菱形的性质与判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形性质的应用
1.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,DH⊥BC于点H.若AC=8,BD=6,则DH的长度为 (C)
A. B. C. D.4
2.(2024·贵阳乌当区质检)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A,B的坐标分别为(0,2),(-1,0),则点D的坐标为 (A)
A.(,2) B.(2,) C.(,2) D.(2,)
3.如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为___64___度.
4.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是(0,1),且BC=,则点A的坐标是___(2,0)___.
5.(2024·贵阳期中)如图,菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是 ___16___.
知识点2 特殊菱形的性质
6.(2023·丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 (D)
A. B.1 C. D.
7.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°,建立平面直角坐标系如图所示,则点C的坐标是___(2,)___.
8.(2024·安顺期末)在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,且BE=CE,AD=4 cm.
(1)求BD的长;
(2)求菱形ABCD的面积.
【解析】(1)连接AC,交BD于点O,
∵AE⊥BC于点E,且BE=CE,∴AB=AC,
∵在菱形ABCD中,∴AB=BC,
∴△ABC是等边三角形,∴∠ABO=30°,
∵AD=4 cm,∴AB=4 cm,BO=2 cm,
∴BD=4 cm;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AE=BO=2cm,
∴S菱形ABCD=BC·AE=4×2=8cm2.
【B层 能力进阶】
9.(2024·六盘水期中)如图所示,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点,下列结论中错误的是 (D)
A.S△ADE=S△EOD
B.四边形BFDE是中心对称图形
C.△DEF是轴对称图形
D.∠ADE=∠EDO
10.如图的菱形ABCD中,∠B=40°,点E是AB边上一点,将△BEC沿CE翻折,点B恰好落在边DA延长线上的F处,则∠BCE的度数是(A)
A.20° B.25° C.30° D.35°
11.如图,在菱形ABCD中,BC=2,∠C=120°,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则AP+PQ的最小值为 ___.
12.(2022·铜仁中考)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,延长BC到E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=,则BD的长为___2___(结果保留根号).
13.将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放,点A,E,B,D依次在同一条直线上,连接AF,CD.
(1)求证:四边形AFDC是平行四边形;
(2)已知BC=6 cm,当四边形AFDC是菱形时,AD的长为________cm.
【解析】(1)∵△ACB≌△DFE,
∴AC=DF,∠CAB=∠FDE,∴AC∥DF,
∴四边形AFDC是平行四边形;
(2)连接CF交AD于点O,
∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=6 cm,∴AB=2BC=12 cm,∴AC==6 cm.
∵四边形AFDC是菱形,∴CF⊥AD,AD=2AO,∴∠AOC=90°,
∴OC=AC=3 cm,
∴AO===9 cm,
∴AD=2AO=18 cm.
答案:18
【C层 创新挑战（选做）】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,已知菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,E是BC边上一动点,F是CD边上一动点,且BE=CF,连接AE,AF.
(1)∠EAF的度数是___________.
(2)求证:AE=AF.
(3)延长AF交BC的延长线于点G,当∠BAE=30°时,求点F到BG的距离.
【解析】(1)连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵∠B=60°,∴△ABC是正三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠ACB=60°,
在△ABE和△ACF中,
,
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴∠BAE=∠CAF,
∴∠EAF=∠EAC+∠CAF
=∠EAC+∠BAE=60°.
答案:60°
(2)由(1)可知,△ABE≌△ACF,∴AE=AF.
(3)连接AC,当∠BAE=30°时,
∵∠B=60°,∴∠AEB=90°,
∵△ABC是正三角形,
∴E为BC的中点,
∴F为CD的中点,
在Rt△ABE中,AB=6,BE=3,
∴AE==3,
过点F作FH⊥CG于点H,
∵F为CD的中点,FH∥AE,
∴FH为△AEG的中位线,
∴FH=AE=,
∴点F到BG的距离为. 菱形的性质与判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的判定
1.(2024·贵阳期中)某班同学在主题班会课上制作了象征“绿色与健康”的绿丝带(丝带的对边平行且宽度相同),如图,丝带重叠的部分一定是(C)
A.矩形 B.正方形
C.菱形 D.无法判断
2.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,请你添加一个条件___AB=AC(答案不唯一)___,使四边形BECF是菱形.
