4.4探索三角形相似的条件（第1课时）课件 (共22张PPT)2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共22张PPT)
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
（第1课时 探索三角形的相似的条件）
1.__________________________的两个多边形叫做
相似多边形．
2.相似多边形的特征__________________________．
如果△ ABC∽ △DEF,
那么____________ __________________________.
各角分别相等，各边成比例
对应边成比例，对应角相等
∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
本节学习目标
1.通过探索，掌握相似三角形的判定定理1.
2.通过探索，掌握相似三角形的判定定理2，并能运用相似三角形的判定定理2解决数学问题．
3.比较三角形全等的判定定理与三角形相似的判定定理,明确其联系与区别.
它们是相似三角形吗？为什么？
A
B
C
5
3
82°
47°
6
A′
B′
C′
10
6
12
51°
82°
观察两个直角三角尺：
从直观上看，这两个三角形相似吗？
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
猜想
三个内角对应相等．
画一个三角形，使三个角分别为60°，45°, 75°．
①用刻度尺量出这个三角形三边的长度；
②看看与同桌的三角形的对应边是否成比例．
即如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三
个角对应相等，那么这两个三角形_______．
相似
相似三角形的判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似
用数学符号表示：
在ΔABC与ΔA′B′C′中，
∵ ∠A=∠A′，∠B=∠B′
∴ ΔABC ∽ ΔA′B′C′．
(两角分别相等的两个三角形相似)
如果两个三角形仅有一对角是相等的，那么它们是否 一定相似？
【例1】已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求证：△ABC∽△DEF．
A
C
B
40°
80°
F
E
D
80°
60°
证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80° ，
∴∠C=180°－∠A－∠B
=180°－40°－80°＝60°，
∴∠C=∠F=60°．
∵∠B=∠E=80°，
∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似）．
解：相似.理由如下：
1．已知： 在△ABC和△DEF中，∠A=46°，∠B=74°，∠D=60°，∠E=74°．这两个三角形相似吗？请说明理由．
【跟踪训练】
∵ 在△ABC中，∠A=46°，∠B=74°，
∴ ∠C=180°－∠A－∠B
=180°－46°－74°＝60°，
∴ ∠C=∠D=60°.
∵∠B=∠E=74°，
∴ △ABC∽△FED（两角分别相等的两个三角形相似）.
解（1）∵ DE∥BC （已知），
【例2】在△ABC 中，D，E 分别是AB，AC上的点，且DE∥BC,
（1）试说明: AD·AC=AE·AB.
（2）若AD=4,AE=3,AB=6,求AC．
A
B
C
D
E
∴ ∠AED＝∠C （两直线平行，同位角相等），
∵ ∠ A ＝∠A（公共角）.
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
（2）由（1）知AD·AC=AE·AB 即4·AC=3×6，
解得AC=4.5．
∴AD:AB=AE:AC（相似三角形对应边成比例）
即AD·AC=AE·AB.
A
B
C
E
D
2.在△ABC 中， D，E 分别是BA，CA延长线上的点，且DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似．
解：∵ DE∥BC （已知），
【跟踪训练】
∴ ∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠EAD＝∠BAC（对顶角相等）,
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）.
图中两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为 ．将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝__AC时，△ADE与△ABC相似．
观察下图，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
E
猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
A
B
C
D
E
F
【例3】证明：图中△AEB和△FEC相似．
证明∵　
∴　
∴△AEB∽△FEC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∵∠AEB＝∠FEC，
【例题】
3.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ ）
（A）∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°
（B）∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80°
（C）∠A=∠D=50° AB=3 AC=5 DE=6 DF=10
（D）∠B=∠E=70° AB:DE=AC:DF
【跟踪训练】
D
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，
如果不是夹角，它们不一定相似．
识别相似
选方法
找出识别方法中所需的条件
看已知条件
C
2.（2021 高邮期末）已知等腰△ABC的底角为75°，则下
列三角形一定与△ABC相似的是（　　）
A．顶角为30°的等腰三角形
B．顶角为40°的等腰三角形
C．等边三角形
D．顶角为75°的等腰三角形
A
3.（2021 大洼期末）如图正方形网格上的三角形（1）（2）
（3）中与△ABC相似的是（　　）
A．（1） B．（2）
C．（3） D．都不与△ABC相似
B
4.（2021 永定期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE与△EFC相似．
【分析】根据平行线的性质可知∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．
证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C．
又∵EF∥AB，
∴∠A＝∠FEC．
∴△ADE∽△EFC．
5.（2021 南昌模拟）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
一生的生活是否幸福、平安、吉祥，则要看他的处世为人是否道德无亏，能否作社会的表率.因此，修身的教育，也成为他的学校工作的主要部分.
——裴斯泰洛齐