用公式法求解一元二次方程(第1课时)
1.用公式法解一元二次方程3x2+4x+1=0时,计算b2-4ac的结果为 ( )
A.25 B.13 C.7 D.4
2.如果一元二次方程x2+px+q=0能代入求根公式求根,那么必须满足的条件是 ( )
A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0 D.p2-4q<0
3.(2024·六盘水期中)对于实数a,b定义新运算:a b=ab2-b,若关于x的方程1 x=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围为 ( )
A.k>- B.k<-
C.k>-且k≠0 D.k≥-且k≠0
4.(2024·遵义质检)用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是 ( )
A.x=-3± B.x=3±
C.x=-3±2 D.x=3±2
5.(2024·盘州市期中)若关于x的一元二次方程x2+2x+m-1=0有实数根,则m的取值范围是___ ___.
6.(2024·六盘水钟山区期中)新概念运算:运算符号“”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,请根据上述规定判断关于x的二阶行列式:=0 根的情况为___ ___.
7.(2024·黔东南州期末)解方程:
(1)x2-x-3=0;
(2)2y2-9y+5=0.
8.(能力挑战题·模型观念、运算能力、应用意识)
阅读材料:为解方程(x2-1)2-3(x2-1)=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,将原方程化为y2-3y=0①,解得y1=0,y2=3.
当y=0时,x2-1=0,x2=1,∴x=±1;
当y=3时,x2-1=3,x2=4,∴x=±2;
∴原方程的解为x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.
解答问题:
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用___________法达到了降次的目的,体现了_________的数学思想;
(2)利用材料中的方法解方程:(x2+x)2-(x2+x)-2=0. 用公式法求解一元二次方程(第2课时)
1.(2024·贵州黔西南质检)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地,它的长比宽多11米,设场地的宽为x米,则可列方程为 (C)
A.x(x-11)=180 B.2x+2(x-11)=180
C.x(x+11)=180 D.2x+2(x+11)=180
2.(数学文化)(2024·遵义期末)南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步.”翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积是864平方步,它的宽和长共60步,问它的宽和长各多少步 (B)
A.宽26步,长34步 B.宽24步,长36步
C.宽14步,长46步 D.宽16步,长44步
3.如图,一长为32 m,宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540 m2,则道路的宽为___2___m.
4.《代数学》中记载,形如x2+8x=33的方程,求正数解的几何方法:如图1,先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大正方形的面积为x2+8x+4×22=33+16=49,依图1可列方程为(x+2×2)2=49,解得正数解x=3.按此方法,构造出如图2所示的图形,已知阴影部分的面积为50,则正数x=___5-5___.
5.(2024·贵阳乌当区质检)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点P从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q两点同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4 cm2
(2)△PBQ的面积能否等于7 cm2 试说明理由.
【解析】(1)设t s后,△PBQ的面积等于4 cm2.
则(5-t)×2t=4,
整理,得t2-5t+4=0,
解得t1=1,t2=4(舍去).
答:如果P,Q两点同时出发,那么1 s后,△PBQ的面积等于4 cm2;
(2)△PBQ的面积不能等于7 cm2.理由如下:
设x s后,△PBQ的面积等于7 cm2.
则(5-x)×2x=7,
整理,得x2-5x+7=0,
则Δ=25-28=-3<0,所以该方程无解.
即△PBQ的面积不能等于7 cm2.
6.(能力挑战题·模型观念、运算能力、应用意识)
(2024·无锡期中)如图,某中学准备设计一块边长为6 m的正方形景观背景,该背景由4块全等的小正方形组成.在小正方形ABCD中,点M,N,P分别在AD,AB,CD上,且AN=1 m,DM=DP=x m.在△ANM,△DPM,五边形MNBCP三个区域用不同石材铺设,每平方米的石材成本分别是80元、80元、40元.
(1)当x=2时,求铺设小正方形ABCD所需的费用;
(2)当x为何值时,大正方形背景墙所需的总费用是1 680元
【解析】(1)∵AD=3 m,AN=1 m,DM=DP=2 m,
∴AM=1 m,
∵S△AMN=AN·AM=×1×1=(m2),
S△PDM=DM·PD=×2×2=2(m2),
∴S五边形MNBCP=3×3--2=6.5(m2),
∴铺设小正方形ABCD所需的费用为×80+2×80+6.5×40=460(元);
(2)∵AD=3 m,AN=1 m,DM=DP=x m,
∴AM=(3-x)m,
∵S△AMN=AN·AM=(3-x)m2,
S△PDM=DM·PD=x2(m2),
∴S五边形MNBCP=3×3-(3-x)-x2=(-x2++)m2,
根据题意得4×[(3-x)×80+x2×80+(-x2++)×40]=1 680,
解得x=1或x=0(不符合题意,舍去).
