2.2.2用配方法求解一元二次方程（第2课时） 课件(共20张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共20张PPT)
（第2课时）
2.2 用配方法求解一元二次方程
第二章一元二次方程
(1) 9x2=1 ；
(2) (x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2+6x+9 =5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;（重点）
2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点）
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别：
① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +8x－3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得 x + 3 = ±1.
解得 x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解3x2 +8x－3 = 0.
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
知识点1
所以x1= , x2 = -3 .
②解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
解：
即x + = 或 x + = .
移项得x + =± ,
配方得 x2 + x + ( ) 2 - ( )2 - 1 = 0,
（x + ）2 - =0.
两边同除以3,得x2 + x - 1=0.
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢
例1 解下列方程：
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 x+n = , 方程的两个根为
规律总结
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
例1.一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：
h=15t - 5t2.
小球何时能达到10m高？
解：将 h = 10代入方程式中.
15t - 5t2 = 10.
两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2,
配方,得 t2 - 3t + ( )2= ( )2 - 2,
（t - ）2 =
配方法的应用
知识点2
移项,得 （t - ）2 =
即 t - = ,或 t - = .
所以 t1= 2 , t2 = 1 .
①二次项系数要化为1；②在二次项系数化为1时，常数项也要除以二次项系数；③配方时，两边同时加上一次项系数一半的平方.
注意
即在1s或2s时，小球可达10m高.
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
例3.用配方法解方 程 x2 + x = 0.
解：方程两边同时除以 ,得
x2 - 5x + = 0 .
移项，得 x2 - 5x = - ,
配方, 得 x2 - 5x + （ ）2= （ ）2 - .
即 （x + ）2 = .
两边开平方,得 x - = ±
即 x - = 或 x - =
所以 x1 = x2 =
配方法的应用
类别 解题策略
1.求最值或
证明代数式
的值为恒正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
配方法
方法
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明
在方程两边都配上
1.（2021 南岗质检）用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0，配方
正确的是（　　）
A.（x-1）2=12
B．（x-2）2=3
C．（x-1）2=0
D．（x-2）2=4
B
2.（2021 鼓楼质检）用配方法解一元二次方程2x2-4x-1=0，配方正
确的是（　　）
3
2
A．（x-1）2=
B．（x-1）2=2
3
2
C．（x-2）2=
D．（x-2）2=2
A
3.（2021 覃塘期末）用配方法解一元二次方程x2+6x-5=0时，配
方后得到的方程为（　　）
A．（x+3）2=9
B．（x+3）2=14
D．（x-5）2=6
C．（x+6）2=41
B
4.嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2-6x+□=0． （1）若“□”表示常数-7，请你用配方法解方程：x2-6x-7=0； （2）若“□”表示一个字母，且一元二次方程x2-6x+□=0有实数根．求“□”的最大值．
解：（1）x2-6x-7=0，
x2-6x+32=7+32，即（x-3）2=16，
解得x1=7，x2=-1．
（2）设□中为m，则x2-6x+m=0，
由题意得，△=b2-4ac=（-6）2-4×1×m≥0，
解得m≤9，
∴□的最大的值为9．
人生不是受环境的支配，而是受自己习惯思想的恐吓．
——赫胥黎