3.如图,在Rt△ABD中,∠ABD=90°,E为AD的中点,AD∥BC,ED=BC.求证:四边形BCDE是菱形.
【证明】∵AD∥BC,ED=BC,
∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,E为AD的中点,
∴BE=DE=AD,
∴平行四边形BCDE是菱形.
知识点2 菱形的性质与判定的综合应用
4.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=3 cm,四边形AOBC的面积为12 cm2,则OC的长为 (B)
A.5 cm B.8 cm C.10 cm D.4 cm
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为 ___24___.
6.如图,在 ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证: ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求 ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠D,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°,
∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD,∴AB=AD,
∴ ABCD是菱形.
(2)连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,AO=OC=3,
∵AB=5,AO=3,∴BO===4,∴BD=2BO=8,
∴S ABCD=×AC·BD=24.
【B层 能力进阶】
7.(2024·毕节质检)如图,在平行四边形ABCD中(AD>AB),以点A为圆心,AB为半径画弧交AD于点F,连接BF,分别以点B和点F为圆心、以适当长为半径作圆弧交于点G,连接AG并延长交BC于点E. 若BF=12,AB=10,则AE的长为 (B)
A.18 B.16 C.12 D.20
8.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO,要使得四边形ABCD是菱形,应添加的条件是___AB=BC(答案不唯一)___(只填写一个条件).
9.如图,等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD,BD,则下列结论:①AD=BC;②BD,AC互相平分;③四边形ACED是菱形;④∠ACD=∠DCE,其中正确的是___①②③④___.(填所有正确答案的序号)
10.(2024·贵阳质检)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
【证明】(1)∵在△ABC和△ADC中,
,∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BAC=∠DAC.
(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,
∵∠BAC=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD,∵AB=AD,CB=CD,∴AB=CB=CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.
【C层 创新挑战（选做）】
11.(模型观念、推理能力、运算能力)(2024·杭州质检)如图,四边形ABCD,点E为BC边的中点,连接BD交AE于点F,连接CF,已知AB=CD,AD=BC,AF=CF.
(1)判断四边形ABCD的形状;
(2)新知识:三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.利用新知识解决问题:若AB=5,CF=3,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)四边形ABCD是菱形,理由如下:如图,连接AC,交BD于点O.
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.
在△OAF与△OCF中,
,
∴△OAF≌△OCF(SSS),∴∠AOF=∠COF,
∵∠AOF+∠COF=180°,∴∠AOF=∠COF=90°,∴AC⊥BD,∴ ABCD是菱形;
(2)∵点E为BC边的中点,点O为AC边的中点,∴点F为△ABC的重心,∴BF=2OF.
设OF=x,OA=OC=y,则BF=2x,OB=3x,
∵∠AOB=90°,∴OF2+OC2=CF2,OB2+OC2=BC2,∴x2+y2=32①,(3x)2+y2=52②,
②-①,得8x2=16,∴x=(负值已舍去),
∴y=(负值已舍去),
∴AC=2OA=2y=2,BD=2OB=6x=6,
∴S菱形ABCD=AC·BD=×2×6=6. 菱形的性质与判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形的判定
1.(2024·贵阳期中)某班同学在主题班会课上制作了象征“绿色与健康”的绿丝带(丝带的对边平行且宽度相同),如图,丝带重叠的部分一定是( )
A.矩形 B.正方形
C.菱形 D.无法判断
2.如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF,请你添加一个条件___ ___,使四边形BECF是菱形.
3.如图,在Rt△ABD中,∠ABD=90°,E为AD的中点,AD∥BC,ED=BC.求证:四边形BCDE是菱形.
