2.4因式分解法求解一元二次方程 课件(共19张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共19张PPT)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
第二章 一元二次方程
1.用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为
_________________的形式；
(x+m)2=n（n≥0）
2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为___________；
一般形式
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x－1)=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x－5)=0的解吗？
因式分解法解一元二次方程
引例：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)
分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0.
解：
公式法解方程10x-4.9x2=0.
解：
10x-4.9x2=0.
∵ a=4.9,b=-10,c=0.
∴ b2－4ac
= (－10)2－4×4.9×0
=100.
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a · b = 0，
那么 a = 0或 b = 0.
x =0
或
10-4.9x=0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
这种解法是不是很简单？
要点归纳
因式分解法的概念
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
因式分解法的基本步骤
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0；
(2) (y+2)(y-3)=0；
(3) (3x+6)(2x-4)=0；
(4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2；
(2) y1=-2,y2=3 ；
(3) x1=-2,x2=2；
(4) x1=0,x2=1.
典例精析
例1 解下列方程：
解：(1)因式分解，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
灵活选用方法解方程
知识点2
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x（x + 5）= 5（x + 5）； (2)（5x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式，
所以用因式分解法解答较快.
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可直接开平方法.
解：开平方,得
5x + 1 = ±1.
x 1= 0 , x2=
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0
（3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1.
分析：二次项的系数为1，可用配方法来解题较快.
解：配方,得
x2 - 12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
x1= , x2=
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式
3x2 - 4x - 1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
(x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0）
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
解法选择基本思路
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
因式分解法
概念
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2；
a2 -b2=(a +b)(a -b).
原理
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
步骤
简记歌诀：
右化零 左分解
两因式 各求解
1.（2020 兰州）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是
（　　）
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝1 C.x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2
D
2.方程 （x﹣5）（x﹣6）＝x﹣5 的解是（　　）
﹡
A．x＝5 B．x＝5 或x＝6
C．x＝7 D．x＝5 或 x＝7
D
3.方程（x+1）（x﹣2）＝0的根是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝2
D
4.（2020 泰安）方程：（2x+1）·（x﹣1）＝8（9﹣x）
﹣1的根为________________ ．
5.方程 的根是　 　
________________ ．
生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。
—— 左拉