1)－( － )2； (2)－54； (3)－ .
【解】(1)－ ＝－ .
(2)－54＝－625.
(3)－ ＝－ .
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纠易错 因不能区分－a2与(－a)2而致错
9. [2024·德州乐陵市期末]下列各组数中，运算结果相等的是
( A )
A. (－5)3与－53 B. 23与32
C. －22与(－2)2 D. ( )2与
【点拨】
A. (－5)3＝－125，－53＝－125，故相等；B. 23＝
8，32＝9，故不相等；C. －22＝－4，(－2)2＝4，故不相
等；D. ＝ ， ＝ ，故不相等.
A
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10. [2024·滨州滨城区期中]36是32的( D )
A. 2倍 B. 3倍
C. 27倍 D. 81倍
【点拨】
因为36＝729，32＝9，729÷9＝81，所以36是32
的81倍.
D
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11. [2024·日照东港区期中]计算(－1)n＋ (其中n是
正整数)的结果是( D )
A. － B. 1
C. －1 D. 0
【点拨】
原式＝(－1)n×1＋(－1)n×(－1)
＝(－1)n×[1＋(－1)]
＝(－1)n×0＝0.
D
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12. (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小：(填
“＞”“＝”或“＜”)
①12 21；②23 32；
③34 43；④45 54；
⑤56 65.
＜
＜
＞
＞
＞
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(2)对第(1)题的结果进行归纳，可以猜想nn＋1和(n＋
1)n(n为正整数)的大小关系是：
.
(3)根据上面的归纳猜想得到的一般结论，比较99100和
10099的大小.
【解】(3)99100＞10099.
当n＜3时，nn＋1＜
(n＋1)n；当n≥3时，nn＋1＞(n＋1)n
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①(2×3)2＝ ，22×32＝ ；
②( － ×2)3＝ ，( － )3×23＝ .
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－1
13. [新考法·阅读类比法]回答下列问题.
(1)填空：
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①(2×3)2＝62＝36；22×32＝4×9＝36.
② ＝(－1)3＝－1；
【点拨】
×23＝－ ×8＝－1.
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(2)比一比：(1)题每组中的两个算式的结果是否相等？猜
一猜：当n为正整数时，(ab)n＝ .
【解】相等.
anbn
(3)试一试：计算( 1 )2 024×( － )2 024的值.
【解】 × ＝ ＝
(－1)2 024＝1.
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14. [新视角·项目探究题 2024·济宁任城区期末]【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫
作除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等.类
比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈
3次方”，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)记作(－3)④，读作
“负3的圈4次方”.一般地，把
(a≠0)记作 ，读作“a的圈n次方”.
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【初步探究】
(1)直接写出计算结果：2③＝ ；( － )④＝ .
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(2)关于除方，下列说法错误的是 .
A. 任何非零数的圈2次方都等于1
B. 对于任何正整数n， ＝1
C. 3④＝4③
D. 负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的
结果是正数
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任何非零数的圈2次方都等于1，故A是正确的；对于
任何正整数n， ＝1，故B是正确的；3④＝3÷3÷3÷3
＝ ，4③＝4÷4÷4＝ ， ≠ ，故C是错误的；负数的
圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正
数，故D是正确的.
【点拨】
【答案】
C
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【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法
运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运
算如何转化为乘方运算呢？
例：2④＝2÷2÷2÷2＝2× × × ＝( )2.
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(3)试一试：仿照上面的算式，将(－3)④的运算结果写成幂的
形式(要有中间过程).
【解】(－3)④＝(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)
＝(－3)× × ×
＝ .
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(4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式
为 .
【点拨】
＝
＝a· ·
＝ .
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(5)算一算：24÷23＋(－8)×2⑤.
【解】24÷23＋(－8)×2⑤＝24÷8＋(－8)× ＝3－1＝2.
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15. [新考法·阅读类比法 2024·济南历城区校级月考]为了求1
＋2＋22＋23＋24＋…＋22 024的值，可令S＝1＋2＋22＋23
＋24＋…＋22 024，则2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 025，因此2S－S＝(2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 025)－(1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 024)＝22 025－1.
所以S＝22 025－1，即1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 024＝22 025－1.
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请依照此法，求1＋4＋42＋43＋44＋…＋42 024的值.
【解】 设T＝1＋4＋42＋43＋44＋…＋42 024，
则4T＝4＋42＋43＋44＋45＋…＋42 025，
因此4T－T＝42 025－1，
所以T＝ ，
即1＋4＋42＋43＋44＋…＋42 024＝ .
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鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
4 有理数的乘除运算
专题三 有理数四则运算的四种思路
对于有理数的混合运算，根据题目特征理清解题思路是
正确解题的关键.有理数混合运算中常见的解题思路有：先
弄清运算顺序，再计算；先转化，再计算；先确定符号，再
计算；巧用运算律.
名师点金
思路1 先弄清运算顺序，再计算
1. [2024·济南市中区校级月考]计算：－ ×( －2 )÷1 .
【解】原式＝－ × × ＝ .
2. [2024·德州乐陵市期末]计算：6÷( － ).
【解】原式＝6÷ ＝6×(－6)＝－36.
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思路2 先转化，再计算
3. 计算：｜－4｜×(－3)－［3.45＋( 1 －2)÷ ］.
【解】原式＝－12－
＝－12－(3.45－6)
＝－12＋2.55
＝－9.45.
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思路3 先确定符号，再计算
4. [2024·北京东城区期中]计算：(－0.75)÷3×( － ).
【解】(－0.75)÷3×
＝ × ×
＝ .
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5. 计算：(－81)÷2 ×( － )÷(－16).
【解】(－81)÷2 × ÷(－16)
＝－81× × ×
＝－1.
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思路4 巧用运算律
6. 计算： ×( － )×( －2 )×( －4 ).
【解】原式＝－ × × ×
＝－ ×
＝－ ×1
＝－ .
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7. [2024·济南莱芜区期末]计算：( － － )×(－12).
【解】 ×(－12)
＝－12× ＋12× ＋12×
＝－6＋4＋1
＝－1.
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8. [2024·淄博张店区期末]计算：－11× －0.35× ＋
×(－11)－ ×0.35.
【解】－11× －0.35× ＋ ×(－11)－ ×0.35
＝－11× －11× －0.35× －0.35×
＝－11× －0.35×
＝－11×1－0.35×1
＝－11－0.35
＝－11.35.
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8(共22张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
5 有理数的乘方
第2课时 乘方的应用
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 乘方的符号法则
1. 任何一个有理数的偶次幂必是( D )
A. 负数 B. 正数
C. 非正数 D. 非负数
2. 如果m3＝n3，那么( A )
A. m＝n B. m＝±n
C. m＝－n D. 不能确定
D
A
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3. [母题·教材P75例3 2024·荣德原创]下列算式或结论正
确的 .(填序号)
①(－5)123的结果为负；
②(－5)250的结果为负；
③105＝100 000；
④若10x＝100 000 000，则x＝8.
①③④
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【点拨】
因为负数的奇数次方为负，负数的偶数次方为正，所
以①正确，②错误.105＝100 000，③正确.因为108＝100
000 000＝10x，所以x＝8，④正确.
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练点2 实际生活中的乘方
4. [新考向·数学文化]13世纪数学家斐波那契的《计算之书》
中有这样一个问题：在罗马有7位老妇人，每人赶着7头毛
驴，每头毛驴驮着7只口袋，每只口袋里装着7个面包，每
个面包附有7把餐刀，每把餐刀有7只刀鞘.则刀鞘数为
( C )
A. 42 B. 49
C. 76 D. 77
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【点拨】
刀鞘数为7×7×7×7×7×7＝76.
C
【答案】
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5. [2024·烟台海阳市期末 母题·教材P76习题T2]一根1 m长的铜丝，第一次剪去铜丝的 ，第二次剪去剩下铜丝的 ，如此剪下去，第2 024次剪完后剩下铜丝的长度是( C )
A. ( )2 024m B. ( )2 023m
C. ( )2 024m D. ( )2 023m
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第一次剪去铜丝的 ，剩下 m，第二次剪去剩下铜
丝的 ，剩下 ＝ m，….则第2 024次剪完
后剩下铜丝的长度是 m.
【点拨】
【答案】
C
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6. [2024·烟台蓬莱区期中]如图，将一根细长的绳子，沿中间
对折，再沿对折后的绳子中间对折1次，这样连续对折6
次，最后用剪刀沿对折6次后的绳子的中间将绳子剪断，
此时绳子将被剪成 段.
65
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【点拨】
根据题意分析可得：连续对折6次后，共有26段，即
64段，用剪刀沿对折6次后的绳子的中间将绳子剪断，此
时绳子将被剪成64＋1＝65(段).
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纠易错 因混淆(－a)n 与－an而致错
7. 已知x是有理数，下列各式成立的是( C )
A. (－x)2＝－x2 B. (－x)3＝x3
C. (－x)3＝－x3 D. x4＝－x4
C
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8. [新考向·数学文化 2023·烟台莱州市期末]《棋盘上的麦
粒》故事中，国王往棋盘的第1格中放1粒麦子，第2格中
放2粒麦子，在第3格上加倍至4粒，…，依此类推，每一
格均是前一格的双倍，那么他在第20格中所放的麦粒数
是 .
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9. [新趋势·跨学科]我们常用的数是十进制数，如4 657＝
4×103＋6×102＋5×101＋7×1，表示十进制的数要用到
10个数码(又叫数字)：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9.
在电子计算机中用的二进制，只用到两个数码：0和1，如
二进制中110＝1×22＋1×21＋0×1等于十进制的数6，
110101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1×1等于
十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的
哪个数.
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【解】101011＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋
1×1＝32＋0＋8＋0＋2＋1＝43.
答：二进制中的数101011等于十进制中的数43.
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10. 有一种细菌每20分钟分裂一次，每次都是由一个分裂成
两个，回答以下问题：
(1)一个细菌分裂1小时变成 个细菌.
(2)一个细菌分裂2小时变成 个细菌.
(3)一个细菌分裂1天变成多少个细菌？
【解】一个细菌分裂1天变成224×3＝272 (个)细菌.
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11. [情境题·低碳环保 2023·青岛城阳区月考]水葫芦是一种浮
水草本植物，有着惊人的繁殖能力，据研究表明：适量
的水葫芦生长对水质净化是有利的，关键是科学管理和
转化利用.若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖
1株.(不考虑死亡、被打捞等其他因素)
(1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表：
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天数 5 10 15 … 50 … 5n
总株数 2 4 8 … 210 … 2n
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(2)假定某个流域的水葫芦维持在700株以内对水质净化
有益，若现有10株水葫芦，按照上述生长速度，一个
月(按30天算)后该流域的水葫芦数量对水质净化是否
有益？
【解】由题意得一个月后该流域的水葫芦数量为
10×26＝640(株)，640＜700，所以一个月后该流域的
水葫芦数量对水质净化有益.
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12. 如图，将一张边长为1的正方形纸片分割，部分①的面积
是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部
分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，
以此类推.
(1)图中阴影部分的面积为 .
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由题意得部分①的面积为 ，部分②的面积为
＝ ，部分③的面积为 ＝ .
所以阴影部分的面积为1－ － － ＝ .
【点拨】
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(2)受此启发，你能求出 ＋ ＋ ＋…＋ 的值吗？
【解】 ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ ＝1－ ＝ .
(3) ＋ ＋ ＋…＋ (n为正整数)的值为多少？(用含n
的式子表示)
【解】 ＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ .
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12(共20张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
6 有理数的混合运算
专题五 有理数运算的八种技巧
进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，找到运算
技巧，不但能简化计算步骤，而且能节约计算时间，提高准
确率，下面介绍几种有理数运算的常用技巧.
名师点金
技巧1 归类法
1. [2024·定西月考]计算：
(1)11＋(－18)＋12＋(－19)；
【解】原式＝(11＋12)＋[(－18)＋(－19)]
＝23＋(－37)
＝－14.
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(2)( －4 )＋( －5 )＋( －4 )＋3 .
