2.5一元二次方程的根与系数的关系 教案 2024-2025学年数学北师版九年级上册

*5　一元二次方程的根与系数的关系
1.理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间的关系.
2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知数.
3.会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差.
4.经历探索一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a,b,c之间的关系的过程.
重点:能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知数;
难点:会求已知方程的两根的倒数和与平方和.
一、创设情境
同学们,我们来做一个游戏,看谁能更快速地说出下列一元二次方程的两根和与两根积.
(1)x2+3x+4=0.　(2)6x2+x-2=0.
(3)2x2-3x+1=0.
二、探索归纳
计算填表(验证第一环节游戏的结果)
方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
x2+3x+4=0
6x2+x-2=0
2x2-3x+1=0
问题:
1.你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗
2.刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系,那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢
3.请根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a,b,c之间的关系:__________.
4.你能证明上面的猜想吗 请证明,并用文字语言叙述说明.
(分小组讨论以上的问题,并作出推理证明)
尝试题1:根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积
(方程两根为x1,x2,k是常数).
(1)2x2-3x-1=0:x1+x2=______,x1x2=______.
(2)3x2+5x=0:x1+x2=__________,x1x2=______.
(3)x2+7x=-6:x1+x2=________,x1x2=______.
(4)5x2+kx-6=0:x1+x2=______,x1x2=______.
(学生迅速演算或口算)
尝试题2:利用根与系数的关系,求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的
(1)平方和;(2)倒数和;(3)差.
尝试题3:已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1,求它的另一个根及k的值.
三、交流反思
师生互相交流总结
在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c有哪些作用
①二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程;
②当a≠0时,b=0,a、c异号,方程两根互为相反数;
③当a≠0时,Δ=b2-4ac可判定根的情况;
④当a≠0,b2-4ac≥0时,x1+x2=______,x1x2=__________.
⑤当a≠0,c=0时,方程必有一根为0.
四、检测反馈
1.已知三角形的两边长a,b是方程x2-12x+k=0的两个根,三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长.
2.变式训练:
已知三角形的两边长a,b是方程x2-12x+k=0的两个根,三角形的第三条边c能等于15吗
3.利用根与系数的关系,求作一个一元二次方程,使它的两根为2和3.
五、布置作业
课本P51　习题2.8　第1、2、3题
六、板书设计
一元二次方程根与系数的关系
1.探究: 2.归纳: 3.练习:
七、教学反思
本节课充分以学生为主体进行教学,采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学.让学生多实践,从实践中反思过程,经历韦达定理的发生发展过程,并从中体验成功的乐趣.引导学生发现问题,师生共同解决问题.指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径,并将应用问题和规律归类.