认识一元二次方程(第2课时)
1.(2024·贵阳南明区期中)已知方程x2-mx-3=0的一个根是x=3,则m的值为 (A)
A.2 B.-2 C.1 D.3
2.若x=3是关于x的一元二次方程x2-●x+6=0的一个根,则“●”代表的数是 (D)
A.-2 B.2 C.-5 D.5
3.(易错警示题·概念不清)关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根是0,则a的值是 (B)
A. 2 B.-2 C.2或-2 D.4
4.(2024·六盘水钟山区期中)已知代数式-ax2+bx的取值如表所示,由数据可得,关于x的一元二次方程-ax2+bx+2=0的解是 (B)
x … -2 -1 0 1 2 3 …
-ax2+bx … -4 -2 0 0 -2 -4 …
A.x1=0,x2=1 B.x1=-1,x2=2
C.x1=-2,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
5.(2024·黔东南州质检)根据表格得知,方程x2+2x-10=0的一个近似解为x≈___-4.3___(精确到0.1)
x … -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 -4.5 -4.6 …
y=x2+ 2x-10 … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 1.96 …
6.(2024·贵阳期中)已知n是一元二次方程x2-x-1=0的一个根,代数式n(n-1)+2的值是___3___.
7.在一元二次方程x2-2ax+b=0中,若a2-b>0,则称a是该方程的中点值.
(1)方程x2-8x+3=0的中点值是________.
(2)已知x2-mx+n=0的中点值是3,其中一个根是2,求mn的值.
【解析】(1)∵-3=13>0,
∴方程x2-8x+3=0的中点值为4.
答案:4
(2)∵=3,∴m=6,
把x=2代入x2-mx+n=0中,得4-6×2+n=0,解得n=8,∴mn=6×8=48.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力)
如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED的边长,易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求△ABC的面积.
【解析】当x=-1时,有a-c+b=0,
即a+b=c.
∵2a+2b+c=6,
即2(a+b)+c=6,
∴3c=6,∴c=2,
∴a2+b2=c2=4,a+b=2,
∵(a+b)2=a2+b2+2ab,
∴ab=2,∴S△ABC=ab=1. 认识一元二次方程(第1课时)
1.(2024·贵阳期中)一元二次方程x2-2x+1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(B)
A.1,2,1 B.1,-2,1
C.0,-2,-1 D.0,-2,1
2.(2024·常州期中)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项是0,则a的值为 (B)
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
3.(2024·贵阳云岩区质检)两个连续奇数的积为99,设其中较小的一个奇数为x,则可得方程为 (B)
A.x(x-2)=99
B.x(x+2)=99
C.x(x-1)=99
D.(2x-1)(2x+1)=99
4.(2024·遵义红花岗区质检)若方程(a+4)-3x+8=0是关于x的一元二次方程,则a的值为___4___.
5.欣赏下面改编的诗歌:“大江东去浪淘尽,千古风流数人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.”若设这位风流人物去世时年龄的十位数字为x,则可列方程为___10x+(x+3)=(x+3)2___.
6.如图,有一面积为75 m2的长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,另四边用竹篱笆围成,竹篱笆总长为30 m,设AB为x m,则可列方程为___x(30-3x)=75___.
7.根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.
【解析】(1)依题意得,4x2=25,
化为一元二次方程的一般形式得,4x2-25=0.
(2)依题意得,x(x-2)=100,化为一元二次方程的一般形式得,x2-2x-100=0.
(3)依题意得,x·1=(1-x)2,
化为一元二次方程的一般形式得,x2-3x+1=0.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力)
阅读理解:定义:如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与a2x2+b2x+c2=0(a2≠0,a2,b2,c2是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个方程互为“对称方程”.比如求方程2x2-3x+1=0的“对称方程”,这样思考:由方程2x2-3x+1=0可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2,就能确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面问题:
(1)填空:写出方程x2-4x+3=0的“对称方程”是___________.
(2)若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x=1互为“对称方程”,求(m+n)2的值.