答:当x=1时,大正方形背景墙所需的总费用是1 680元. 用公式法求解一元二次方程(第1课时)
1.用公式法解一元二次方程3x2+4x+1=0时,计算b2-4ac的结果为 (D)
A.25 B.13 C.7 D.4
2.如果一元二次方程x2+px+q=0能代入求根公式求根,那么必须满足的条件是 (A)
A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0 D.p2-4q<0
3.(2024·六盘水期中)对于实数a,b定义新运算:a b=ab2-b,若关于x的方程1 x=k有两个不相等的实数根,则k的取值范围为 (A)
A.k>- B.k<-
C.k>-且k≠0 D.k≥-且k≠0
4.(2024·遵义质检)用公式法解方程x2-6x+1=0所得的解正确的是 (D)
A.x=-3± B.x=3±
C.x=-3±2 D.x=3±2
5.(2024·盘州市期中)若关于x的一元二次方程x2+2x+m-1=0有实数根,则m的取值范围是___m≤2___.
6.(2024·六盘水钟山区期中)新概念运算:运算符号“”称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,请根据上述规定判断关于x的二阶行列式:=0 根的情况为___没有实数根___.
7.(2024·黔东南州期末)解方程:
(1)x2-x-3=0;
(2)2y2-9y+5=0.
【解析】(1)x2-x-3=0,这里a=1,b=-1,c=-3,∴Δ=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,
∴x==,
∴x1=,x2=;
(2)2y2-9y+5=0,a=2,b=-9,c=5,
Δ=b2-4ac=(-9)2-4×2×5=41,
则y=,∴y1=,y2=.
8.(能力挑战题·模型观念、运算能力、应用意识)
阅读材料:为解方程(x2-1)2-3(x2-1)=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,将原方程化为y2-3y=0①,解得y1=0,y2=3.
当y=0时,x2-1=0,x2=1,∴x=±1;
当y=3时,x2-1=3,x2=4,∴x=±2;
∴原方程的解为x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.
解答问题:
(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用___________法达到了降次的目的,体现了_________的数学思想;
(2)利用材料中的方法解方程:(x2+x)2-(x2+x)-2=0.
【解析】(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了化归的数学思想.
答案:换元 化归
(2)令x2+x=m,则m2-m-2=0,
∵Δ=(-1)2-4×1×(-2)=9,
∴m==,
解得m1=2或m2=-1,
当m=2时,x2+x=2,即x2+x-2=0,
∴x==,解得x1=-2,x2=1;
当m=-1时,x2+x=-1,即x2+x+1=0,
∵Δ=12-4×1×1=-3<0,
∴此方程无解;
综上,原方程的解为x1=-2,x2=1. 用公式法求解一元二次方程(第2课时)
1.(2024·贵州黔西南质检)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地,它的长比宽多11米,设场地的宽为x米,则可列方程为 ( )
A.x(x-11)=180 B.2x+2(x-11)=180
C.x(x+11)=180 D.2x+2(x+11)=180
2.(数学文化)(2024·遵义期末)南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步.”翻译成数学问题是:一块矩形田地的面积是864平方步,它的宽和长共60步,问它的宽和长各多少步 ( )
A.宽26步,长34步 B.宽24步,长36步
C.宽14步,长46步 D.宽16步,长44步
3.如图,一长为32 m,宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540 m2,则道路的宽为___ ___m.
4.《代数学》中记载,形如x2+8x=33的方程,求正数解的几何方法:如图1,先构造一个面积为x2的正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形,得到大正方形的面积为x2+8x+4×22=33+16=49,依图1可列方程为(x+2×2)2=49,解得正数解x=3.按此方法,构造出如图2所示的图形,已知阴影部分的面积为50,则正数x=___ ___.
5.(2024·贵阳乌当区质检)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点P从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q两点同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于4 cm2
(2)△PBQ的面积能否等于7 cm2 试说明理由.
6.(能力挑战题·模型观念、运算能力、应用意识)
(2024·无锡期中)如图,某中学准备设计一块边长为6 m的正方形景观背景,该背景由4块全等的小正方形组成.在小正方形ABCD中,点M,N,P分别在AD,AB,CD上,且AN=1 m,DM=DP=x m.在△ANM,△DPM,五边形MNBCP三个区域用不同石材铺设,每平方米的石材成本分别是80元、80元、40元.
(1)当x=2时,求铺设小正方形ABCD所需的费用;
(2)当x为何值时,大正方形背景墙所需的总费用是1 680元
