2.5一元二次方程根与系数的关系 课件(共19张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共19张PPT)
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
第二章 一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式是什么？
2.如何用判别式b2 - 4ac来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
探索一元二次方程的根与系数的关系
算一算 解下列方程并完成填空：
（1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
一元二次方程 两 根 关 系
x1 x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
-4
1
x1+x2=-3
x1 · x2=-4
2
3
x1+x2=5
x1 · x2=6
-1
猜一猜
（1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？
(x-x1)(x-x2)=0.
x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，
x2+px+q=0，
x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
重要发现
如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q.
猜一猜
（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1， x2，那么，你可以发现什么结论？
证一证：
归纳总结
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1， x2，那么
注意
满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
（2）2x2 - 3x - 2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 .
所以：x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=－7.
答：方程的另一个根是 ，k=－7.
变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=1.
所以：x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知：
根与系数的关系
（韦达定理）
内 容
如果一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1， x2，那么
应 用
1.（2021 南部质检）方程3x2﹣5x﹣7＝0的两根为x1，x2，
下列表示根与系数关系的等式中，正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
D
2.（2015 南漳质检）一元二次方程﹣x2+2x＝﹣1的两个实数根为α，β，则α+β与α β的值分别为（　　）
A．2，﹣1 B．﹣2，﹣1 C．2，1 D．﹣2，1
A
3.（2015 周村质检）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（　　）
A.方程有两个不相等的实数根
B.方程有两个相等的实数根
C.方程无实数根
D.方程的实数根与m有关
A
4.（2018 瑞安质检）已知一个一元二次方程，
它的二次项系数为1，两根分别是2和3，则这个
方程是　　 ．
5.(2020 昆明质检）已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c＝0（a≠0）的系数满足a+c＝b，则此
方程必有一根为　　．
-1
使意志获得自由的途径，就是让意志摆脱任性。
—— 黑尔