应用一元二次方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 列一元二次方程解利润问题
1.(2024·铜仁期末)某商场从厂家以每件100元的价格购进一批商品,若每件商品的售价为150元,则平均每天可销售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,每件商品售价为多少元时,商场日盈利可达到2 100元 设每件商品售价为x元,下列方程正确的是(C)
A.(50-x)(30+2x)=2 100
B.(50-x)(30+x)=2 100
C.(x-100)(330-2x)=2 100
D.(x-100)(330-x)=2 100
2.某商品现在出售一件可获利10元,每天可销售20件,若每降价1元可多卖2件,则降价___2___元时每天可获利192元.
3.(2024·贵阳南明区期中)第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行,某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现,当每套徽章盈利40元时,每天可售出20套.为了喜迎亚运会,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果销售单价每降价1元,该商店平均每天将多销售2套.
(1)当每套徽章盈利38元时,每天可多销售多少套
【解析】(1)(40-38)×2=4(套).
答:当每套徽章盈利38元时,每天可多销售4套;
(2)商场为了尽快减少库存,每套吉祥物徽章降价多少元时,该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1 200元
【解析】(2)设每套吉祥物徽章降价x元时,商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1 200元,
根据题意得(40-x)(20+2x)=1 200,
解得x1=20,x2=10(不符合题意,舍去),
答:每套吉祥物徽章降价20元时,商场销售吉祥物徽章日盈利可达到1 200元.
知识点2 列一元二次方程解百分率问题
4.(2024·六盘水钟山区期中)近期,六盘水市的红心猕猴桃一经上市,就大受欢迎.据调查,该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元,到上市第三周时销售价格连续下降到每千克9元.设每周的平均减少率均为x,则可列出方程为(B)
A.9(1-2x)2=16 B.16(1-x)2=9
C.9(1+2x)2=16 D.16(1-x2)=9
5.(2024·遵义质检)某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨,预计2023年蔬菜产量将达到121吨.若蔬菜产量的年平均增长率相同,则年平均增长率为(D)
A.-210% B.-10% C.5% D.10%
6.为了增强学生体质,某中学要兴建一个矩形的课间活动区.根据规划,活动区的长和宽分别为20 m和16 m,同时在它四周外围要环绕宽度相等的小路并进行硬化.已知活动区和小路的总面积为480 m2.
(1)求小路的宽.
【解析】(1)设小路的宽度是x m,
根据题意得(20+2x)(16+2x)=480,
整理得x2+18x-40=0,
解得x=2或x=-20(舍去).
答:小路的宽度是2 m;
(2)某公司希望用100万元的承包金额承揽修建活动区的工程,学校认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以81万元达成一致,若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
【解析】(2)设每次降价的百分率为y,
依题意得100(1-y)2=81,
解得y1=0.1=10%,y2=1.9(舍去),
答:每次降价的百分率为10%.
【B层 能力进阶】
7.某地有1人感染了A病毒,经过两轮传染后,一共有196人感染了此病毒.设每轮传染中一人可以传染x个人,下面所列方程正确的是(A)
A.1+x+x(x+1)=196
B.1+(1+x)+x(x+1)=196
C.1+x+x2=196
D.x(x+1)=196
8.某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时,每天可售出300件.经调查当单价每涨1元时,每天少售出10件.若商场想每天获得3 750元利润,设每件玩具涨x元,可列方程为:(30+x-20)(300-10x)=3 750.对所列方程中出现的代数式,下列说法错误的是(D)
A.(30+x)表示涨价后玩具的单价
B.10x表示涨价后少售出玩具的数量
C.(300-10x)表示涨价后销售玩具的数量
D.(30+x-20)表示涨价后的每件玩具的单价
9.(2024·黔东南州期中)为解决看病难的问题,政府决定下调药品的价格,某种药品经过连续两次降价后,由每盒100元下调至64元,则这种药品平均每次降价的百分率是___20%___.
10.(2024·铜仁石阡县质检)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出,平均每天可售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现:每件降价1元,则每天可多售5件,如果每天要盈利800元,每件应降价___10___元.
11.(2024·贵阳期中)猕猴桃是我省修文县特产.修文县某村民合作社2021年种植猕猴桃100亩,2023年该合作社扩大了猕猴桃的种植面积,共种植144亩.
(1)求该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率.
