矩形的性质与判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形判定方法的选用
1.(2024·遵义期中)在四边形ABCD中,添加下列一个条件,仍不能判定平行四边形为矩形的是( )
A.AB=AD B.AB⊥BC
C.AC=BD D.∠B=∠C
2.(2024·铜仁模拟)甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形,他们各自做了如下检测,你认为最有说服力的是 ( )
A.甲量得窗框的一组邻边相等
B.乙量得窗框两组对边分别相等
C.丙量得窗框的对角线相等
D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
3.如图,过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC,BD的平行线,若所围成的四边形EFGH是矩形,则原四边形ABCD需满足的条件是___ ___.(只需写出一个符合要求的条件)
4.如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s,则最快___ ___s后,四边形ABPQ成为矩形.
5.(2022·六盘水中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAC,CF平分∠ACD.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是矩形 请写出证明过程.
知识点2 矩形性质与判定的综合应用
6.如图, ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,△ABO是等边三角形,若AC=8 cm,则平行四边形ABCD的面积是 ( )
A.16 cm2 B.4 cm2
C.8 cm2 D.16 cm2
7.(2024·贵阳期末)如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BD交AD于点E,已知AB=5,△DOE的面积为,则DE的长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.5
8.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且OA=OB=OC=OD,则它是___ ___形.若∠AOB=60°,则AB∶AC=___ ___.
【B层 能力进阶】
9.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,对于下列条件:①∠1+∠3=90°;②BC2+CD2=AC2;③∠1=∠2;④AC⊥BD.能判定四边形ABCD是矩形的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(生活实际)(2024·广州期中)满洲窗作为岭南建筑的一个独特符号,彰显着岭南文化的兼收并蓄.工人师傅在制作窗框时,分三个步骤进行:
(1)如图1,先截出两对符合规格的木条,使AB=CD,EF=GH;
(2)摆成如图2所示的四边形;
(3)________,矩形窗框制作完成.
下列方法中不能作为制作工序的第(3)个步骤的是 ( )
A.将直角尺紧靠窗框一个角,调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D.调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
11.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD,BC于点E,F.若AB=4,BC=6,则图中阴影部分的面积为( )
A.6 B.10 C.12 D.24
12. (2024·黔西南州质检)如图,在△ABC中,AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,则四边形ADCF的形状为___ ___.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(模型观念、推理能力)(2023·贵州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,延长CB至D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话:
小星:由题目的已知条件,若连接BE,则可证明BE⊥CD. 小红:由题目的已知条件,若连接CE,则可证明CE=DE.
(1)请你选择一位同学的说法,并进行证明;
(2)连接AD,若AD=5,=,求AC的长. 矩形的性质与判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形性质的应用
1.(2024·贵阳花溪区期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,如果∠ADB=25°,那么∠AOB的度数为 (A)
A.50° B.45° C.40° D.35°
2.(2024·六盘水期末)如图,AC是矩形ABCD的对角线,分别以点A,C为圆心,以大于AC的长为半径画弧,两弧交于点E,F,连接EF,直线EF交AD于点M,交BC于点N,若AM=8,DM=2,则边AB的长为 (D)
A.6 B.10 C.2 D.2
3.(2022·黔东南州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是___20___.
知识点2 直角三角形斜边上中线的性质
4.(2024·贵阳观山湖区质检)如图,一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B沿地面向右滑行,则在此滑动过程中,点P到点O的距离 (B)
A.变小 B.不变
C.变大 D.无法判断
5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=20°,则∠BDC的度数为 (B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·武汉期末)直角三角形两边的长为6和8,则该直角三角形斜边上的中线长为 ___4或5___.
7.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.
(1)连接DE,求证:BD=DE;
(2)若∠ABE=25°,求∠BEC的度数.
【解析】(1)∵CD是AB边上的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∵BE是AC边上的中线,∴AE=CE=DE,
∵BD=CE,∴BD=DE;
(2)∵BD=DE,
∴∠DBE=∠DEB=25°,
∵∠ADE=∠DBE+∠DEB=50°,
∴∠A=∠ADE=50°,
∴∠BEC=∠A+∠ABE=50°+25°=75°.
8.如图,已知AD⊥BD,AC⊥BC,AC与BD交于点F,E为AB的中点.
(1)证明:DE=CE;
(2)试探究∠DEC与∠DFC的数量关系.
【解析】(1)∵AD⊥BD,E为AB的中点,
∴DE=AB,
∵AC⊥BC,E为AB的中点,
∴CE=AB,
∴DE=CE;
(2)∠DFC=90°+∠DEC.
