2.3一元一次方程（第2课时） 课件(共20张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共20张PPT)
2.3用公式法求解一元二次方程
（第2课时 利用一元二次方程解决面积问题）
第二章 一元二次方程
C
B
D
A
公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
课前热身
用公式法解方程 5x2-4x-12=0.
解：∵a=5,b=-4,c=-12，
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
本节学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
问题引入
问题 某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为xm，则由题意列的方程为_____________________.
C
B
D
A
利用一元二次方程解决面积问题
问题：在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造上个
花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.
16m
12m
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
小明设计：
如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
问题：他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
即 x2 - 14x + 24 = 0.
解方程得 x1 = 2 , x2 = 12.
将x =12 代入方程中不符合题意舍去.
答：小路的宽为2m.
16m
12m
x
x
解：设扇形半径为 xm, 根据题意得：
即 πx2 = 96.
解方程得 x1 = , x2 = (舍去),
答：扇形半径约为5.5m.
小亮设计：如右图所示.其中花园每个角上的
扇形都相同.
16m
12m
问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径
是多少吗？
小颖设计：如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.
16m
12m
xm
xm
问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
即 x2 - 28x + 96 = 0.
解方程得 x1 = 4 , x2 = 24,
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m.
典例精析
例1：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何
设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)
27cm
21cm
分析:这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形
长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之
比 ： .
9 7
9 7
9 7
27cm
21cm
解：设中央长方形的长和宽分别为9a和7a由此得到上下边衬宽度之比为：
解:设上下边衬为9xcm，左右边衬宽为7xcm依
题意得
解方程得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
方程的哪个根合乎实际意义
为什么
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
27cm
21cm
解:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题意得
解得
故上下边衬的宽度为:
故左右边衬的宽度为:
例2：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm ？
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
整理，得
解得 x1= x2=3
答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm .
方法点拨
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
例4：如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB和BC的长分别是多少米？
解：设AB长是x m.
(100-4x)x=400.
x2-25x+100=0.
x1=5，x2=20.
x=20,100-4x=20<25.
x=5,100-4x=80>25， x=5(舍去).
答：羊圈的边长AB和BC的长分别是20m,20m.
D
C
B
A
25米
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移,聚零为整,方便列方程
（2020 徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？
解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，
宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，
当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去
根据题意：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200
（2020 巴彦淖尔）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？
解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x） （24﹣2x）＝480，
解得：x1＝2，x2＝20，
当x＝20时，30﹣3x＝﹣30，24﹣2x＝﹣16，
不符合题意，
意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。
-------- 歌德