用配方法求解一元二次方程(第1课时)
1.(2024·铜仁石阡县质检)用配方法解方程x2-4x-3=0,下列配方正确的是 (D)
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=7
C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=7
2.(2024·黔西南州期末)用配方法解方程x2+x=2,要使方程左边为x的完全平方式,应把方程两边同时 (A)
A.加 B.加 C.减 D.减
3.将一元二次方程x2-4x-1=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是 (A)
A.-2,5 B.-4,5 C.2,-5 D.2,5
4.(2024·贵阳期末)一元二次方程x2-49=0的根是___±7___.
5.(2024·铜仁质检)已知方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(m-n)2 024=
___1___.
6.(易错警示题·隐含条件未挖掘)已知(x2+y2+1)2-9=0,则x2+y2=___2___.
7.解方程:
(1)x2+2x+2=8x+4.
(2)x(x+8)-2x=16.
【解析】(1)x2+2x+2=8x+4,
x2+2x-8x=-2+4,x2-6x=2,
配方得x2-6x+9=2+9,
(x-3)2=11,
开方得x-3=±,
解得x1=3+,x2=3-.
(2)整理,得x2+6x=16,
配方,得x2+6x+32=16+32,
即(x+3)2=25,
开平方,得x+3=±5,
∴x1=2,x2=-8.
8.(2024·黔东南州期末)阅读以下材料,并解决问题.
已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值.
把等式左边的式子变形得:(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,
∴(m+1)2+(n-3)2=0,
∴m+1=0,n-3=0,
即m=-1,n=3.
利用以上方法,解决下列问题:
(1)已知x2-4x+y2+2y+5=0,求x和y的值.
(2)已知a,b,c是等腰△ABC的三边长,满足a2+b2=12a+8b-52,求c.
【解析】(1)∵x2-4x+y2+2y+5=0,
∴x2-4x+4+y2+2y+1=0,
∴(x-2)2+(y+1)2=0,
∴x-2=0,y+1=0,
∴x=2,y=-1.
(2)a2+b2=12a+8b-52,
∴a2-12a+36+b2-8b+16=0,
∴(a-6)2+(b-4)2=0,
∴a-6=0,b-4=0,∴a=6,b=4,
∵△ABC是等腰三角形,
∴c=4或6.验证得c=4或6均成立.
9.(创新挑战题·运算能力、应用意识)
(初高衔接)阅读并回答问题:小亮是一位刻苦学习的同学.一天他在解方程x2=-1时,突发奇想:x2=-1在实数范围内无解,如果存在一个数i,使i2=-1,那么当x2=-1时,有x=±i,从而x=±i是方程x2=-1的两个根.据此可知:
(1)i可以运算,例如:i3=i2·i=-1×i=-i,则i4=________.
(2)求方程x2-4x+5=0的两根(根用i表示).
【解析】(1)i4=i2·i2=-1×(-1)=1.
答案:1
(2)方程整理得x2-4x=-5,
配方得x2-4x+4=-1,即(x-2)2=-1,
开方得x-2=±i,
解得x1=2+i,x2=2-i. 用配方法求解一元二次方程(第2课时)
1.(2024·贵阳期中)用配方法解方程2x2+2x=1,则配方后的方程是 (A)
A. (x+)2= B. (x-)2=
C. (x+)2= D. (x-)2=
2.已知关于x的方程4x2-px+q=0,通过配方可变形为(x-)2=,则的值为 (A)
A.-4 B.4 C.-8 D.8
3.(2024·遵义质检)把一元二次方程x2-3x-1=0配方成(x+a)2=b的形式,则b=___11___.
4.(2024·毕节期中)用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0时,配成(x+m)2=n的形式,则m+n的值为 ___.
5.用配方法解方程:
(1)3x2-6x-1=0.
(2)2x2+x-30=0.
【解析】(1)方程两边除以3,得x2-2x-=0,
移项,得x2-2x=,
两边加上1,得x2-2x+1=,即(x-1)2=,
开方,得x-1=或x-1=-,
∴x1=,x2=.
(2)原方程变形为x2+x=15,
∴x2+x+()2=15+()2.
∴(x+)2=.
∴x+=±,∴x1=-3,x2=.
6.下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程-4x2-8x+16=0的过程:
解:-4x2-8x+16=0,
二次项系数化为1,得x2+2x-4=0,……第一步
移项,得x2+2x=4,……第二步
配方,得x2+2x+4=4+4,即(x+2)2=8,……第三步
由此可得x+2=±2,……第四步
x1=2+2,x2=-2-2.……第五步
(1)“配方法”所依据的公式是_________________;(填“完全平方式”或“平方差公式”)
(2)上面解答过程,从第________步开始出现错误;
(3)写出正确的解答过程;
(4)根据经验,请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议.
【解析】(1)“配方法”所依据的公式是完全平方式.
答案:完全平方式
(2)上面解答过程,从第三步开始出现错误.