理由:∵ED=EB,∴∠1=∠2,
∵EA=EC,∴∠3=∠4,
∵∠DEA=∠1+∠2=2∠1,
∠BEC=∠3+∠4=2∠4,
∴2∠1+2∠4=180°-∠DEC,
即∠1+∠4=90°-∠DEC,
∵∠DFC=∠4+∠5=∠4+∠1+∠DEC,
即∠DFC=90°-∠DEC+∠DEC,
∴∠DFC=90°+∠DEC.
【B层 能力进阶】
9.(2024·宁波期中)如图,在△ABC中,D是BC上的一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=3,则AC的长是 (D)
A.3 B.4 C.5 D.6
10.(2024·贵阳南明区期中)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,CD上的点,连接BE,EF,BE⊥EF,且BE=EF,若AB=5,CF=2,则矩形ABCD的面积为 (B)
A.35 B.40 C.42 D.50
11. (2023·贵州中考)如图,在矩形ABCD中,点E为矩形内一点,且AB=1,AD=,∠BAE=75°,∠BCE=60°,则四边形ABCE的面积是 -___.
12.如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线,DG垂直平分EC,点G为垂足.
(1)求证:DC=BE;
(2)请探究∠AEC与∠BCE的关系.
【解析】(1)∵AD是高,∴AD⊥BD,∵CE是中线,∴E为AB的中点,∴AE=BE=DE,
∵DG垂直平分EC,∴DC=DE,∴DC=BE;
(2)设∠BCE=α,∵DE=DC,∴∠DEC=∠DCE=α,∴∠BDE=∠DEC+∠DCE=2α,
∵BE=DE,∴∠B=∠BDE=2α,∴∠AEC=∠B+∠BCE=3α,∴∠AEC=3∠BCE.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,在矩形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,A点的坐标为(4,0),C点的坐标为(0,6),点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动(移动一周).
(1)写出点B的坐标.
(2)当点P移动了4秒时,求出点P的坐标.
(3)在移动过程中,当△OBP的面积是10时,直接写出点P的坐标.
【解析】(1)∵A点的坐标为(4,0),C点的坐标为(0,6),∴OA=4,OC=6,∴点B(4,6).
(2)∵点P移动了4秒时的距离是2×4=8,
∴点P的坐标为(2,6).
(3)如图,
①当点P在OC上时,S△OBP=×OP1×4=10,
∴OP1=5,
∴点P(0,5);
②当点P在BC上时,S△OBP=×BP2×6=10,
∴BP2=,∴CP2=4-=,
∴点P;
③当点P在AB上时,S△OBP=×BP3×4=10,
∴BP3=5,∴AP3=6-5=1,
∴点P(4,1);
④当点P在AO上时,S△OBP=×OP4×6=10,
∴OP4=,
∴点P.
综上,点P的坐标为(0,5)或或(4,1)或. 矩形的性质与判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形判定方法的选用
1.(2024·遵义期中)在四边形ABCD中,添加下列一个条件,仍不能判定平行四边形为矩形的是(A)
A.AB=AD B.AB⊥BC
C.AC=BD D.∠B=∠C
2.(2024·铜仁模拟)甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形,他们各自做了如下检测,你认为最有说服力的是 (D)
A.甲量得窗框的一组邻边相等
B.乙量得窗框两组对边分别相等
C.丙量得窗框的对角线相等
D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
3.如图,过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC,BD的平行线,若所围成的四边形EFGH是矩形,则原四边形ABCD需满足的条件是___AC⊥BD(答案不唯一)___.(只需写出一个符合要求的条件)
4.如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s,则最快___5___s后,四边形ABPQ成为矩形.
5.(2022·六盘水中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAC,CF平分∠ACD.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是矩形 请写出证明过程.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠B=∠D,AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,
∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACD,∴∠BAE=∠CAE=∠BAC,∠DCF=∠ACF=∠ACD,
∴∠BAE=∠DCF,在△ABE和△CDF中,
,∴△ABE≌△CDF(ASA);
(2)当△ABC满足AB=AC时,四边形AECF是矩形,证明如下:
由(1)可知,∠CAE=∠ACF,∴AE∥CF,
∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形,又∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
知识点2 矩形性质与判定的综合应用
6.如图, ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,△ABO是等边三角形,若AC=8 cm,则平行四边形ABCD的面积是 (D)
A.16 cm2 B.4 cm2
C.8 cm2 D.16 cm2
7.(2024·贵阳期末)如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BD交AD于点E,已知AB=5,△DOE的面积为,则DE的长为 (B)
A.5 B.6 C.7 D.5
8.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且OA=OB=OC=OD,则它是___矩___形.若∠AOB=60°,则AB∶AC=___1∶2___.