【解】原式＝ ＋［ ＋ ］
＝－1 －10
＝－11 .
【点拨】
先将几个加数归类(如正数和负数)，再用有理数加
法法则进行计算.
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技巧2 凑整法
2. 计算：( － )＋( － )＋ ＋( － ).
【解】 ＋ ＋ ＋
＝ ＋
＝1－1
＝0.
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技巧3 对消法
3. 计算：350＋(－26)＋700＋26＋(－1 050).
【解】原式＝[350＋700＋(－1 050)]＋[(－26)＋26]
＝[1 050＋(－1 050)]＋[(－26)＋26]
＝0＋0
＝0.
【点拨】
如果加数中有几个数的和为0，可以先将这几个数相
加再计算.
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技巧4 组合法
4. 计算：5 ＋( －5 )＋4 ＋( － ).
【解】原式＝ ＋［ ＋ ］
＝10＋(－6)
＝4.
【点拨】
几个分数相加减，一般先将同分母的分数或易于通分
的分数分组结合，再进行计算.
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5. [2024·菏泽期中]对于( －5 )＋( －9 )＋17 ＋( －3 )可
以进行如下计算：
原式＝ ＋ ＋( 17＋ )＋
＝[(－5)＋(－9)＋17＋(－3)]＋
技巧5 分解法
类型1将一个带分数分解成一个整数和一个真分数的和
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＝0＋( －1 )＝－1 .
上面这种方法叫分解法.仿照上面的方法，计算下面的
式子.
( －2 025 )＋( －2 024 )＋4 049 ＋( －1 ).
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【解】 原式＝［(－2 025)＋ ］＋［(－2 024)＋
］＋ ＋［(－1)＋ ］＝[(－2 025)＋
(－2 024)＋4 049＋(－1)]＋［ ＋ ＋ ＋
］＝(－1)＋ ＝－ .
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类型2将一个分数分解成两个分数的差
6. 计算： ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ .
【解】原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＝1－ ＝ .
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类型3将一个较大的数分解成两个数的积
7. 计算：2 025×202 420 242 024－2 024×202 520 252 025.
【解】原式＝2 025×2 024×100 010 001－2 024×
2 025×100 010 001＝0.
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技巧6 巧用运算律
8. 计算：4 －( 2 ＋ ).
【解】原式＝4 －2 －
＝ －2
＝4－2
＝ .
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9. [2024·淄博淄川区期末]计算：(－3)2×［( － )＋( － )］.
【解】原式＝9×
＝9× ＋9×
＝－6－5
＝－11.
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技巧7 逆用法
10. 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应
的计算.
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逆用乘法对加法的分配律解题
我们知道，乘法对加法的分配律是a(b＋c)＝ab＋ac，反
过来ab＋ac＝a(b＋c).这就是说，当ab＋ac中有相同的
a时，我们可以逆用乘法对加法的分配律得到ab＋ac＝
a(b＋c)，进而可使运算简便.例如：计算－ ×23－
×17，若按先乘后减进行计算显然很繁琐，注意到两项都
有－ ，因此逆用乘法对加法的分配律可得－ ×23－
×17＝－ ×(23＋17)＝－ ×40＝－25，这样计算就简便
得多.
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计算：
(1)－29×588＋28×588；
【解】－29×588＋28×588＝588×(－29＋28)＝588×(－1)＝－588.
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(2)－2 024× ＋2 024×( － )＋2 024× .
【解】－2 024× ＋2 024× ＋2 024×
＝2 024×
＝2 024×(－1)＝－2 024.
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技巧8 倒序相加法
11. 计算： ＋( ＋ )＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ ＋ )＋…＋
( ＋ ＋…＋ ＋ ).
【解】将原式记为①式，把①式括号内的数倒序后，得
＋ ＋ ＋( ＋ ＋ ＋ )＋…＋(
＋ ＋…＋ ＋ )，②
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①＋②，得1＋2＋3＋4＋…＋59＝1 770，
又因为①式或②式相等，
所以 ＋ ＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ ＋ )＋…＋
( ＋ ＋…＋ ＋ )＝ ×1 770＝885.
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鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
2 认识有理数
第2课时 数轴
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 数轴的定义
1. 下列关于数轴的说法中，最准确的是( D )
A. 一条直线
B. 有原点、正方向的一条直线
C. 有单位长度的一条直线
D. 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线
D
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2. [2024·济南槐荫区月考]如图为A，B，C，D四位同学画的
数轴，其中正确的是( D )
A B
C D
【点拨】
A. －2与－1位置颠倒，故A错误；B. 没有原点，故
B错误；C. 没有正方向，故C错误；D. 数轴画法正确.
D
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练点2 数轴上的点与有理数的对应关系
3. [2024·德州期中]如图，数轴上的点A所表示的数为
( A )
A. －2 B. 2
C. ±2 D. 以上均不对
【点拨】
根据点A在数轴上的位置即可判断.
A
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4. [2024·济南历城区月考]如图，在数轴上，手掌遮挡住的点
表示的数可能是( B )
A. 0.5 B. －0.5
C. －1.5 D. －2.5
【点拨】
手掌遮挡住的点表示的数介于－1和0之间，则表示的
数可能是－0.5.
B
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5. 如图，数轴上点A表示的数是2 024，点B在原点O的左
侧，点B到点O的距离与点A到点O的距离相等，则点B
表示的数是( B )
A. 2 024 B. －2 024
C. D. －
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【点拨】
因为点B到原点O的距离与点A到原点O的距离相
等，点A表示的数是2 024，且点B在原点O的左侧，所
以点B表示的数为－2 024.
B
【答案】
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练点3 用数轴比较有理数的大小
6. 有理数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所
示，则正确的结论是( A )
A. n＜q B. n＜－2
C. p＞0 D. m＞－3
【点拨】
由题图可知m＜－3＜－2＜n＜p＜0＜q，故A正
确，B，C，D错误.
A
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7. [母题教材P38随堂练习T2]画出数轴，用数轴上的点表示
下列各数，并用“＜”将它们连接起来：
3，－2，1.5，－ ，0，－0.5.
【解】如图所示.
－2＜－ ＜－0.5＜0＜1.5＜3.
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纠易错 只考虑一种情况导致漏解
8. [新考法·分类讨论法 2024·济南市中区月考]数轴上到原点
的距离是3个单位长度的点表示的数是( C )
A. 3 B. －3
C. 3或－3 D. 不能确定
【点拨】
若点在原点左边，则点表示－3，若点在原点右边，
则点表示3，所以点表示的数是－3或3.
C
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9. 下列语句：
①数轴上的点只能表示整数；
②数轴是一条线段；
③数轴上的一个点只能表示一个数；
④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；
⑤数轴上的点所表示的数都是有理数.
其中正确的有( A )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
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【点拨】
结合数轴的定义及数轴上的点与有理数的关系来分析
判断，易知①②是错误的，③是正确的.既不是正数，又
不是负数的数是0，0在数轴上用原点表示，所以④是错误
的.所有的有理数都可以在数轴上找到相对应的点，但并
非数轴上的点所表示的数都是有理数，所以⑤是错误的.
A
【答案】
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10. [新考法·数形结合法 2024·淄博张店区期末]如图，在数轴
上有A，B，C三点，点A，B表示的数分别为－5，3.
若点C到点A的距离等于其到点B的距离，则点C表示
的数为( B )
A. －2 B. －1
C. 0 D. 1
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因为点A，B表示的数分别为－5，3，所以点A到
点B的距离等于8.因为点C到点A的距离等于其到点B
的距离，所以点C到点B的距离等于4，所以点C表示的
数为－1.
【点拨】
【答案 】
B
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11. [2024·泰安肥城市期中]如图所示的数轴被墨迹盖住一部
分，被盖住的整数点有( C )
A. 7个 B. 8个
C. 9个 D. 10个
【点拨】
－6.3到－1之间的整数有－6，－5，－4，－3，－
2，共5个，0到4.1之间的整数有1，2，3，4，共4个，所
以被墨迹盖住的整数点有5＋4＝9(个).
C
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12. [新考向·知识情境化 2024·济南市中区期末]如图①，点
A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，表示的数
分别为－5，b，4，某同学将刻度尺如图②放置，使刻
度尺上的刻度0 cm对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻
度1.8 cm，点C对齐刻度5.4 cm.
则数轴上点B所表示的数b为( C )
A. 3 B. －1
C. －2 D. －3
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【点拨】
因为5.4÷(4＋5)＝0.6(cm)，所以数轴上1个单位长
度对应的实际长度为0.6 cm.因为1.8÷0.6＝3，所以点
B在点A右边，距点A 3个单位长度，所以点B所表示的
数b为－2.
C
【答案】
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13. [母题·教材P39习题T5 2024·济南市中区月考]已知P是数
轴上的一个点.把P点向左移动3个单位长度后，这时它
到原点的距离是4个单位长度，则P点表示的数是
.
7或
－1
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因为P点向左移动3个单位长度后到原点的距离是4
个单位长度，所以P点移动后表示4或－4.若P点移动后
表示4，则P点移动前表示的数为4＋3＝7；若P点移动
后表示－4，则P点移动前表示的数为－4＋3＝－1.
【点拨】
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14. [2023·临沂河东区育杰学校月考]观察数轴(如图)，按要
求回答下列问题：
(1)在数轴上，点A所表示的数是 ，点 B 所表示
的数是 ；
－
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(2)点C所表示的数是 2，点D所表示的数是－1.5，在数
轴上画出点C和点D；
【解】如图.
(3)将点A，B，C，D表示的数用“＜”连接起来.
【解】－1.5＜－ ＜2＜3 .
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15. 如图，已知在纸面上有一个数轴.
(1)折叠纸面，使表示1的点与表示－1的点重合，则表示
－2的点与表示 的点重合；
(2)折叠纸面，使表示－1的点与表示3的点重合，回答以
下问题：
①表示5的点与表示 的点重合；
2
－3
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②若数轴上A，B两点之间的距离为9(A在B的左
侧)，且折叠后A，B两点重合，求A，B两点表示
的数.
【解】②由题易知表示1的点到A，B两点的距离相
等.又因为A，B两点之间的距离为9，A在B的左
侧，所以点A表示的数是－3.5，点B表示的数是5.5.
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16. [新视角·规律探究题]在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，
第一次向右爬行了1个单位长度，第二次接着向左爬行了
2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第
四次接着向左爬行了4个单位长度，….如此进行了2 025
次，蚂蚁在数轴上的位置所对应的数是 .
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一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单
位长度到达1，第二次接着向左爬行了2个单位长度到达
－1，第三次接着向右爬行了3个单位长度到达2，第四次
接着向左爬行了4个单位长度到达－2，…，所以蚂蚁在
爬行的过程中，爬行的终点位置与数轴上的数的对应关
系有如下规律：奇数次爬行后，对应的数是1，2，
3，…，偶数次爬行后，对应的数是－1，－2，－3，….
因为2 025是奇数，(2 025＋1)÷2＝1 013，所以蚂蚁在数
轴上的位置所对应的数是1 013.
【点拨】
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16(共25张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
3 有理数的加减运算
第2课时 加法运算律
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 加法的运算律
1. [2024·吕梁期中]下列变形中正确使用加法交换律的是
( C )
A. (－5)＋(－8)＝－(5＋8)
B. (－7)＋11＝7＋(－11)
C. (－3)＋(－4)＝(－4)＋(－3)
D. 4＋6＝(－4)＋(－6)
C
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2. 下列计算用的加法运算律是( C )
－ ＋3.2＋( － )＋7.8＝－ ＋( － )＋3.2＋7.8＝－(
＋ )＋(3.2＋7.8).
A. 加法交换律
B. 加法结合律
C. 先用加法交换律，再用加法结合律
D. 先用加法结合律，再用加法交换律
C
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练点2 加法运算律的应用
3. [2024·德州德城区月考]计算3 ＋( －3 )＋6 ＋( －4 )时
运算律运用得最合理的是( D )
A. ＋
B. ＋
C. －
D. ＋
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【点拨】
利用加法交换律、结合律把同分母的先相加，D
符合.
