一元二次方程的根与系数的关系
1.(2024·铜仁期中)已知x2-2x-3=0的两个根为x1,x2,则x1+x2的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-5 D.5
2.已知x1,x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两根,则x1+x2+2x1x2的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.已知x1,x2是关于x的方程x2-x-2 023=0的两个根,则-2x1-x2的值为 ( )
A.2 023 B.2 022 C.2 021 D.2 020
4.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)(2024·深圳期中)等腰三角形ABC中,BC=8,AB,AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两个根,则m的值是 ( )
A.16或25 B.16 C.25 D.5或8
5.(2024·遵义期中)已知x1、x2为方程x2+3x-4=0的两个根,则x1·x2的值是___ ___.
6.已知α,β是一元二次方程x2-x-11=0的两个实数根,则代数式α2-2α-β的值为___ ___.
7.(2023·遵义期中)已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0.
(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+x2+2x1x2=1,求m的值.
8.(2024·六盘水期末)关于x的一元二次方程:x2+3x+m=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若x1,x2是方程的两根,且3(x1+x2)+x1x2=-7,求m的值.
9.(能力挑战题)(模型观念、运算能力、应用意识)我们定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)请说明方程x2-3x+2=0是倍根方程;
(2)若(x-2)(x+n)=0是倍根方程,则n=________;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(b2-4ac≥0)是倍根方程,则a,b,c的等量关系是________. 一元二次方程的根与系数的关系
1.(2024·铜仁期中)已知x2-2x-3=0的两个根为x1,x2,则x1+x2的值为 (B)
A.-2 B.2 C.-5 D.5
2.已知x1,x2是一元二次方程x2+4x+3=0的两根,则x1+x2+2x1x2的值为(D)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.已知x1,x2是关于x的方程x2-x-2 023=0的两个根,则-2x1-x2的值为 (B)
A.2 023 B.2 022 C.2 021 D.2 020
4.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)(2024·深圳期中)等腰三角形ABC中,BC=8,AB,AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两个根,则m的值是 (A)
A.16或25 B.16 C.25 D.5或8
5.(2024·遵义期中)已知x1、x2为方程x2+3x-4=0的两个根,则x1·x2的值是___-4___.
6.已知α,β是一元二次方程x2-x-11=0的两个实数根,则代数式α2-2α-β的值为___10___.
7.(2023·遵义期中)已知关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+m=0.
(1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程有两个实数根x1,x2,且x1+x2+2x1x2=1,求m的值.
【解析】(1)∵Δ=(m+2)2-4m
=m2+4m+4-4m
=m2+4>0,
∴无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)根据根与系数的关系得x1+x2=-(m+2),x1x2=m,
∵x1+x2+2x1x2=1,∴-(m+2)+2m=1,
解得m=3,即m的值为3.
8.(2024·六盘水期末)关于x的一元二次方程:x2+3x+m=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若x1,x2是方程的两根,且3(x1+x2)+x1x2=-7,求m的值.
【解析】(1)∵方程x2+3x+m=0有实数根,
∴Δ=32-4×1×m≥0,∴m≤;
(2)∵x1,x2是方程x2+3x+m=0的两个根,
∴x1+x2=-=-3,x1x2=m,
∵3(x1+x2)+x1x2=-7,
∴3×(-3)+m=-7,解得m=2,
即m的值是2.
9.(能力挑战题)(模型观念、运算能力、应用意识)我们定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)请说明方程x2-3x+2=0是倍根方程;
(2)若(x-2)(x+n)=0是倍根方程,则n=________;
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0(b2-4ac≥0)是倍根方程,则a,b,c的等量关系是________.
【解析】(1)由题得(x-1)(x-2)=0,
x-1=0或x-2=0,
∴x1=1,x2=2,∴x2=2x1,
∴方程x2-3x+2=0是倍根方程.
(2)∵(x-2)(x+n)=0是倍根方程,
∴x1=2,x2=-n,
当-n=2×2时,n=-4,
当-n=×2时,n=-1,
∴n=-4或n=-1.
答案:-1或-4
(3)∵一元二次方程ax2+bx+c=0(b2-4ac≥0)是倍根方程,
∴设方程的两根分别为t,2t,
根据根与系数的关系得t+2t=-,t·2t=,
∴t=-,∴2(-)2=,∴2b2=9ac.
答案:2b2=9ac