答案:三
(3)-4x2-8x+16=0,
二次项系数化为1,得x2+2x-4=0,
移项,得x2+2x=4,
配方,得x2+2x+1=4+1,即(x+1)2=5,
由此可得x+1=±,
x1=-1+,x2=-1-.
(4)用配方法解一元二次方程时需要注意的事项:先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简(答案不唯一,合理即可).
7.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)教科书中这样写道:“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式.”如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等.
例如:因式分解x2+2x-3=(x2+2x+1)-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1);
例如:求代数式2x2+4x-6的最小值.2x2+4x-6=2(x2+2x+1)-2-6=2(x+1)2-8.可知当x=-1时,2x2+4x-6有最小值,最小值是-8,根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)因式分解:m2-4m-5=_________.
(2)当x为何值时,多项式2x2-8x+5有最小值,并求出这个最小值.
【解析】(1)m2-4m-5
=m2-4m+4-9
=(m-2)2-9
=(m-2+3)(m-2-3)
=(m+1)(m-5).
答案:(m+1)(m-5)
(2)∵2x2-8x+5=2(x2-4x+4-4)+5=2(x-2)2-8+5=2(x-2)2-3,
∴当x=2时,多项式2x2-8x+5有最小值,最小值是-3. 用配方法求解一元二次方程(第1课时)
1.(2024·铜仁石阡县质检)用配方法解方程x2-4x-3=0,下列配方正确的是 ( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=7
C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=7
2.(2024·黔西南州期末)用配方法解方程x2+x=2,要使方程左边为x的完全平方式,应把方程两边同时 ( )
A.加 B.加 C.减 D.减
3.将一元二次方程x2-4x-1=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值分别是 ( )
A.-2,5 B.-4,5 C.2,-5 D.2,5
4.(2024·贵阳期末)一元二次方程x2-49=0的根是___ ___.
5.(2024·铜仁质检)已知方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,则(m-n)2 024=
___ ___.
6.(易错警示题·隐含条件未挖掘)已知(x2+y2+1)2-9=0,则x2+y2=___ ___.
7.解方程:
(1)x2+2x+2=8x+4.
(2)x(x+8)-2x=16.
8.(2024·黔东南州期末)阅读以下材料,并解决问题.
已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值.
把等式左边的式子变形得:(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,
∴(m+1)2+(n-3)2=0,
∴m+1=0,n-3=0,
即m=-1,n=3.
利用以上方法,解决下列问题:
(1)已知x2-4x+y2+2y+5=0,求x和y的值.
(2)已知a,b,c是等腰△ABC的三边长,满足a2+b2=12a+8b-52,求c.
9.(创新挑战题·运算能力、应用意识)
(初高衔接)阅读并回答问题:小亮是一位刻苦学习的同学.一天他在解方程x2=-1时,突发奇想:x2=-1在实数范围内无解,如果存在一个数i,使i2=-1,那么当x2=-1时,有x=±i,从而x=±i是方程x2=-1的两个根.据此可知:
(1)i可以运算,例如:i3=i2·i=-1×i=-i,则i4=________.
(2)求方程x2-4x+5=0的两根(根用i表示). 用配方法求解一元二次方程(第2课时)
1.(2024·贵阳期中)用配方法解方程2x2+2x=1,则配方后的方程是 ( )
A. (x+)2= B. (x-)2=
C. (x+)2= D. (x-)2=
2.已知关于x的方程4x2-px+q=0,通过配方可变形为(x-)2=,则的值为 ( )
A.-4 B.4 C.-8 D.8
3.(2024·遵义质检)把一元二次方程x2-3x-1=0配方成(x+a)2=b的形式,则b=___ ___.
4.(2024·毕节期中)用配方法解一元二次方程2x2+3x+1=0时,配成(x+m)2=n的形式,则m+n的值为 __.
5.用配方法解方程:
(1)3x2-6x-1=0.
(2)2x2+x-30=0.
6.下面是亮亮用“配方法”解一元二次方程-4x2-8x+16=0的过程:
解:-4x2-8x+16=0,
二次项系数化为1,得x2+2x-4=0,……第一步
移项,得x2+2x=4,……第二步
配方,得x2+2x+4=4+4,即(x+2)2=8,……第三步
由此可得x+2=±2,……第四步
x1=2+2,x2=-2-2.……第五步
(1)“配方法”所依据的公式是_________________;(填“完全平方式”或“平方差公式”)
(2)上面解答过程,从第________步开始出现错误;
(3)写出正确的解答过程;
(4)根据经验,请你就解方程过程中的注意事项给同学们提一条建议.
7.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)教科书中这样写道:“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式.”如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等.
例如:因式分解x2+2x-3=(x2+2x+1)-1-3=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1);
例如:求代数式2x2+4x-6的最小值.2x2+4x-6=2(x2+2x+1)-2-6=2(x+1)2-8.可知当x=-1时,2x2+4x-6有最小值,最小值是-8,根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)因式分解:m2-4m-5=_________.
(2)当x为何值时,多项式2x2-8x+5有最小值,并求出这个最小值.