D
【答案】
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4. [2024·邢台月考]用适当方法计算：
(1)(－51)＋(＋12)＋(－7)＋(－11)＋(＋36)；
【解】(－51)＋(＋12)＋(－7)＋(－11)＋(＋36)
＝[(－51)＋(－7)＋(－11)]＋[(＋12)＋(＋36)]
＝－69＋48＝－21.
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(2)( －4 )＋7.75＋( －1 )＋( －2 )；
【解】 ＋7.75＋ ＋
＝ ＋
＝－6＋5＝－1.
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(3)1.3＋0.5＋(－0.5)＋0.3＋(－0.7)＋3.2＋(－0.3)＋
0.7.
【解】1.3＋0.5＋(－0.5)＋0.3＋(－0.7)＋3.2＋
(－0.3)＋0.7
＝(1.3＋3.2)＋[0.5＋(－0.5)]＋[0.3＋(－0.3)]＋
[(－0.7)＋0.7]＝4.5＋0＝4.5.
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纠易错 化带分数为整数与分数的和时易出现符号错误
5. [新视角·类比探究题 2024·郑州金水区期中]阅读下面
文字：
对于( －3 )＋( －1 )＋2 ＋2 可以如下计算：
原式＝ ＋ ＋( 2＋ )＋( 2＋ )
＝[(－3)＋(－1)＋2＋2]＋
［－ ＋ ＋ ＋ ］
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＝0＋
＝ .
上面这种方法叫拆项法.
(1)请补全以上计算过程；
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(2)类比上面的方法计算：( －2 024 )＋2 023 ＋
( －2 022 )＋2 021 .
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【解】 ＋2 023 ＋ ＋2 021
＝ ＋ ＋［－2 022＋
］＋
＝[－2 024＋2 023＋(－2 022)＋2 021]＋
＝－2＋ ＝－2 .
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6. [2024·深圳福田区期中] ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
再加上( C )后，结果就是1.
A. B.
C. D.
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＝1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋ －
＋ － ＋ －
＝1－
＝ ，1－ ＝ .
【点拨】
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
【答案】
C
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7. [2024·临沂兰山区月考]绝对值小于4的所有整数的和
是 .
【点拨】
绝对值小于4的所有整数是－3，－2，－1，0，1，
2，3，其和为－3＋3＋(－2)＋2＋(－1)＋1＋0＝0.
0
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8. 计算(－1)＋2＋(－3)＋4＋…＋(－2 025)＋2 026＝
.
【点拨】
(－1)＋2＋(－3)＋4＋…＋(－2 025)＋2 026
＝
＝1×1 013
＝1 013.
1 013
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9. [母题·教材P50习题T4 2024·杭州西湖区期中]今年高考期
间，某出租车驾驶员参加爱心送考活动，他从位于北京路
的家出发，在南北方向的北京路上连续免费接送5位高考
考生，行驶路程记录如下(规定向南为正，向北为负)：
第1位 第2位 第3位 第4位 第5位
5 km 2 km －4 km －3 km 10 km
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(1)接送完第5位考生后，该驾驶员在家的什么方向，距离
家多少千米？
【解】5＋2＋(－4)＋(－3)＋10＝10(km).
答：接送完第5位考生后，该驾驶员在家的南边，距离
家10 km.
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(2)若该出租车每千米耗油0.07升，那么在这个过程中共
耗油多少升？
【解】(5＋2＋｜－4｜＋｜－3｜＋10)×0.07＝
24×0.07＝1.68(升).
答：在这个过程中共耗油1.68升.
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(3)若该出租车的计价标准为行驶路程不超过3 km收费10
元，超过3 km的部分按每千米加1.8元收费，在这个过
程中该驾驶员为这5位考生共节省了多少元车费？
【解】[10＋(5－3)×1.8]＋10＋[10＋(4－3)×1.8]＋10
＋[10＋(10－3)×1.8]＝68(元).
答：在这个过程中该驾驶员为这5位考生共节省了68元
车费.
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10. [新视角·新定义题]对非零数定义一种新的运算，叫
※(宏)运算.下面是一些按照※(宏)运算的运算法则进行
运算的算式：(＋5)※(＋2)＝＋7，(－3)※(－5)＝＋8，
(－3)※(＋4)＝－1，(＋5)※(－8)＝－3.
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(1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又
要考虑绝对值.请你类比有理数加法的运算法则，归
纳※(宏)运算的运算法则：同号两数进行※(宏)运算
时， ，异号两
数进行※(宏)运算时，
；
结果为正，并把它们的绝对值相加
结果为负，并用较大的绝对
值减去较小的绝对值
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(2)计算：(－3)※[(＋1)※(－4)]＝ ；
【点拨】
(－3)※[(＋1)※(－4)]＝(－3)※(－3)＝6.
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(3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和
结合律在※(宏)运算中是否适用，如果适用只需作出
判断，如果不适用，举反例说明.(举一个例子即可)
【解】加法交换律在※(宏)运算中适用，
加法结合律在※(宏)运算中不适用，
反例：(＋4)※(－1)※(＋2)＝(－3)※(＋2)＝－1，(＋
4)※[(－1)※(＋2)]＝(＋4)※(－1)＝－3，
因为－1≠－3，
所以加法结合律不适用.(举例不唯一)
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10(共12张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
2 认识有理数
微专题2 有理数与数轴上的点
例 [母题教材P39习题T5]点A在数轴上距原点3个单位长
度，且位于原点左侧.一个点从点A处出发，向右移动4个
单位长度，再向左移动1个单位长度到达点B，点B表示
的是什么数？
【解】因为点A在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原
点左侧，所以点A表示的数为－3.一个点从点A出发，向右
移动4个单位长度表示的数为1，再向左移动1个单位长度表
示的数为0，即点B表示的数为0.
方法点拨：若m表示正数，则在数轴上距离原点m个单位长
度的点表示的数为±m.在数轴上由一个点移动到另一个点
表示的数可结合数轴，根据移动距离得出.做此类题时要注
意移动方向.
变式一 根据已知点位置来确定其他点表示的数
1. [2024·济南历下区月考]如图，数轴上的两个点分别表示
数a和－2，则a可以是( A )
A. －5 B. －1
C. 1 D. 2
【点拨】
根据数轴得a＜－2，所以a可以是－5.
A
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变式二 没有明确移动方向，需要分类讨论
2. [2024·泰安泰山区期中]把数轴上表示数3的点在数轴上移
动5个单位长度后，表示的数为( C )
A. 8 B. 2
C. 8或－2 D. 8或2
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因为把数轴上表示数3的点向右移动5个单位长度后，
表示的数是8；向左移动5个单位长度后，表示的数是－
2，所以把数轴上表示数3的点移动5个单位长度后，表示
的数为8或－2.
【点拨】
【答案】
C
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变式三 根据两个已知点的位置确定第三点表示的数
3. [2024·泰安期中]如图，数轴上A，B两点所表示的数分别
是－4和2，点C是到A，B两点距离相等的点，则点C所
表示的数是( C )
A. －2 B. －
C. －1 D. －
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因为数轴上A，B两点所表示的数分别是－4和2，所
以A，B两点之间的距离是6.因为点C是到A，B两点距
离相等的点，所以点C到点A的距离是3，所以点C表示
的数为－1.
【点拨】
【答案】
C
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4. [新视角·新定义题 2024·日照东港区期末]对于数轴上的
A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两
个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两
个点的“联盟点”.例如：如图，数轴上点A，B，C所
表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟
点”.
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(1)若点A表示数－2，点B表示的数是4，3，2，0所对应
的点分别为C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟
点”的是 ；
C2，C3
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(2)点A表示数－10，点B表示的数是30，点P为数轴上一
个动点.若点P在线段AB上，且点P是点A，B的
“联盟点”，求此时点P表示的数.
【解】因为点A表示数－10，点B表示的数是30，
所以A，B之间的距离为40.当点P在A，B之间，且P，A之间的距离为P，B之间距离的2倍时，P，A之间的距离＝ ×A，B之间的距离＝40× ＝ ，所以此时点P表示的数为 －10＝ ；
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当点P在A，B之间，且P，A之间的距离的2倍等于
P，B之间的距离时，P，A之间的距离＝ ×A，B之间的距离＝40× ＝ ，所以此时点P表示的数为 －10＝ .综上所述，点P表示的数为 或 .
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4(共22张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
3 有理数的加减运算
第4课时 有理数的加减混合运算
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 有理数的加减混合运算
1. (－3)－(－4)＋7的计算结果是( B )
A. 0 B. 8
C. －14 D. －8
【点拨】
(－3)－(－4)＋7＝－3＋4＋7＝8.
B
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2. 已知★－5＋17＝8，则★表示的有理数是( D )
A. 20 B. －20
C. 4 D. －4
【点拨】
因为★－5＋17＝8，
所以★＝8－17＋5＝8＋(－17)＋5＝－4.
D
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3. [2024·潍坊安丘市校级月考]从－2中减去－ 与－ 的
和，所得的差是( A )
A. －1 B. －
C. －2 D.
【点拨】
－2－
＝－2－
＝－1 .
A
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4. [2024·日照东港区月考]下面算式的值与5 － ＋2 的值
相等的是( C )
A. 3 －( －2 )＋( －4 )
B. －( －3 )＋3
C. 2 ＋( －2 )＋7
D. 4 －( － )＋3
C
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5. [母题教材P57习题T1]计算：
(1)(－6)－(＋6)－(－7)；
【解】(－6)－(＋6)－(－7)
＝－12＋7＝－5.
(2)0－(＋8)＋(－27)－(＋5)；
【解】0－(＋8)＋(－27)－(＋5)
＝－8－27－5＝－40.
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(3)( － )＋0.25＋( － )－( ＋ ).
【解】 ＋0.25＋ －
＝ ＋ ＋ －
＝－ .
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练点2 有理数加减法的应用
6. [新考向·知识情境化 2024·德州乐陵市期末]某地一天中午
12时的气温是4 ℃，14时的气温升高了2 ℃，到晚上22时
气温又降低了7 ℃，则22时的气温为( C )
A. 6 ℃ B. －3 ℃
C. －1 ℃ D. 13 ℃
【点拨】
根据题意得4＋2－7＝－1(℃)，所以22时的气
温为－1 ℃.
C
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7. 一只小虫在数轴上的点A处，它先向右爬行3个单位长
度，再向左爬行7个单位长度，正好停在－3对应的点处，
则点A表示的数是( A )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【点拨】
由题意得点A表示的数是－3＋7－3＝1.
A
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纠易错 运算符号和性质符号混淆致错
8. 已知a＝－4，b＝－5，c＝－7，则式子a－b－c的值
为 .
【点拨】
因为a＝－4，b＝－5，c＝－7，所以a－b－c＝
(－4)－(－5)－(－7)＝－4＋5＋7＝8.
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9. [情境题·生活应用]如图是王叔叔10月11日至15日的零钱明
细，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月15
日18：59扫码付款给超市后零钱的余额为( B )
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9. [情境题·生活应用]如图是王叔叔10月11日至15日的零钱明
细，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月15
日18：59扫码付款给超市后零钱的余额为( B )
A. 54.70元 B. 121.88元
C. 122.88元 D. 141.88元
【点拨】
87.18－50＋100－15.3＝121.88(元)，即余额为121.88元.
B
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10. 有六个数：5，0，3 ，－0.3，－ ，－π，其中分数有
a个，非负整数有b个，有理数有c个，则b ＋(a－c)
＝ .
【点拨】
因为5，0，3 ，－0.3，－ ，－π六个数中，分数
有a个，非负整数有b个，有理数有c个，所以a＝3，b
＝2，c＝5，所以b ＋(a－c)＝2＋(3－5)＝2＋(－2)＝0.
0
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11. 根据图中程序计算，若输入的数是－6，则输出的结果
是 .
【点拨】
当输入的数是－6时，由题图中程序得(－6)－2＋(－3)－(－10)＝－6－2－3＋10＝－1，(－1)－2＋(－3)－(－10)＝－1－2－3＋10＝4＞－1，故输出的结果是4.