【B层 能力进阶】
9.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,对于下列条件:①∠1+∠3=90°;②BC2+CD2=AC2;③∠1=∠2;④AC⊥BD.能判定四边形ABCD是矩形的个数是 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(生活实际)(2024·广州期中)满洲窗作为岭南建筑的一个独特符号,彰显着岭南文化的兼收并蓄.工人师傅在制作窗框时,分三个步骤进行:
(1)如图1,先截出两对符合规格的木条,使AB=CD,EF=GH;
(2)摆成如图2所示的四边形;
(3)________,矩形窗框制作完成.
下列方法中不能作为制作工序的第(3)个步骤的是 (C)
A.将直角尺紧靠窗框一个角,调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D.调整窗框的边框使得两条对角线与CD边的夹角相等
11.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD,BC于点E,F.若AB=4,BC=6,则图中阴影部分的面积为(C)
A.6 B.10 C.12 D.24
12. (2024·黔西南州质检)如图,在△ABC中,AC=BC,D,E分别是边AB,AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,则四边形ADCF的形状为___矩形___.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(模型观念、推理能力)(2023·贵州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,延长CB至D,使得BD=CB,过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与DE相交于点E.下面是两位同学的对话:
小星:由题目的已知条件,若连接BE,则可证明BE⊥CD. 小红:由题目的已知条件,若连接CE,则可证明CE=DE.
(1)请你选择一位同学的说法,并进行证明;
(2)连接AD,若AD=5,=,求AC的长.
【解析】(1)小星:连接BE,
∵AE∥BD,DE∥BA,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,
∵BD=BC,
∴AE=BC,
∵AE∥BC,
∴四边形AEBC是平行四边形,
∵∠C=90°,
∴四边形AEBC是矩形,
∴∠EBC=90°,
∴BE⊥CD;
小红:连接CE,
∵AE∥BD,DE∥BA,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD,AB=DE,
又∵AE∥BD,∴∠EAC=∠BCA,
在△ABC和△CEA中,
∴△ABC≌△CEA(SAS),
∴AB=CE,DE=CE.
(2)连接AD,
∵=,
∴设CB=2k,AC=3k,
∴CD=4k,
∵AC2+DC2=AD2,∴(3k)2+(4k)2=(5)2,
∴k=,∴AC=3. 矩形的性质与判定(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 矩形性质的应用
1.(2024·贵阳花溪区期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,如果∠ADB=25°,那么∠AOB的度数为 ( )
A.50° B.45° C.40° D.35°
2.(2024·六盘水期末)如图,AC是矩形ABCD的对角线,分别以点A,C为圆心,以大于AC的长为半径画弧,两弧交于点E,F,连接EF,直线EF交AD于点M,交BC于点N,若AM=8,DM=2,则边AB的长为 ( )
A.6 B.10 C.2 D.2
3.(2022·黔东南州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是___ ___.
知识点2 直角三角形斜边上中线的性质
4.(2024·贵阳观山湖区质检)如图,一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B沿地面向右滑行,则在此滑动过程中,点P到点O的距离 ( )
A.变小 B.不变
C.变大 D.无法判断
5.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=20°,则∠BDC的度数为 ( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·武汉期末)直角三角形两边的长为6和8,则该直角三角形斜边上的中线长为 ___ ___.
7.如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE是AC边上的中线,且BD=CE.
(1)连接DE,求证:BD=DE;
(2)若∠ABE=25°,求∠BEC的度数.
8.如图,已知AD⊥BD,AC⊥BC,AC与BD交于点F,E为AB的中点.
(1)证明:DE=CE;
(2)试探究∠DEC与∠DFC的数量关系.
【B层 能力进阶】
9.(2024·宁波期中)如图,在△ABC中,D是BC上的一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=3,则AC的长是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
10.(2024·贵阳南明区期中)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,CD上的点,连接BE,EF,BE⊥EF,且BE=EF,若AB=5,CF=2,则矩形ABCD的面积为 ( )
A.35 B.40 C.42 D.50
11. (2023·贵州中考)如图,在矩形ABCD中,点E为矩形内一点,且AB=1,AD=,∠BAE=75°,∠BCE=60°,则四边形ABCE的面积是 _.
12.如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线,DG垂直平分EC,点G为垂足.
(1)求证:DC=BE;
(2)请探究∠AEC与∠BCE的关系.
【C层 创新挑战（选做）】
13.(模型观念、推理能力、运算能力)如图,在矩形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,A点的坐标为(4,0),C点的坐标为(0,6),点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动(移动一周).
(1)写出点B的坐标.
(2)当点P移动了4秒时,求出点P的坐标.
(3)在移动过程中,当△OBP的面积是10时,直接写出点P的坐标.
