4.4探索三角形相似的条件（第2课时）课件 (共29张PPT)2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共29张PPT)
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
（第2课时探索三角形的相似的条件）
你已经知道的相似三角形的判定定理有哪些？
判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
本节学习目标:
1.通过探索，掌握相似三角形的判定定理3，并能运用相似三角形的判定定理3解决数学问题．
2.掌握黄金分割的相关概念及相关计算.
如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？
猜想
在下图的边长为1的方格上任画一个三角形，再画出第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？
我们可以发现这两个三角形相似．
结论
三角形相似的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似．
例1.在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′=30cm．
证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明：∵　
∴　
∴△ABC∽△A′B′C′（三边成比例的两个三角形相似)．
【例题】
1.已知△ABC和△DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12，BC=15，AC＝24
DE＝16，EF＝20，DF＝30
(2)AB=4，BC=8，AC＝10
DE＝20，EF＝16，DF＝8
(1)AB=3，BC=4，AC＝6
DE＝6，EF＝8，DF＝9
是
否
否
（注意：大对大，小对小，中对中．）
【跟踪训练】
巴台农神庙
胡夫金字塔
巴黎圣母院
维纳斯
黄金分割
黄金建筑设计
东方明珠塔，塔高462.85m．
设计师在295 m处设计了一个
上球体，使平直单调的塔身
变得丰富多彩，非常协调、
美观．
如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点．试确定支撑点C到端点B的距离以及支撑点D到端点A的距离．
A
B
C
D
C
A
B
D
古埃及胡夫金字塔
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异．但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金比0.618
来建立，他们认为这样的长方形看起来比较美观；其大理
石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的.
古希腊巴台农神庙
由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美.
五角星是我们常见的图形．
度量点C到点A、B的距离，我们可以发现：
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果 或 或
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割(golden section),
点C叫作线段 AB 的黄金分割点, AC与AB的比
叫作黄金分割比.
C
A
B
A
C
B
AC2=AB BC，
黄金分割的定义
用尺规作图 找出黄金分割点:
如图,已知线段AB.按照如下方法作图:
1.经过点B作BD⊥AB, 使BD = AB .
2.连接AD,在AD上截取 DE=DB ;
3.在AB上截取 AC=AE.
根据上述作图回答下列问题：
1.如果设AB=2, 那么BD=_____；AD=____；AC=_______；
BC=________．
2.点C是线段AB的黄金分割点吗
是；因为通过计算得知：
AB
D
E
C
1
如图, 设AB是已知线段, 在AB上作正方形ABCD ;取AD
的中点E, 连接EB; 延长DA至F, 使EF=EB ;以线段AF
为边作正方形AFGH .点H就是AB的黄金分割点 .
提示：设AB=2, 那么AE=__；EB=___；
EF=____；AF=_____．
所以, AH=_____; HB=______;
______ , ______ .
即： 因此, 点H就是AB的黄金分割点 .
1
A
G
H
F
E
C
D
B
古希腊的巴台农神庙，如果按照它的
长和宽画成矩形ABCD，并以矩形ABCD
的宽为边在内部作正方形AEFD，那么
我们可以惊奇地发现
点E是AB的黄金分割点吗
矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗
A E B
D F C
想一想 怎样证明“一个点是黄金分割点”
推证：
分析：欲证“E是AB的黄金分割点”，即证：

如果矩形的长为a,宽为b,且满足条件：
那么此矩形称为黄金矩形．
黄金矩形
【例题】
例2.根据科学分析，舞台上节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点处，灯光，音响效果最好，已知学校礼堂舞台宽20 m，如果你是节目主持人，你将站在何处？
【解析】线段有两个黄金分割点，所以有两个位置选择.20 0.618=12.36 m，所以应选择站在离舞台边12.36 m或者7.64 m处.
(1)已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列等式
中正确的是（ ）
A．AB2=AC·BC B．BC2= AC·AB
C．AC2=BC·AB D．AC2=2AB·BC
(2)把1m的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为________.
(3)把1m的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长是_________.
(4)把长度为20cm的线段黄金分割成两段，则较短的一段长
度为 cm.
C
【跟踪训练】
到目前为止，我们学习了哪些识别三角形相似的方法？
两角分别相等的两个三角形相似.
(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
(3)三边成比例的两个三角形相似.
运用定义
三个角对应相等
三边对应成比例
1.如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗 你用什么方法来支持你的判断
C
B
A
A′
B′
C′
解：这两个三角形相似．理由如下：
设1个小方格的边长为1，则
你还有不同的证法吗？
2. 下列说法正确的是（ ）
A.每条线段有且仅有一个黄金分割点
B.黄金分割分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍
C.若点C把线段AB黄金分割，则AC2=AB·BC
D.以上说法都不对
【解析】选B.0.618是黄金比的近似值.
B
3.已知线段AB=10 cm，点C,D是线段AB的两个黄金分割点，则线段CD= .
【解析】CD=
答案：
4．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的
一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为
20 cm，则它的宽约为（ 　 ）
A.12.36 cm B.13.6 cm
C.32.36 cm D.7.64 cm
【解析】选A.20×0.618=12.36（cm）.
A
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤劳动而能够得到的。
——爱迪生