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12. [新视角·新定义题 2024·菏泽牡丹区校级月考]我们规定
“※”是一种数学运算符号，A※B＝(A＋B)－(A－
B)，那么3※(－5)＝ .
【点拨】
因为A※B＝(A＋B)－(A－B)，
所以3※(－5)
＝ －
＝(－2)－8
＝－10.
－10
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13. [情境题·生活应用 2024·枣庄台儿庄区月考]公交车上原有
45人，经过四个站点时上下车情况如下(单位：人，上车
为正，下车为负)：(＋13，－16)，(＋14，－12)，(＋12，－17)，(＋13，－15)，则现在车上有 人.
【点拨】
由题意可得，45＋13－16＋14－12＋12－17＋13－
15＝37(人).
37
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14. 列式计算：
(1)3减去－ 与－ 的和，所得的差是多少？
【解】3－ ＝3－［ ＋ ］
＝3－ ＝3＋ ＝ .
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15
(2)－2，－3，＋7三个数的和比它们的绝对值的和小
多少？
【解】｜－2｜＋｜－3｜＋｜＋7｜－[(－2)＋(－3)＋
(＋7)]＝2＋3＋7－2＝10.
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15. [情境题·游戏活动型]有一种游戏，它的规则如下：从若
干张“ ”形和“ ”形卡片中分别抽取2张，若抽
到“ ”形卡片就加上卡片上的数；若抽到“ ”形
卡片就减去卡片上的数.4张卡片上的数经过运算后结果
大的获胜.
已知小明和小丽的起始数均为0，抽到的卡片如下：
1
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3
4
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小明：
小丽：
试判断谁会胜出.
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【解】小明的结果：0＋ － ＋(－5)－4＝ ＋ －5
－4＝2－5－4＝－7.
小丽的结果：0＋(－2)－ －5＋ ＝－2＋ －5
－ ＝－6 .
因为－7＜－6 ，所以小丽会胜出.
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15(共13张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
8 用计算器进行计算
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 计算器的使用方法
1. 用完计算器后，应该按( D )
A. 2ndF键 B. ＝键
C. ON/C键 D. OFF 键
D
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2. 用计算器进行计算，按下列按键顺序输
入： ，则它表达的
算式正确的是( A )
A. －32－ B. (－3)2－
C. －32－ D. (－3)2－5×6
A
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练点2 用计算器计算
3. 用计算器计算，按键顺序是3 x2 ＝，显示的结果是( D )
A. B. 6 C. 8 D. 9
D
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4. [2024·烟台栖霞市期中]用课本上介绍的科学计算器计算，
按键顺序如下，则计算器输出的结果是( B )
A. －14 B. －3.94
C. －1.06 D. －3.7
【点拨】
用计算器计算3× －1.22得－3.94.
B
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5. [2024·烟台芝罘区期中]若用课本上的计算器进行计算，按
键顺序如图所示，则计算结果是 .
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6. [2024·淄博临淄区期中]使用科学计算器进行计算，其按键
顺序为：
，
则输出结果为 .
【点拨】
使用科学计算器计算3×(－2)3× ，结果为－32.
－32
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7. 用计算器探索规律：按一定规律排列的一组数： ，
， ，…， ， ，如果从中选出若干个数，使它们
的和大于0.5，那么至少需要选 个数.
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(1)－12.25＋31.54×(－9.03)；
【解】按键顺序为(－) 1 2 · 2 5 ＋ 3 1 · 5 4 × ( (－)
9 · 0 3 ) ＝，
计算器显示的结果为－297.056 2，所以－12.25＋
31.54×(－9.03)＝－297.056 2.
8. 用计算器计算：
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(2)( － )×(－60)2－(－10)5.
【解】按键顺序为( 3 ab/c 4 － 5 ab/c 6 ) × ( (－) 6 0 )
x2 － ( (－) 1 0 ) yx 5 ＝，
计算器显示的结果为99 700，
所以 ×(－60)2－(－10)5＝99 700.
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9. [新视角 规律探究题]用计算器探索：
(1)用计算器计算下列各式：34×34，334×334，3 334×3
334，33 334×33 334.
【解】34×34＝1 156，
334×334＝111 556，
3 334×3 334＝11 115 556，
33 334×33 334＝1 111 155 556.
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(2)根据(1)的计算结果，你发现了什么规律？
【解】规律：计算的结果末位数字是6，且5的个数与
一个因数中3的个数相同，1的个数比一个因数中3的个
数多1，即 .
(3)不用计算器，直接写出3 333 334×3 333 334的结果.
【解】3 333 334×3 333 334＝11 111 115 555 556.
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9(共23张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
3 有理数的加减运算
第5课时 将有理数的加减混合运算统一成加法运算
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 省略加号的和
1. [2024·淄博淄川区期中]下列式子可读作“负1，负3，正
6，负8的和”的是( B )
A. －1＋(－3)＋(＋6)－(－8)
B. －1－3＋6－8
C. －1－(－3)－(－6)－(－8)
D. －1－(－3)－6－(－8)
B
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2. [2024·枣庄山亭区期中]算式(－2)＋(－6)－(－3)写成省略
加号的和的形式是 .
－2－6＋3
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练点2 先把加减混合运算写成省略加号的和再计算
3. [2024·菏泽牡丹区校级月考]为计算简便，把(－1.4)－(－
3.7)－(＋0.5)＋(＋2.4)＋(－3.5)写成省略括号和加号的
和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是( A )
A. －1.4＋2.4＋3.7－0.5－3.5
B. －1.4＋2.4＋3.7＋0.5－3.5
C. －1.4＋2.4－3.7－0.5－3.5
D. －1.4＋2.4－3.7－0.5＋3.5
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【点拨】
原式＝－1.4＋3.7－0.5＋2.4－3.5＝
－1.4＋2.4＋3.7－0.5－3.5.
A
【答案】
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4. [2024·济南槐荫区校级月考]计算：
(1)12－(－18)＋(－12)－15；
【解】原式＝12＋18－12－15
＝(12－12)＋(18－15)
＝0＋3
＝3.
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(2)－1.5－( －3 )＋4.25－( －3 )＋12.
【解】原式＝－1.5＋3.75＋4.25＋3.5＋12
＝(3.5－1.5)＋(3.75＋4.25)＋12
＝2＋8＋12
＝22.
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纠易错 运用加法交换律交换加数的位置时因漏掉“－”号而
致错
5. 计算：2 ＋( － )－( － )＋( － ).
【解】原式＝2 ＋ ＋ ＋
＝ ＋
＝3＋(－1)
＝2.
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6. [2024·济南历城区校级月考]计算(－5)－(＋3)＋(－9)－(－7)＋ 所得结果正确的是( B )
A. －10 B. －9
C. 8 D. －23
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＝－5－3－9＋7＋
＝－17＋7
＝－9 .
【点拨】
(－5)－(＋3)＋(－9)－(－7)＋
【答案】
B
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7. [2024·德州德城区校级月考]我们定义一种新运算，规定：
图形 表示a－b＋c，图形 表示－x＋y－z，
则 ＋ 的值为 .
【点拨】
＋
＝2－3＋4＋(－5＋6－7)
＝2－3＋4－5＋6－7
＝－3.
－3
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8. 试用“＋”“－”号将＋3，－8，－10，＋12这4个有理
数连接起来，使其运算结果最大，这个最大结果
是 .
【点拨】
连起来的式子为＋3－(－8)－(－10)＋(＋12)时，运算
结果最大.＋3－(－8)－(－10)＋(＋12)＝3＋8＋10＋12＝
33，所以这个最大结果为33.
33
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9. [2024·济南市中区校级月考]计算：
(1)2 ＋( －2 )＋5 －( －5 )；
【解】2 ＋ ＋5 －
＝2 －2 ＋5 ＋5
＝10 .
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(2)4.25＋(－2.18)－(－2.75)＋5.18；
【解】4.25＋(－2.18)－(－2.75)＋5.18
＝4.25－2.18＋2.75＋5.18
＝(4.25＋2.75)＋(5.18－2.18)＝7＋3＝10.
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(3) －( － )－2－ － .
【解】 － －2－ －
＝ ＋ －2－ － ＝ ＋ －2
＝1＋1－2＝0.
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10. 已知A＝－3 －2 －4 －( －5 )，B＝6 ＋(－4.6)－
5.4－( －7 ).
(1)计算A，B的值；
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【解】A＝－3 －2 －4 －
＝－3 －2 －4 ＋5
＝ ＋
＝－8＋3＝－5.
B＝6 ＋(－4.6)－5.4－
＝6 －4.6－5.4＋7
＝ －(4.6＋5.4)＝14－10＝4.
故A的值为－5，B的值为4.
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(2)将A，B两数对应的点表示在如图所示的数轴上，并
求A，B两数对应的点之间的距离.
【解】将A，B两数对应的点表示在数轴上如图所
示.A，B两数对应的点之间的距离为4－(－5)＝9.
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11. [新考法·阅读类比法 2024·淄博淄川区期中]在求 ＋( ＋
)＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ ＋ )的结果时，小明发现，
若调整各括号内加数的顺序再进行计算，便可很容易得
到这些加数的和，具体方法如下：
假设A＝ ＋( ＋ )＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ ＋ )，①
又有A＝ ＋( ＋ )＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋ ＋ )，②
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①＋②，得2A＝1＋(1＋1)＋(1＋1＋1)＋(1＋1＋1＋1)＝
1＋2＋3＋4＝10，
所以A＝5，所以 ＋( ＋ )＋( ＋ ＋ )＋( ＋ ＋
＋ )＝5.
计算： －( ＋ )＋( ＋ ＋ )－( ＋ ＋ ＋ )＋…－
( ＋ ＋…＋ ).
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【解】设M＝ － ＋ －＋…－( ＋ ＋…＋ )，①
又有M＝ － ＋ －
＋…－( ＋ ＋…＋ ＋ )，②
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①＋②，得2M＝1－(1＋1)＋(1＋1＋1)－(1＋1＋1＋1)
＋…－(1＋1＋…＋1)
＝1－2＋3－4＋…－2 024＝－1－1－…－1＝－1 012.
所以M＝－ ，
所以 － ＋( ＋ ＋ )－( ＋ ＋ ＋ )＋…－
( ＋ ＋…＋ )＝－ .
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11(共27张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
3 有理数的加减运算
第1课时 有理数的加法
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 有理数的加法法则
1. 计算2＋(－3)的结果是( C )
A. －5 B. 5
C. －1 D. 1
C
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2. 计算2 024＋(－2 024)的结果是( B )
A. －4 048 B. 0
C. 2 028 D. 4 048
【点拨】
互为相反数的两个数相加和为0.
B
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3. [2024·临沂月考]下列运算正确的有( D )
①(－5)＋(－5)＝0，②(－6)＋(＋4)＝－10，③(－2)＋0＝
－2，④( ＋ )＋( － )＝ ，⑤－( － )＋( －7 )＝－7.
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
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②(－6)＋(＋4)＝－2，故错误；
③正确；
④ ＋ ＝ ＝ ，故正确；
⑤－ ＋ ＝ ＋ ＝－7，故正确.
【点拨】
①(－5)＋(－5)＝－10，故错误；
【答案】
D
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4. 下列说法正确的是( B )
A. 两个有理数的和一定大于任何一个加数
B. 若两个有理数的和为0，则这两个有理数一定互为相反
数
C. 若两个有理数的和为负数，则这两个有理数一定都是负
数
D. 若两个有理数的和为正数，则这两个有理数一定都是正
数
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【点拨】
A. 因为两个负数的和一定小于任何一个加数，所以
此选项错误；B. 因为互为相反数的两个数和为0，所以若
两个有理数的和为0，则这两个有理数一定互为相反数；
C. 因为若一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较
大，则它们的和是负数，所以若两个有理数的和为负数，
则这两个有理数不一定都是负数；D.因为若一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大，则它们的和是正数，所以若两个有理数的和为正数，则这两个有理数不一定都是正数.