【解析】(1)由题意得:方程x2-4x+3=0的“对称方程”是-x2-4x-3=0.
答案:-x2-4x-3=0
(2)由-5x2-x=1,
移项可得:-5x2-x-1=0,
∵方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x-1=0互为对称方程,
∴m-1=-1,-n+(-1)=0,
解得m=0,n=-1,
∴(m+n)2=(0-1)2=1. 认识一元二次方程(第1课时)
1.(2024·贵阳期中)一元二次方程x2-2x+1=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A.1,2,1 B.1,-2,1
C.0,-2,-1 D.0,-2,1
2.(2024·常州期中)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项是0,则a的值为 ( )
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
3.(2024·贵阳云岩区质检)两个连续奇数的积为99,设其中较小的一个奇数为x,则可得方程为 ( )
A.x(x-2)=99
B.x(x+2)=99
C.x(x-1)=99
D.(2x-1)(2x+1)=99
4.(2024·遵义红花岗区质检)若方程(a+4)-3x+8=0是关于x的一元二次方程,则a的值为___ ___.
5.欣赏下面改编的诗歌:“大江东去浪淘尽,千古风流数人物.而立之年督东吴,早逝英年两位数.十位恰小个位三,个位平方与寿符.”若设这位风流人物去世时年龄的十位数字为x,则可列方程为___ ___.
6.如图,有一面积为75 m2的长方形养鸡场,养鸡场的一边靠墙,另四边用竹篱笆围成,竹篱笆总长为30 m,设AB为x m,则可列方程为___ ___.
7.根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列方程化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x;
(2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x;
(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力)
阅读理解:定义:如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与a2x2+b2x+c2=0(a2≠0,a2,b2,c2是常数),其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个方程互为“对称方程”.比如求方程2x2-3x+1=0的“对称方程”,这样思考:由方程2x2-3x+1=0可知,a1=2,b1=-3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2,就能确定这个方程的“对称方程”.
请用以上方法解决下面问题:
(1)填空:写出方程x2-4x+3=0的“对称方程”是___________.
(2)若关于x的方程5x2+(m-1)x-n=0与-5x2-x=1互为“对称方程”,求(m+n)2的值. 认识一元二次方程(第2课时)
1.(2024·贵阳南明区期中)已知方程x2-mx-3=0的一个根是x=3,则m的值为 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.3
2.若x=3是关于x的一元二次方程x2-●x+6=0的一个根,则“●”代表的数是 ( )
A.-2 B.2 C.-5 D.5
3.(易错警示题·概念不清)关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4=0的一个根是0,则a的值是 ( )
A. 2 B.-2 C.2或-2 D.4
4.(2024·六盘水钟山区期中)已知代数式-ax2+bx的取值如表所示,由数据可得,关于x的一元二次方程-ax2+bx+2=0的解是 ( )
x … -2 -1 0 1 2 3 …
-ax2+bx … -4 -2 0 0 -2 -4 …
A.x1=0,x2=1 B.x1=-1,x2=2
C.x1=-2,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
5.(2024·黔东南州质检)根据表格得知,方程x2+2x-10=0的一个近似解为x≈___ ___(精确到0.1)
x … -4.1 -4.2 -4.3 -4.4 -4.5 -4.6 …
y=x2+ 2x-10 … -1.39 -0.76 -0.11 0.56 1.25 1.96 …
6.(2024·贵阳期中)已知n是一元二次方程x2-x-1=0的一个根,代数式n(n-1)+2的值是___ ___.
7.在一元二次方程x2-2ax+b=0中,若a2-b>0,则称a是该方程的中点值.
(1)方程x2-8x+3=0的中点值是________.
(2)已知x2-mx+n=0的中点值是3,其中一个根是2,求mn的值.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力)
如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是Rt△ABC和Rt△BED的边长,易知AE=c,这时我们把关于x的形如ax2+cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b=0的一个根,且四边形ACDE的周长是6,求△ABC的面积.