知识点2 菱形的性质与判定的综合应用
4.如图,在∠MON的两边上分别截取OA,OB,使OA=OB;分别以点A,B为圆心,OA长为半径作弧,两弧交于点C;连接AC,BC,AB,OC.若AB=3 cm,四边形AOBC的面积为12 cm2,则OC的长为 ( )
A.5 cm B.8 cm C.10 cm D.4 cm
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB=AD=5,BD=8,∠ABD=∠CDB,则四边形ABCD的面积为 ___ ___.
6.如图,在 ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证: ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求 ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
7.(2024·毕节质检)如图,在平行四边形ABCD中(AD>AB),以点A为圆心,AB为半径画弧交AD于点F,连接BF,分别以点B和点F为圆心、以适当长为半径作圆弧交于点G,连接AG并延长交BC于点E. 若BF=12,AB=10,则AE的长为 ( )
A.18 B.16 C.12 D.20
8.如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AO=CO,BO=DO,要使得四边形ABCD是菱形,应添加的条件是___ ___(只填写一个条件).
9.如图,等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD,BD,则下列结论:①AD=BC;②BD,AC互相平分;③四边形ACED是菱形;④∠ACD=∠DCE,其中正确的是___ ___.(填所有正确答案的序号)
10.(2024·贵阳质检)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)求证:∠BAC=∠DAC.
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形.
【C层 创新挑战（选做）】
11.(模型观念、推理能力、运算能力)(2024·杭州质检)如图,四边形ABCD,点E为BC边的中点,连接BD交AE于点F,连接CF,已知AB=CD,AD=BC,AF=CF.
(1)判断四边形ABCD的形状;
(2)新知识:三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1.利用新知识解决问题:若AB=5,CF=3,求四边形ABCD的面积.菱形的性质与判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 菱形性质的应用
1.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,DH⊥BC于点H.若AC=8,BD=6,则DH的长度为 ( )
A. B. C. D.4
2.(2024·贵阳乌当区质检)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上,若点A,B的坐标分别为(0,2),(-1,0),则点D的坐标为 ( )
A.(,2) B.(2,) C.(,2) D.(2,)
3.如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠ADB=32°,则∠DCE的度数为___ ___度.
4.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0,0),点B的坐标是(0,1),且BC=,则点A的坐标是___ ___.
5.(2024·贵阳期中)如图,菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是 ___ ___.
知识点2 特殊菱形的性质
6.(2023·丽水中考)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为 ( )
A. B.1 C. D.
7.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=120°,建立平面直角坐标系如图所示,则点C的坐标是___ ___.
8.(2024·安顺期末)在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,且BE=CE,AD=4 cm.
(1)求BD的长;
(2)求菱形ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
9.(2024·六盘水期中)如图所示,O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点,E,F分别是OA,OC的中点,下列结论中错误的是 ( )
A.S△ADE=S△EOD
B.四边形BFDE是中心对称图形
C.△DEF是轴对称图形
D.∠ADE=∠EDO
10.如图的菱形ABCD中,∠B=40°,点E是AB边上一点,将△BEC沿CE翻折,点B恰好落在边DA延长线上的F处,则∠BCE的度数是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
11.如图,在菱形ABCD中,BC=2,∠C=120°,Q为AB的中点,P为对角线BD上的任意一点,则AP+PQ的最小值为 __.
12.(2022·铜仁中考)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=80°,延长BC到E,在∠DCE内作射线CM,使得∠ECM=30°,过点D作DF⊥CM,垂足为F.若DF=,则BD的长为___ __(结果保留根号).
13.将两个完全相同的含有30°角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放,点A,E,B,D依次在同一条直线上,连接AF,CD.
(1)求证:四边形AFDC是平行四边形;
(2)已知BC=6 cm,当四边形AFDC是菱形时,AD的长为________cm.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)如图,已知菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,E是BC边上一动点,F是CD边上一动点,且BE=CF,连接AE,AF.
(1)∠EAF的度数是___________.
(2)求证:AE=AF.
(3)延长AF交BC的延长线于点G,当∠BAE=30°时,求点F到BG的距离.