B
【答案】
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5. [2024·济南市中区月考]计算：
(1)(－7)＋(－15)； (2)(－32)＋(＋27)；
【解】(－7)＋(－15)
＝－(7＋15)
＝－22.
【解】(－32)＋(＋27)
＝－(32－27)
＝－5.
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【解】 ＋
＝－
＝－ .
(3)( ＋2 )＋( －3 ).
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练点2 有理数加法法则的应用
6. [新视角·知识情境化 2024·聊城茌平区期中]聊城市一月份
某一天早晨的气温是－3 ℃，中午上升了8 ℃，则中午的
气温是( B )
A. －5 ℃ B. 5 ℃
C. 3 ℃ D. －3 ℃
【点拨】
－3＋8＝5(℃)，所以中午的气温是5 ℃.
B
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7. [2024·淄博周村区期中]如图，比数轴上点A表示的数大3
的数是( D )
【点拨】
由数轴可得A表示－1，则比数轴上点A表示的数大3
的数是－1＋3＝2.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
D
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8. [新趋势·跨学科 2024·济南槐荫区月考] 已知A地的
海拔为－36米，B地比A地高20米，则B地的海拔
为 米.
【点拨】
－36＋20＝－16(米).
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9. [2024·南京栖霞区月考]若a＞0，b＜0，且a＋b＞0，
则｜a｜ ｜b｜.(填“＞”“＝”或“＜”)
【点拨】
因为a＞0，b＜0，a＋b＞0，故a的绝对值大于b
的绝对值，所以｜a｜＞｜b｜.
＞
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10. [新视角·开放题]请自己编一道生活中的问题，使所列算
式为(－12)＋7，并解答.
【解】冬天的某天早晨，沈阳的气温是－12 ℃，北京的
气温比沈阳高7 ℃，求北京的气温.
(－12)＋7＝－5(℃).
答：北京的气温是－5 ℃.(答案不唯一)
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纠易错 忽视绝对值的性质致漏解
11. [2024·临沂兰山区月考]若｜x｜＝3，｜y｜＝6，且x＞
y，则x＋y的值是( A )
A. －3或－9 B. 3或－6
C. －3 D. －9或3
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所以x＝3，y＝－6或x＝－3，y＝－6.
当x＝3，y＝－6时，x＋y＝3－6＝－3；
当x＝－3，y＝－6时，x＋y＝－3－6＝－9.
【点拨】
由题意可知x＝±3，y＝±6.
又因为x＞y，
【答案】
A
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12. [新考向·数学文化]中国人最先使用负数，魏晋时期的数
学家刘徽在《九章算术》的“正负术”的注文中指出，
可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表
示负数.如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①，可推
算图②中所得的数值为 .
－3
【点拨】
2＋(－5)＝－3.
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13. [2024·青岛胶州市月考]比－3 大而比2 小的所有整数的
和为 .
【点拨】
比－3 大而比2 小的所有整数有－3，－2，－
1，0，1，2，它们的和为－3＋(－2)＋(－1)＋0＋1
＋2＝－3.
－3
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14. 列式并计算：
(1) 的相反数与－0.875的绝对值的和；
【解】－ ＋｜－0.875｜＝－ ＋ ＝ .
(2)－1 的绝对值与3.5的相反数的和.
【解】 ＋(－3.5)＝ ＋ ＝－2.
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15. [情境题·科技创新]某市为培育青少年的科技创新能力，
举办了AI设计比赛，小明设计了AI移动视频巡检车在直
线轨道上做运动的一个雏形，规定：巡检车运动前的位
置为原点，向前运动为正方向，巡检车从开始运动至停
止的运动记录为：＋2，－3，－2，－11，＋9.问：当巡
检车停止运动时，停在哪个数的位置上？
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【解】依题意，得＋2＋(－3)＋(－2)＋(－11)＋(＋9)
＝－5.
答：当巡检车停止运动时，停在－5的位置上.
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16. [新视角·规律探究题](1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
｜(＋4)＋(＋7)｜ ｜＋4｜＋｜＋7｜；
｜(－4)＋(－7)｜ ｜－4｜＋｜－7｜；
｜(＋4)＋(－7)｜ ｜＋4｜＋｜－7｜；
｜(－4)＋(＋7)｜ ｜－4｜＋｜＋7｜；
｜0＋(－7)｜ ｜0｜＋｜－7｜.
＝
＝
＜
＜
＝
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(2)做完上述填空题，你可以得出什么结论？你能用字母
表述你的结论吗？
【解】①当a，b同号时，
｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜；
②当a，b异号时，
｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜；
③当a，b中至少有一个是0时，
｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜.
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17. [新视角·结论开放题](1)请在图①的各圆圈内填上适当的
数，使每个圆圈内的数都等于与它相邻的两个数的和.
【解】如图①.
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(2)如图②，在各圆圈内填上适当的数，使每条线上的3
个数的和为0.
【解】如图②.(答案不唯一)
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(3)如图③，将图②中心处的0改为－5，那么怎样填写才
能使每条线上的3个数的和为－15？
【解】如图③.(答案不唯一)
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17(共12张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
4 有理数的乘除运算
专题四 比较有理数大小的八种方法
有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适
当的方法，除了常规的比较大小的方法外，还有几种特殊的
方法：作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数
轴法、特殊值法、分类讨论法等.
名师点金
方法1 利用作差法比较大小
1. 比较 和 的大小.
【解】因为 － ＝ － ＝ ＞0，所以 ＞ .
【点拨】
当比较的两个数的大小非常接近，无法直接比较大小
时，作差法是常用的方法.
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方法2 利用作商法比较大小
2. 比较－ 和－ 的大小.
【解】 ＝ ， ＝ .
因为 ÷ ＝ × ＝ ＞1，
所以 ＞ .所以－ ＜－ .
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8
作商法是比较两个数大小的常用方法.当比较的两个
正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效
果；当比较大小的两个数是负分数时，可先分别求出它们
的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据绝对
值大的反而小得出结论.
【点拨】
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方法3 利用找中间量法比较大小
3. 比较 与 的大小.
【解】因为 ＜ ， ＞ ，
所以 ＜ .
【点拨】
对于类似的两数的大小比较，我们可以引入一个
中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出问
题的答案.
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方法4 利用倒数法比较大小
4. 比较 和 的大小.
【解】 的倒数是10 ， 的倒数是10 .
因为10 ＞10 ，所以 ＜ .
【点拨】
利用 倒数法 比较两个正分数的大小时，需先求出其
倒数，再根据倒数大的反而小确定这两个正分数的大小.
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方法5 利用变形法比较大小
5. 比较－ ，－ ，－ ，－ 的大小.
【解】每个分数都加1，分别得 ， ， ， .
因为 ＜ ＜ ＜ ，
所以－ ＜－ ＜－ ＜－ .
【点拨】
本题直接比较很困难，但通过把这些数进行适当变
形，再进行比较就简单多了.
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方法6 利用数轴法比较大小
6. [2024·济宁曲阜市期中]在数轴上把下列各数表示出来，并
按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来.
，－ ，0，－(－3.5)，－3，－｜－5｜.
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【解】由题意知，－(－3.5)＝3.5，－｜－5｜＝－5，
所以在数轴上表示各数如图所示：
所以－｜－5｜＜－3＜－ ＜0＜ ＜－(－3.5).
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方法7 利用特殊值法比较大小
7. [2023·青岛崂山区校级期中]当0＜x＜1时，将x， ，x2
按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
【解】因为0＜x＜1，所以不妨设x＝ ，
则 ＝2，x2＝ ＝ .
因为 ＜ ＜2，所以x2＜x＜ .
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方法8 利用分类讨论法比较大小
8. 比较a与 的大小.
【解】分三种情况讨论：
当a＞0时，a＞ ；
当a＝0时，a＝ ；
当a＜0时，因为｜a｜＞ ，
所以a＜ .
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8(共17张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
2 认识有理数
第3课时 绝对值与相反数
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 绝对值
1. [2024·安徽]－5的绝对值是( A )
A. 5 B. －5
C. D. －
A
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2. 有理数a的绝对值是 ，a的值是( D )
A. B. －
C. ± D. ±
【点拨】
因为｜a｜＝ ，所以a＝± .
D
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练点2 相反数
3. [2024·聊城东昌府区期末]若一个数的相反数是－ ，则这
个数是( C )
A. － B.
C. D. －
C
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4. [2023·广州]－(－2 023)＝( B )
A. －2 023 B. 2 023
C. － D.
B
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10
5. [2024·济南市中区月考]下列各组数中，互为相反数的是
( C )
A. －(＋7)与＋(－7)
B. －(－7)与7
C. － 与－( － )
D. －( － )与＋｜－0.01｜
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【点拨】
A. －(＋7)＝－7，＋(－7)＝－7，相等，不互为相反
数；B. －(－7)＝7，与7相等，不互为相反数；C. －
＝－ ，－ ＝ ，互为相反数；D. －
＝ ，＋｜－0.01｜＝0.01，相等，不互为相反数.
C
【答案】
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纠易错 去绝对值符号时未考虑a为0的情况
6. 已知｜a｜＝－a，则a的值是( C )
A. 正数 B. 负数
C. 非正数 D. 非负数
C
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7. 已知｜a－2｜＋｜b－3｜＝0，则a＋b＝ .
【点拨】
因为｜a－2｜＋｜b－3｜＝0，
所以a－2＝0， b－3＝0，
所以a＝2，b＝3，
所以a＋b＝2＋3＝5.
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10
8. 点A，B，D在数轴上的位置如图所示，点A，B表示的
数互为相反数，若点B表示的数为1，且点B到点A的距
离等于点D到点B的距离，则点D表示的数为 .
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因为点A，B表示的数互为相反数，点B表示的数为
1，所以点A表示的数为－1，所以点B到点A的距离为2.
因为点B到点A的距离等于点D到点B的距离，所以点D
到点B的距离为2.因为点D在点B的右边，所以点D表示
的数为3.
【点拨】
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10
9. [母题教材P41习题T6]如图是一个正方体纸盒的展开图，
请把－22，12，22，－2，－12，2分别填入六个正方形
中，使得折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数.
【解】如图.(答案不唯一)
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10. 一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数
轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图.
(1)站在点 上的机器人表示的数的绝对值最大，站
在点 和点 ，点 和点 上的
机器人表示的数的绝对值相等.
A1
A2
A5
A3
A4
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10
因为｜－4｜最大，所以站在点A1上的机器人表
示的数的绝对值最大.因为｜－3｜＝｜3｜，｜－1｜
＝｜1｜，所以站在点A2和点A5，点A3和点A4上的机
器人表示的数的绝对值相等.
【点拨】
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(2)怎样将点A3移动，使它先到达点A2，再到达点A5，
请用文字语言说明.
【解】点A3向左移动2个单位长度到达点A2，再向右移动6个单位长度到达点A5.
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10
(3)若原点是零件供应点，则5个机器人分别到达供应点
取货的总路程是多少？
【解】｜－4｜＋｜－3｜＋｜－1｜＋｜1｜
＋｜3｜＝12.
答：5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12.
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10(共14张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
7 近似数
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 准确数与近似数
1. 下列各数中，是准确数的是( B )
A. 小亮同学的身高是1.72 m
B. 小明同学买了6支铅笔
C. 教室的面积是60 m2
D. 小兰在菜市场买了3斤西红柿
【点拨】
B中的“6”确切地反映了铅笔的数量，它是准确数.
B
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练点2 近似数的精确度
2. [母题·教材P83随堂练习T2 2024·泰安新泰市期末]下列说
法正确的是( D )
A. 0.720精确到百分位
B. 5.078×104精确到千分位
C. 36万精确到个位
D. 2.90×105精确到千位
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A. 0.720精确到千分位，故本选项错误；B.
5.078×104精确到十位，故本选项错误；C. 36万精确到
万位，故本选项错误；D. 2.90×105精确到千位，故本选
项正确.
【点拨】
D
【点拨】
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3. 用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数：
(1)4.304 9(精确到0.01)；
【解】4.304 9≈4.30.
(2)46 857 000(精确到万位)；
【解】46 857 000≈4.686×107.
