4.5 相似三角形判定定理的证明 课件(共28张PPT) 2024-2025学年数学北师版九年级上册

(共28张PPT)
第四章 图形的相似
4.5 相似三角形判定定理的证明
2．全等三角形的判定方法有哪些？
1．什么叫全等三角形
1．什么叫相似三角形
2．要同时满足六个元素，判定时感觉太繁琐，想不想找一些简单的方法来判定两个三角形相似呢？
AAS
ASA
SAS
SSS
HL
只要确定三角形的形状，不必考虑其大小，究竟需要哪些条件呢？
活动：图中哪些三角形相似？
本节学习目标
1. 掌握两个三角形相似的三个判定定理的证明：两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似.
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的实际问题，进一步提高学生的合情推理能力和初步的逻辑判断能力.
你能用最少的条件、最简捷的方法画一个三角形与展示的三角形相似吗？
方案一:两角
方案二:两边及其夹角
方案三:三边
60°
45°
75°
【议一议】
你能用最少的条件、最简捷的方法画
一个三角形与我手中的三角形相似吗？
方案一:画一个△A′B′C′
使∠A′=∠A=60°， ∠B′=∠B=45°.
①同桌间先进行比较所作三角形，进行形状直观判定；
②在实物投影仪上与老师手中的三角形进行比较；
③猜测:若两个角对应相等，能判定两个三角形相似.
【做一做】
60°
45°
75°
C
B
A
A
B
C
D
E
解：（1）DE//BC
∠ADE 与∠ABC是同位角 　　　∠AED与∠ACB是同位角
∠ADE =∠ABC，∠AED = ∠ACB
如图,D，E分别是边AB，AC上的点,DE∥BC.
(1)图中有哪些相等的角？
(2)找出图中的相似三角形，并说明理由.
(3)写出图中成比例的线段.
【例题】
（２）△ADE∽△ABC
∠ADE ＝∠ABC　　　∠AED＝∠ACB
△ADE∽△ABC
（3）△ADE∽△ABC
=
=
1．在上面的例题的条件下，
=
吗？
=
吗？
2．若DE与BC不平行，△ADE与△ABC还可能相似吗？说明理由.
A
B
C
D
E
【做一做】
应用新知：直线a、直线b相交于点A，点B，C分别在直线a、直线b上，在直线a、直线b上分别找两点D，E，使△BAC与△DAE相似，请尽量多地画出点D，E的位置.
A
B
C
a
b
A
B
C
D
E
E
D
C
B
A
相似三角形的常见类型
“A”型
“x”型
A
B
C
D
E
A
B
C(E)
D
“共角”型
“共角共边” 型
“蝴蝶”型
=
F
E
D
C
B
A
△DEF
∽
△ABC
全等判定：
(对应)边角
(6组量)
判定方法
角边角
角角边
边边边
边角边
三角分别相等, 三边成比例
1.两角分别相等
3.两边成比例且夹角相等
2.三边成比例
4.两边成比例且其中一边的对角相等
6 cm
4 cm
4.8 cm
3cm
2.4 cm
2cm
是否有△DEF ∽△ABC？
A
B
C
F
E
D
三边成比例
A
B
C
F
E
D
∠E =∠B
△DEF ∽△ABC
F
F
E
D
∠D＝∠A
∠D＝∠A
∠E＝∠B
△DEF ∽△ABC
6 cm
4 cm
4.8 cm
A
B
C
3 cm
2.4 cm
2 cm
F
E
D
三边成比例的两个三角形相似！
两个等边三角形一定相似吗？
△ABC与△A′B′C′都是等边三角形
A
C
B
c
a
b
A′
B′
C′
c′
a′
b′
是否有
△ABC∽△A′B′C′
【议一议】
A
C
B
c
a
b
△ABC与△A′B′C′都是等边三角形，
A′
B′
C′
c′
a′
b′
A
B
C
C'
B'
A'
6 cm
4 cm
3 cm
2 cm
两边成比例且夹角相等.
△A′B′C′ ∽△ABC.
∠B′＝∠B
∠B′＝∠B
A
B
C
C'
B'
A'
△A′B′C′∽△ABC
∠B′＝∠B
C'
B'
A'
C'
B'
A'
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
G
3.2
C
3.2
50°
)
4
A
B
2
1.6
50°
)
E
D
F
上述判定方法中的“角”一定是两对应边的夹角吗？
两边成比例且一边的对角相等的两三角形不一定相似.
【议一议】
下面每组的两个三角形是否相似？请说说你的理由：
3.5
D
F
E
2.5
2
C
A
4
5
5
E
F
B
4
7
A
C
B
4
5
⑴
⑵
【做一做】
判断方法 两个三角形相似的条件 两个三角形全等的条件
1 两角分别相等 两个角和一边对应相等
2 两边成比例且夹角相等 两边对应相等，夹角相等
3 三边成比例 三边对应相等

D
2.（2021 红桥模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和
AC的中点，若S△ADE=5，则S△ABC等于（　　）
A．30 B．25 C．22.5 D．20
D
C
4.（2021 江都模拟）如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
【分析】（1）通过矩形性质、折叠性质可以即可证明∠AEF=∠DFC，即可即可求证．
（2）先计算出DF，AF的长度，通过勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，
据折叠的性质得：∠EFC=∠B=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；
（2）解：根据折叠的性质得：CF=BC=10，

∴AF=4，
∵AE=AB-BE=8-EF，
∴EF2=AE2+AF2，
即：EF2=（8-EF）2+42，
解得：EF=5
追求客观真理和知识是人的最高和永恒的目标。 ——-爱因斯坦