(3)13.4928亿(精确到十万位).
【解】13.4928亿≈1.3493×109.
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8
纠易错 因不理解带计数单位和用科学记数法表示的近似数导
致不能正确判断精确度
4. [2024·泰安泰山区期中]近似数5.62万是精确到 位.
百
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8
5. [2024·保定满城区期末]一个数a精确到十分位的结果是
3.6，那么a的范围满足( D )
A. 3.55≤a≤3.65且a≠3.6
B. 3.55＜a≤3.65且a≠3.6
C. 3.55＜a＜3.65且a≠3.6
D. 3.55≤a＜3.65且a≠3.6
【点拨】
利用近似数的精确度，一个数a精确到十分位的结果
是3.6，则3.55≤a＜3.65且a≠3.6.
D
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8
6. [新考向·知识情境化 2024·绥化北林区校级期末]豆豆在学
习圆的周长时，把一个直径是2厘米的圆形卡片在直尺上
滚动一周.下面测量最接近准确值的一次是( C )
A B
C D
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【点拨】
直径是2厘米的圆的周长为2π≈6.28(厘米).
C
【答案】
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8
7. “光年”是一个长度单位，1光年就是光在真空中走一年
的距离，已知光的速度约为300 000 000米/秒，则1光年约
表示多少千米？(1年按365天计算，结果精确到百亿位)
【解】365×24×60×60×300 000 000
＝9 460 800 000 000 000(米)
＝9 460 800 000 000(千米)
≈9.46×1012(千米).
答：1光年约表示9.46×1012千米.
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8. [新视角·探究题 2023·东营垦利区期中]把一个四位整数先
四舍五入到十位，再把所得的数四舍五入到百位，然后再
把所得的数四舍五入到千位，这时的数是4×103，你能说
出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？
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【解】因为把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得
的数四舍五入到百位，然后再把所得的数四舍五入到千
位，这时的数为4×103，
所以这个数最大时千位上的数字为4，最小时千位上的数
字为3.当千位上的数字为3时，
3.445×103四舍五入到十位后的结果为3.45×103，
3.45×103四舍五入到百位后的结果为3.5×103，
3.5×103四舍五入到千位后的结果为4×103，
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所以4×103可能是由3 445取近似值得到的；
类似地，当千位上的数字为4时，
4×103可能是由4 444取近似值得到的.
所以这个数的最大值是4 444，最小值是3 445，它们的差
是4 444－3445＝999.
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8(共20张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
2 认识有理数
专题一 绝对值的八种应用
应用1 绝对值的定义在找规律中的应用
1. (1)①正数：｜＋5｜＝ ，｜12｜＝ ；
②负数：｜－7｜＝ ，｜－15｜＝ ；
③0：｜0｜＝ ；
5
12
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15
0
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8
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(2)根据(1)中的结果发现：不论是正数、负数还是0，它们
的绝对值一定是 ，即｜a｜ 0.
非负数
≥
应用2 绝对值在比较大小中的应用
2. [2024·济南历下区期末]比较下列两数的大小：－
－ .(填“＜”“＝”或“＞”)
【点拨】
因为 ＝ ， ＝ ， ＞ ，所以－ ＜－ .
＜
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A. 0＞－(－1)＞－ ＞－
B. 0＞－(－1)＞－ ＞－
C. －(－1)＞0＞－ ＞－
D. －(－1)＞0＞－ ＞－
3. 把－(－1)，－ ，－ ，0用“＞”连接起来，正确的
是( C )
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10
－(－1)＝1，－ ＝－ .
因为 ＝ ， ＝ ， ＜ ，所以－ ＞－ ，
故－(－1)＞0＞－ ＞－ .
【点拨】
C
【答案】
1
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10
应用3 绝对值的非负性在求字母的取值范围中的应用
4. 若｜a｜＝a，则a的取值范围是( C )
A. a＞0 B. a＜0
C. a≥0 D. a≤0
【点拨】
因为｜a｜＝a，正数或0的绝对值等于它本身，所
以a≥0.
C
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5. 若｜x－2｜＝2－x，则x的取值范围是 .
【点拨】
由题意得x－2≤0，所以x≤2.
x≤2
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应用4 绝对值的非负性在求字母的值中的应用
6. 已知｜a＋2 025｜＋｜b－2 024｜＝0，求a和b的值.
【解】因为｜a＋2 025｜＋｜b－2 024｜＝0，
｜a＋2 025｜≥0，｜b－2 024｜≥0，
所以a＋2 025＝0，b－2 024＝0，
解得a＝－2 025，b＝2 024，
所以a＝－2 025，b＝2 024.
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应用5 绝对值的非负性在求最值中的应用
7. 根据｜a｜≥0这条性质，解答下列问题：
(1)当a＝ 时，｜a－4｜有最小值，最小值为 .
4
0
1
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3
4
5
6
7
8
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10
(2)当a取何值时，｜a－1｜＋3有最小值？这个最小值是
多少？
【解】因为｜a－1｜≥0，
所以当｜a－1｜＝0，即a＝1时，｜a－1｜＋3有最小
值，这个最小值是3.
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(3)当a取何值时，4－｜a｜有最大值？这个最大值是
多少？
【解】因为｜a｜≥0，
所以当a＝0时，｜a｜有最小值，即4－｜a｜有最大
值，这个最大值是4.
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应用6 绝对值和数轴的综合应用
8. 已知m，n分别是两个不同的点M，N所表示的有理
数，且｜m｜＝6，｜n｜＝2.5，M，N在数轴上的位
置如图所示.
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5
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【解】因为｜m｜＝6，｜n｜＝2.5，
所以m＝6或m＝－6，n＝2.5或n
＝－2.5.
由数轴可知，m＜n＜0，
所以m＝－6，n＝－2.5.
(1)试确定m，n的值.
1
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5
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8
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10
(2)表示m，n两数的点之间的距离为多少？
【解】因为｜m｜＝6，｜n｜＝
2.5，所以表示两数的点之间的距离
为6－2.5＝3.5.
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5
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7
8
9
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应用7 绝对值的几何意义在求最值中的应用
9. 阅读材料：我们知道｜5－1｜表示5与1之差的绝对值，也
可以表示数轴上5和1对应的两点之间的距离；｜3－(－
2)｜表示3与－2之差的绝对值，实际上也可理解为3与－2
在数轴上所对应的两点之间的距离；自然地，对｜3－(－
2)｜进行变形所得的｜3＋2｜，同样可以表示3与－2两数
在数轴上所对应的两点之间的距离.
试探索：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(1)｜3－(－2)｜＝ .
(2)｜x－2｜表示x与 之间的距离；｜x＋3｜表示x
与 之间的距离.
5
2
－3
(3)当｜x－2｜＋｜x＋3｜＝5时，x可取整数
.(写出一个符合条件的整数x即可)
2(答案不
唯一)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
【点拨】
因为｜x－2｜＋｜x＋3｜＝5表示数轴上有理数x
所对应的点到2和－3所对应的点的距离之和为5，
所以x在－3与2之间的线段上，即－3≤x≤2，
所以x可取整数－3，－2，－1，0，1，2.
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(4)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，｜x
＋4｜＋5的最小值为 .
(5)由以上探索，结合数轴猜想：对于任何有理数x，｜x
＋4｜＋｜x－6｜是否有最小值？如果有，直接写出最
小值；如果没有，请说明理由.
【解】最小值为10.
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因为｜x＋4｜＋｜x－6｜可理解为在数轴上表示
x的点到表示－4和6的点的距离之和，所以当x在－4
与6之间的线段上，即－4≤x≤6时，｜x＋4｜＋｜x
－6｜有最小值，最小值为4＋6＝10.
【点拨】
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应用8 绝对值在实际问题中的应用
10. [新考向·知识情境化]某工厂生产一批零件，从中抽取6个
进行质量检验，比标准直径长的数值记作正数，比标准
直径短的数值记作负数，检查结果如下(单位：毫米)：
第1个 第2个 第3个 第4个 第5个 第6个
＋0.5 －0.3 ＋0.15 －0.1 0 ＋0.2
用绝对值的知识说明哪个零件的质量最好.
【解】因为｜＋0.5｜＞｜－0.3｜＞｜＋0.2｜＞｜＋
0.15｜＞｜－0.1｜＞｜0｜，所以第5个零件的质量最好.
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10(共18张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
3 有理数的加减运算
专题二 数轴在有理数中的六种应用
应用1 用数轴表示有理数
1. [2024·重庆渝中区期中]某中学七年级一班的几位同学正在
一起讨论一个关于数轴上的点表示数的问题.
小柯说：“这条数轴上的两个点A，B表示的数都是绝对
值是4的数，点A表示的数小于点B表示的数.”
小薛说：“点C表示最大的负整数，点D表示正整数，且
这两个数的差是3.”
小程说：“点E表示的数的相反数是它本身.”
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(1)请你根据以上三位同学的发言，在如图所示的数轴上
描出A，B，C，D，E五个点；
【解】如图.
(2)列式计算这个五个点表示的数的和.
【解】－4－1＋0＋2＋4＝1.
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应用2 用数轴表示相反数
2. 已知有理数a，－3，b在数轴上对应的点的位置如图所
示，在数轴上画出a，－3，b的相反数对应的点.
【解】如图.
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应用3 用数轴表示绝对值
3. [2024·泰安肥城市校级月考]如图，数轴的单位长度为1，
若点A和点C所表示的两个数的绝对值相等，则点B表示
的数是( B )
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
【点拨】
因为点A和点C表示的两个数绝对值相等，所以AC
的中点为原点.又因为数轴的单位长度为1，所以点B表示
的数是－1.
B
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4. 如图，数轴上的A，B，C三点(不与原点重合)所表示的
数分别是a，b，c，如果｜a｜＞｜b｜＞｜c｜，那么
该数轴的原点O的位置应该在( D )
A. 点A的左边
B. 点A与点B之间
C. 点B与点C之间
D. 点B与点C之间(靠近点C)或在点C的右边
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【点拨】
因为｜a｜＞｜b｜＞｜c｜，所以点A到原点的距
离最远，点C到原点的距离最近，所以原点O在点B，C
之间，且靠近点C或在点C的右边.
D
【答案】
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5. 如图，数轴上相邻两个刻度之间的距离为1个单位长度，
如果点B表示的数的绝对值是点A表示的数的绝对值的3
倍，那么点A表示的数是 .
－1或2
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应用4 用数轴比较大小
6. [2024·德州德城区校级月考]如图所示，根据有理数a，
b，c在数轴上的位置，比较a，b，c的大小关系是
( A )
A. a＞b＞c B. a＞c＞b
C. b＞c＞a D. c＞b＞a
【点拨】
根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，可
得答案.
A
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7. [2024·枣庄台儿庄区月考]若有理数a，b在数轴上对应点
的位置如图所示，则下列结论正确的是( A )
A. ｜b｜＞－a B. ｜a｜＞－b
C. b＞a D. ｜a｜＞｜b｜
【点拨】
因为b＜a＜0，所以｜b｜＞｜a｜＝－a.
A
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8. [2024·青岛崂山区期末]a，b两数在数轴上的对应点的位
置如图所示，则b －a(用“＜”“＞”或“＝”填
空).
【点拨】
由题意得－1＜a＜0，1＜b，所以0＜－a＜1，所以
b＞－a.
＞
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9. [2024·潍坊诸城市期中]已知点A，B，C，D，E，F在
数轴上的位置如图所示，点B是AD的中点，点E到原点
的距离是1.5.
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(1)写出点A，B，C，D，E，F分别表示的有理数；
【解】由题意得，点A表示的数是－4，点C表示的数
是0，点D表示的数是1，点F表示的数是5，
所以AD＝1－(－4)＝1＋4＝5.
因为点B是AD的中点，
所以点B表示的数是－4＋ ＝－1.5.
因为点E到原点的距离是1.5且在原点的右边，
所以点E表示的数是1.5.
(2)用“＜”连接这六个数.
【解】－4＜－1.5＜0＜1＜1.5＜5.
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10. 有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示.
(1)用“＞”或“＜”填空：
a＋b 0，c－b 0；
(2)化简：｜a＋b｜＋｜c｜－｜c－b｜.
【解】因为a＋b＞0，c＜0，c－b＜0，
所以｜a＋b｜＋｜c｜－｜c－b｜＝a＋b＋(－c)
－(－c＋b)＝a＋b－c＋c－b＝a.
＞
＜
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应用5 用数轴说明覆盖整点问题
11. [新考向·知识情境化 2024·德州德城区月考]小明在写作业
时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确
定墨迹盖住的所有整数的和是 .
【点拨】
根据图中数值，确定墨迹盖住的整数是－6、－5、
－4、－3、－2、1、2、3、4，以上这些整数的和为－10.
－10
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应用6 用数轴解实际应用问题
12. [2024·济南历下区期末]如图是某市一条东西走向的公交
线路，东起公园路站，西至西城站，途中共设12个上下
车站点.某天，小刚参加该线路上的志愿者服务活动，从
家家悦站出发，最后在A站结束服务活动.如果规定向东
为正，向西为负，小刚当天的乘车站数按先后顺序依次
记录如下(单位：站)：＋5，－3，＋4，－5，－2，＋
1，－3，＋4，＋1.
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(1)请通过计算说明A站是哪一站？
【解】5＋(－3)＋4＋(－5)＋(－2)＋1＋(－3)＋4＋1＝
2(站)，
所以A站为家家悦站东边第2个站，是市中广场站.
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(2)若相邻两站之间的平均距离约为1.8千米，求这次
小刚志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多
少千米？
【解】(5＋3＋4＋5＋2＋1＋3＋4＋1)×1.8＝28×1.8
＝50.4(千米)，
所以这次小刚志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程
约是50.4千米.
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12(共12张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
5 有理数的乘方
第3课时 科学记数法
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 科学记数法
1. 从2024年全国教育工作会议上了解到，我国高校目前有博
士研究生61.2万人，成为高校科研的生力军.将61.2万用
科学记数法表示应为( C )
A. 0.612×106 B. 61.2×105
C. 6.12×105 D. 6.12×106
C
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2. [情境题·航空航天 2023·广东]2023年5月28日，我国自主研
发的C919国产大飞机商业首航取得圆满成功.C919可储存
约186 000升燃油，将数据186 000用科学记数法表示为
( B )
A. 0.186×105 B. 1.86×105
C. 18.6×104 D. 186×103
B
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3. 2024年1月19日下午，山东省政府新闻办举行新闻发布
会，介绍2023年山东省经济运行情况.记者从发布会上了
解到，2023年全年山东省生产总值约为92 069亿元，按不
变价格计算，比上年增长6.0％.其中数据92 069亿用科学
记数法表示为 .
【点拨】
92 069亿＝9 206 900 000 000＝9.206 9×1012.
9.206 9×1012
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练点2 还原用科学记数法表示的数
4. [2023·菏泽三模]用科学记数法表示人体中的红细胞个数约
为2.5×1013，不用科学记数法表示，原来的数据是
.
【点拨】
把2.5×1013写成不用科学记数法表示的原数的形
式，就是把2.5的小数点向右移动13位.
5. 一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原
数中“0”有 个.
25 000 000 000 000
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6. 2024年4月16日国家统计局发布数据显示，一季度高质量
发展取得新成效，国民经济延续回升向好态势，开局良
好.初步核算国内生产总值约29.63万亿元，按不变价格计
算，同比增长5.3％.29.63万亿用科学记数法表示为
( D )
A. 2.963×1010 B. 2.963×1011
C. 2.963×1012 D. 2.963×1
D
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7. 比较下列两数的大小.
(1)3.05×105与3.08×104；
【解】3.05×105＞3.08×104.
(2)－2.01×102 024与－2.1×102 024.
【解】－2.01×102 024＞－2.1×102 024.
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8. [2024·南京玄武区月考]已知一个U盘的名义内存为10
GB，平均每个视频的内存为512 MB，平均每首音乐的内
存为10.24 MB，平均每篇文章的内存为10.24 KB. 现该U
盘已存16个视频，50首音乐.若该U盘的内存的实际利用
率为90％，求还可以存文章的最多篇数(用科学记数法表
示).(注：已知1 GB＝1 024 MB，1MB＝1 024 KB)
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【解】(10×1 024×1 024×90％－512×1 024×16－
10.24×1 024×50)÷10.24＝5.12×104(篇).
答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104篇.
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9. 如果规定：0.1＝ ＝10－1，0.01＝ ＝10－2，0.001＝
＝10－3.
(1)你能用10的指数的形式表示0.000 1，0.000 01吗？
【解】0.000 1＝ ＝10－4，
0.000 01＝ ＝10－5.
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(2)你能将0.001 768表示成a×10n(其中1≤｜a｜＜10，
n为负整数)的形式吗？
【解】0.001 768＝1.768×0.001＝1.768×10－3.
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9(共27张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
4 有理数的乘除运算
第3课时 有理数的除法
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 绝对值法
1. [2024·枣庄山亭区期中]如果a÷b(b≠0)的商是负数，那
么( A )
A. a，b异号 B. a，b同为正数
C. a，b同为负数 D. a，b相等
A
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2. 两个不为零的有理数相除，若交换被除数和除数的位置，
它们的商不变，则这两个数( D )
A. 一定相等 B. 一定互为相反数
C. 一定互为倒数 D. 相等或互为相反数
【点拨】
相等或互为相反数的两个不为零的有理数相除，交换
除数和被除数的位置，商不变.
D
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3. [2024·烟台招远市期中]计算(－2)÷ 的结果是 .
【点拨】
(－2)÷ ＝－ ＝－4.
－4
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练点2 倒数法
4. [2023·烟台龙口市期中]计算(－6)÷( － )的结果是
( C )
A. －18 B. 2
C. 18 D. －2
【点拨】
(－6)÷ ＝(－6)×(－3)＝18.
C
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5. 将(－7)÷( － )÷(－2.5)转化为乘法运算，正确的是
( C )
A. (－7)× ×(－2.5)
B. (－7)×( － )×(－2.5)
C. (－7)×( － )×( － )
D. (－7)×( － )×( － )
C
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6. [2023·临沂期末]下列计算正确的是( B )
A. 0÷(－2)＝0×( － )＝－
B. 1÷( － )＝1×(－8)＝－8
C. (－3)÷(－3)＝－3×3＝－9
D. (－32)÷(－8)＝－32÷8＝－4
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A. 0÷(－2)＝0× ＝0，故此选项错误；B.
1÷ ＝1×(－8)＝－8，故此选项正确；C. (－3)÷
(－3)＝3× ＝1，故此选项错误；D. (－32)÷(－8)＝
32÷8＝4，故此选项错误.
【点拨】
【答案】
B
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7. [母题教材P70例5]计算：
(1)－2 ÷ ÷( －2 )
【解】原式＝－ × × ＝2.
(2)－4 ÷ ÷1 .
【解】 原式＝－ × × ＝－12.
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练点3 有理数乘除混合运算
8. 下列计算：
①(－1)×(－2)×(－3)＝6；
②(－36)÷(－9)＝－4；
③ ×( － )÷(－1)＝ ；
④(－4)÷ ×(－2)＝16.
其中正确的有( C )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
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①(－1)×(－2)×(－3)＝－6，错误；②(－36)÷
(－9)＝4，错误；③ × ÷(－1)＝ ×
×(－1)＝ ，正确；④(－4)÷ ×(－2)＝(－4)×2×
(－2)＝16，正确.
【点拨】
C
【答案】
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纠易错 因忽视乘除运算顺序而出错
9. [新考法·过程辨析法]王老师在黑板上展示了下面的试题：
计算：(－5)÷ ×12.
解：原式＝(－5)÷( － )×12(第一步)
＝(－5)÷(－1)(第二步)
＝－5.(第三步)
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(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，
第二处是第 步；
(2)写出正确的解题过程.
【解】原式＝(－5)÷ ×12
＝5×12×12
＝720.
二
三
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10. [2024·淄博张店区期中]计算6× ÷6× ，其结果为
( D )
A. 1 B. 36
C. D.
【点拨】
原式＝6× × × ＝ .
D
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11. 在如图所示的数轴上，(－5)÷｜－2｜÷( －6 )的值的
对应点是( C )
A. M B. N
C. P D. Q
【点拨】
(－5)÷｜－2｜÷ ＝(－5)× × ＝
，其对应的是数轴上的P点.
C
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12. [2024·威海文登区期末]在－2，－3，1，4这四个数中，
任意两个数相除，所得的商最小是 .
13. [2024·绵阳期中]对于有理数x，y，若 ＜0，则
＋ ＋ 的值是 .
－3
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【点拨】
因为 ＜0，
所以x，y异号.
所以xy＜0，
所以 ＝ ＝－1.
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当x＞0时，y＜0，则 ＝ ＝－1， ＝
＝1，
所以原式＝－1＋(－1)＋1＝－1.
当x＜0时，y＞0，则 ＝ ＝1， ＝ ＝
－1，
所以原式＝－1＋1－1＝－1.
综上， ＋ ＋ ＝－1.
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14. [2024·济南历下区校级月考]计算：
(1)－56×( － )÷( －1 )；
【解】－56× ÷
＝－56× ×
＝－15.
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(2)( －2 )×( －1 )÷ .
【解】 × ÷
＝－ × ×
＝ × ＝ .
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15. [新视角·新定义题]已知a，b均是不为0的有理数，规
定：a※b＝ ÷( － ).例如：2※3＝ ÷( － )＝－ .
求[2※(－5)]※4的值.
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【解】因为a※b＝ ÷ ，
所以[2※(－5)]※4
＝ ※4
＝ ※4
＝ ※4＝ ÷
＝5÷(－2)＝－ .
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16. [新视角·过程探究题 2024·济宁任城区期中]小华在课外书
中看到这样一道题：
计算： ÷( ＋ － － )＋( ＋ － －
)÷ .
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她发现，这个算式求的是前、后两部分的和，而这两部
分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答
了这道题.
(1)前、后两部分之间存在着什么关系？
【解】前、后两部分互为倒数.
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(2)先计算哪部分比较简便？并计算比较简便的那部分.
【解】先计算后一部分比较简便.
÷
＝ ×36
＝9＋3－14－1＝－3.
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(3)利用(1)中的关系，直接写出另一部分的结果.
【解】因为前、后两部分互为倒数，
所以 ÷ ＝－ .
(4)根据以上分析，求出原式的结果.
【解】原式＝－ ＋(－3)＝－3 .
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鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
3 有理数的加减运算
第3课时 有理数的减法
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 有理数的减法法则
1. [母题·教材P54习题T2 2024·保定期末]已知2＋□＝0，则“□”处的数为( C )
A. 2 B. 1
C. (－2) D. (－1)
【点拨】
由题意得，0－2＝0＋(－2)＝－2，即“□”处的数
为(－2).
C
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2. [2024·东营校级月考]下列计算错误的是( C )
A. －2－(－2)＝0 B. －3－4－5＝－12
C. －7－(－3)＝－10 D. 3－15＝－12
【点拨】
A. －2－(－2)＝－2＋2＝0，正确；B. －3－4－5＝
(－3)＋(－4)＋(－5)＝－12，正确；C. －7－(－3)＝－7
＋3＝－4，错误；D. 3－15＝3＋(－15)＝－12，正确.
C
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3. 计算：
(1) －( － )； (2)－5－7；
(3)( ＋ )－3 ；(4)－(－2.41)－｜－3.72｜.
【解】(1)原式＝ ＋ ＝ .
(2)原式＝－(5＋7)＝－12.
(3)原式＝ － ＝－ ＝－ .
(4)原式＝2.41－3.72＝－(3.72－2.41)＝－1.31.
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4. [2024·绍兴诸暨市校级月考]某同学在计算－3 －N时，
误将－N看成了＋N，从而算得结果是5 ，请你帮助算
出正确结果.
【解】根据题意得N＝5 － ＝5 ＋3 ＝9 ，
则正确的结果为－3 －9 ＝－13 .
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练点2 有理数减法的应用
5. [情境题·生活应用 2024·枣庄山亭区期末]某地连续四天的
天气情况如下，其中温差最大的一天是( A )
19日 20日 21日 22日
－8～1 ℃ 多云 －4～2 ℃ 小雨 0～4 ℃ 晴 2～7 ℃
晴
A. 19日 B. 20日
C. 21日 D. 22日
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【点拨】
19日温差为1－(－8)＝1＋8＝9(℃)，
20日温差为2－(－4)＝2＋4＝6(℃)，
21日温差为4－0＝4(℃)，
22日温差为7－2＝5(℃).
因为9＞6＞5＞4，所以温差最大的一天是19日.
A
【答案】
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6. [2024·德州德城区校级月考]设a是最小的正整数，b是最
大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a－b－c的
值是( C )
A. 0 B. －1 C. 2 D. 1
【点拨】
因为a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝
对值最小的有理数，所以a＝1，b＝－1，c＝0，所以a
－b－c＝1－(－1)－0＝2.
C
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7. [2024·荣德原创]在某次数学测试中，小颖的成绩比全
班平均成绩高17分，记作＋17分.小明的成绩比全班
平均成绩低7分，记作－7分，则小颖的数学成绩比小
明高 分.
【点拨】
(＋17)－(－7)＝(＋17)＋7＝24(分).
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纠易错 运用有理数减法法则计算时出错
8. [2023·日照]计算2－(－3)的结果是( D )
A. －1 B. 1
C. －5 D. 5
【点拨】
2－(－3)＝2＋3＝5.
D
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9. [2024·菏泽牡丹区校级月考]A，B，C三点相对于海平面
分别是－13米、－7米、－20米，那么最高的地方比最低
的地方高( A )
A. 13米 B. －13米
C. 7米 D. －7米
A
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10. [2024·临沂期中]若有理数x，y满足｜x｜＝5，｜y｜
＝3，且｜x＋y｜＝x＋y，则 x－y 的值为( C )
A. 8 B. 2
C. 2或8 D. －2或－8
【点拨】
因为｜x｜＝5，｜y｜＝3，所以x＝±5，y＝
±3.
因为｜x＋y｜＝x＋y，所以x＋y为非负数，
则x＝5，y＝±3，故x－y＝2或8.
C
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11. 设A是－4的相反数与－12的绝对值的差，B是比－6大5
的数，
(1)求A－B.
A－B＝－8－(－1)＝－8＋1＝－7.
(2)求B－A.
B－A＝－1－(－8)＝－1＋8＝7.
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(3)从(1)与(2)的计算结果中，你能知道A－B与B－A有
什么关系吗？
【解】因为A是－4的相反数与－12的绝对值的差，
B是比－6大5的数，
所以A＝4－｜－12｜＝4－12＝－8，B＝－6＋5＝
－1，
A－B与B－A互为相反数.
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12. [母题教材P54例5变式]下表给出了某班6名同学的身高情
况(单位：cm)：
编号 A B C D E F
身高 165 168 166 163 170 172
身高与班级平 均身高的差值 －1 ＋2 0 －3 ＋4 ＋6
168
163
170
0
＋6
(1)将上面的表格填写完整.
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(2)这6名同学中最高的与最矮的相差多少？
【解】方法一：172－163＝9(cm).
方法二：(＋6)－(－3)＝9(cm).
答：这6名同学中最高的与最矮的相差9 cm.
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13. 已知A，B两点在数轴上表示的数分别为m，n.
(1)填写下表：
m 6 －6 －6 －6 2 －1.5
n 4 0 4 －4 －8 －1.5
A，B两点之 间的距离 2 6 10 2 10 0
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(2)若将A，B两点之间的距离记为d，试问d与m，n
有何数量关系？并用文字描述出来.
【解】d＝｜m－n｜，数轴上两个点之间的距离，
等于这两个点表示的数的差的绝对值.
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(3)已知A，B两点在数轴上表示的数分别为x和－1，则
A，B两点之间的距离d可表示为 .如
果d＝3，求x的值.
【解】当d＝3时，｜x＋1｜＝3，
所以x＝2或x＝－4.
｜x＋1｜
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14. [核心素养推理能力]阅读理解题：如图，从左边第一个
格子开始向右数，在每个格子中都填入一个整数，使得
其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.
(1)填空：x＝ ，●＝ ，○＝ .
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－3
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(2)试判断第2 025个格子中的数是多少，并给出相应
的理由；
【解】第2 025个格子中的数是－3.理由：格子中的数
从左到右依次为1，7，－3，1，7，－3……可知1，
7，－3按顺序循环出现.
因为2 025÷3＝675，
所以第2 025个格子中的数是－3.
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(3)若在前三个格子中任取两个数并用大数减去小数得到
差值，而后将所有的这样的差值累加起来称为累差
值.例如：前三个格子的累差值列式为｜1－●｜＋｜
1－○｜＋｜●－○｜，则前三个格子的累差值
为 .若取前十个格子，则前十个格子的累差值
为多少？(请给出必要的计算过程)
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【解】由于前10个格子中1出现了4次，而7与－3各出
现了3次，
所以前10个格子的累差值＝12×6＋12×4＋9×10＝
210.
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14(共27张PPT)
鲁教五四制 六年级上
第二章 有理数及其运算
2 认识有理数
第1课时 有理数
01
基础题
02
综合应用题
03
创新拓展题
目 录
CONTENTS
练点1 正数和负数
1. [2023·盐城]下列数中，属于负数的是( B )
A. 2 023 B. －2 023
C. D. 0
2. 下列各数中，既不是正数也不是负数的是( B )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
B
B
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3. [2024·聊城茌平区期中]已知下列各数：－2，＋3.5，0，
－ ，－0.7，11.其中正数有( B )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【点拨】
＋3.5，11是正数，故正数有2个.
B
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练点2 用正数和负数表示相反意义的量
4. [2024·临沂河东区校级月考]下列不是具有相反意义的量的
是( C )
A. 前进5米和后退5米
B. 收入30元和支出10元
C. 向东走10米和向北走10米
D. 超过5克和不足2克
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A. 前进5米和后退5米是具有相反意义的量；B. 收入
30元和支出10元是具有相反意义的量；C. 向东走10米和
向北走10米不是具有相反意义的量；D. 超过5克和不足2
克是具有相反意义的量.
【点拨】
【答案】
C
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5. [新考向·数学文化 2024·泰安新泰式期中]《九章算术》中
注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今
有两数若其意义相反，则分别叫作正数与负数.若收入80
元记作＋80元，则－60元表示( C )
A. 收入60元 B. 收入20元
C. 支出60元 D. 支出20元
【点拨】
因为收入与支出是具有相反意义的量，所以－60元表
示支出60元.
C
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6. 吐鲁番盆地中的艾丁湖湖面低于海平面154米，记作海拔
－154米，五岳之首的泰山是山东省最高的山峰，其山顶
高于海平面1 545米，应记作海拔 米.
【点拨】
因为高于海平面与低于海平面是具有相反意义的量，
所以高于海平面1 545米记作＋1 545米.
＋1 545
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练点3 有理数的相关概念及分类
7. [2023·江西]下列各数中，正整数是( A )
A. 3 B. 2.1
C. 0 D. －2
【点拨】
2.1是有限小数，即为分数；0既不是正数，也不是
负数；－2是负整数；只有3是正整数.
A
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8. [2024·青岛莱西市期中]下列有理数中，负分数是( C )
A. －7 B. 0
C. －3.6 D.
【点拨】
－7，0是整数， 是正分数，只有－3.6是负分数.
C
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9. [2024·烟台福山区期末]下列说法中正确的是( D )
A. 一个有理数不是正数就是负数
B. 正整数与负整数统称整数
C. 正分数、0、负分数统称分数
D. 正整数与正分数统称正有理数
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0既不是正数也不是负数，故选项A错误；正整数、
0、负整数统称整数，故选项B错误；正分数、负分数统
称分数，0不属于分数，故选项C错误；正整数、正分数
统称正有理数，故选项D正确.
【点拨】
【答案 】
D
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10. [母题教材P34随堂练习T2]把下列各数分别填入相应的
集合中：15，－ ，0.81，－3.8％，－3.1，171，0，
3.14.
负数集合： ；
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分数集合： ；
非负数集合：{ 15， 0.81， 171，0，3.14， …}；
整数集合：{ 15，171，0， …}.
15， 0.81， 171，0，3.14，
15，171，0，
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纠易错 对有理数及其相关定义理解不透而误判
11. 下列语句：
①不带“－”的数都是正数；
②一个正数的前面加上负号就是负数；
③数7没有符号；
④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数.
其中错误的有 .(填序号)
①③④
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【点拨】
0既不是正数，也不是负数；数7的符号为“＋”，
不是没有符号.
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12. [2024·烟台莱州市期中]下列语句正确的是( C )
A. “＋15米”表示向东走15米
B. 0 ℃表示没有温度
C. 非负数是正数和零
D. 0既是正数也是负数
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A. “＋15米”不一定表示向东走15米，原说法错
误；B. 0 ℃不是没有温度，而是表示零上温度和零下温
度的分界点，原说法错误；C. 非负数是正数和零，原说
法正确；D. 0 既不是正数也不是负数，原说法错误.
【点拨】
【答案】
C
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13. [2024·济南历城区校级月考]七年级(1)班期末考试数学的
平均成绩是83分，小亮得了90分，记作＋7分，小英的成
绩记作－3分，则小英得了( D )
A. 86分 B. 83分
C. 87分 D. 80分
【点拨】
因为小亮得了90分，比平均成绩高7分，记作＋7
分，所以小英的成绩记作－3分，意思是比平均成绩低3
分，因此小英得了80分.
D
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14. 某种商品的标准价格是200元，随着季节的变化，商品的
价格可浮动±10％.
(1)±10％的含义是什么？
【解】＋10％表示比标准价格高10％，－10％表示比
标准价格低10％.
(2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格；
【解】最高价格为200×(1＋10％)＝220(元)，最低价
格为200×(1－10％)＝180(元).
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(3)若以标准价格为基准，超过标准价格记作“＋”，低
于标准价格记作“－”，则该商品的价格浮动范围可
以怎样表示？
【解】以标准价格为基准，则最高价格记作＋20元，
最低价格记作－20元，所以该商品的价格浮动范围表
示为200±20元.
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15. [情境题·生活应用] 有一次同学聚会，小王的座位号与下
列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一
组数中的正整数的个数相等.
5，－8 ，0，－100，＋3 ，－4，11，－0.01，53，
－ ，－10％，＋200，－20.
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(1)小王、小李的座位号各是多少？
【解】这组数中负数有－8 ，－100，－4，－0.01，
－ ，－10％，－20，共7个，正整数有5，11，53，
＋200，共4个，
所以小王的座位号是7，小李的座位号是4.
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(2)若这次同学聚会的人数是小王座位号的2倍与小李座
位号的4倍之和，则这次聚会到了多少名同学？
【解】2×7＋4×4＝14＋16＝30(名).
答：这次聚会到了30名同学.
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16. [新视角·动点探究题 2024·淄博张店区期中]如图，一只甲
虫在5×5的方格(每小格边长为 1)上沿着网格线运动.规
定：向上、向右走为正，向下、向左走为负.从 A 到 B 记
为A→B(＋1，＋4)，从 B 到 A 记为B→A(－1，－4)，
其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，
请解答下列问题：
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(1)填空：A→C( ， )，B→C( ，
)，C→D( ， )；
＋3
＋4
＋
2
0
＋1
－2
(2)若这只甲虫的行走路线为 A→B→C→D，请计算该
甲虫走过的最少路程；
【解】该甲虫走过的最少路程为1＋4＋2＋1＋2＝10.
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(3)若这只甲虫从 A 处去 P 处的行走路线依次为(＋2，＋
2)，(＋2，－1)，(－2，＋3)，(－1，－2)，请在图中
标出 P 的位置.
【解】P的位置如图所示.
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