【解析】(1)设该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率为x,依题意得100(1+x)2=144,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去),
答:该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率为20%;
(2)某水果专卖店销售修文县生产的猕猴桃,市场调查发现,当猕猴桃售价为20元/千克时,每天能售出200千克,售价每降低1元,每天可多售出50千克,为了推广宣传,该店决定降价促销,已知猕猴桃的平均成本价为12元/千克,若使销售猕猴桃每天获利1 800元,则售价应降低多少元
【解析】(2)设售价降低m元,则每千克的销售利润为(20-m-12)元,每天可销售(200+50m)千克,
依题意得,(20-m-12)(200+50m)=1 800,
整理得,m2-4m+4=0,解得m1=m2=2,
答:售价应降低2元.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·青岛期中)“直播带货”已经成为时尚销售方式,某带货主播准备销售一种防护品,进货价格为每件50元,并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现:每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系.
(1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式;(不必写出自变量的取值范围)
【解析】(1)由题图可知每月销售量y(件)与售价x(元)之间为一次函数关系,设其函数关系式为y=kx+b(k≠0,x≥50),
将(60,600),(80,400)代入,得:
,
解得,
∴每月销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式为
y=-10x+1 200;
(2)物价部门规定,该防护品每件的利润不许高于进货价的50%.该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10 000元,那么每件的售价应定为多少元
【解析】(2)由题意得:
10 000=(-10x+1 200)(x-50),
解得x=70或100,
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的50%,
∴x≤50×(1+50%),即x≤75,
∴x=70,
∴售价定为70元可获得利润是10 000元. 应用一元二次方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 应用一元二次方程解决几何图形问题
1.一个菱形两条对角线相差5,面积为12,设长对角线长为x,可列方程为 (D)
A.x(x+5)=12 B.x(x-5)=12
C.x(x+5)=12 D.x(x-5)=12
2.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为___x2+(x-6.8)2=102___.
3.(2024·毕节质检)如图,将一块正方形空地划出部分区域(阴影部分)进行绿化,绿化后一边减少了3 m,另一边减少了2 m,剩余面积为20 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长为___7___m.
4.一个直角三角形的两条直角边的边长相差7 cm,且三角形的面积为30 cm2,则该三角形的斜边长为___13 cm___.
知识点2 应用一元二次方程解决动点问题
5.如图所示,在建筑工地上,为了支撑一堵墙,用一根长为5 m的木材,顶端撑在墙上,底端撑在地面上,BO=4 m,现为了增加支撑效果,底端向前移动1.5 m,问:顶端需上移多少米 在这个问题中,设顶端上移x m,则可列方程为___(x+3)2+2.52=52___.
6.(2024·铜仁期中)如图,在矩形ABCD中,BC=24 cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在边的另一个端点时,运动即停止.
已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2 cm.
(1)当x为何值时,以P,N两点重合
(2)问Q,M两点能重合吗 若Q,M两点能重合,则求出相应的x的值;若Q,M两点不能重合,请说明理由.
【解析】(1)当点P与点N重合时,
由x2+2x=24,得x1=4,x2=-6(舍去).
所以x=4时点P与点N重合.
(2)当点Q与点M重合时,
由x+3x=24,得x=6,
此时DN=x2=36≥24,不符合题意.
故点Q与点M不能重合.
【B层 能力进阶】
7.取一张长与宽之比为5∶2的矩形纸板,剪去四个边长为5 cm的小正方形(如图),并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒.要使包装盒的容积为200 cm3(纸板的厚度略去不计),问这张矩形纸板的长与宽分别为多少厘米 若设这张矩形纸板的长为5x cm,则由题意可列出的方程是 (C)
A.5(5x+10)(2x-10)=200
B.5(5x+10)(2x+10)=200
C.5(5x-10)(2x-10)=200
D.5(5x-10)(2x+10)=200
8.如图,点O是矩形ABCD内一点,则点O到四个顶点的距离OA,OB,OC,OD满足关系式OA2+OC2=OB2+OD2,若点O在对角线AC上,AC=4,OB=,OD=,则AO= 或___.
9.(2024·安顺质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=20 cm,AC=16 cm,点P,Q分别同时从A,B出发,点P沿线段AC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q沿线段BC以1 cm/s的速度向点C移动,当P,Q其中一点到达点C时,两点即停止运动,设运动时间为t s,则当四边形APQB的面积是36 cm2时,t的值为___2___.
【C层 创新挑战（选做）】
10.(模型观念、运算能力、应用意识)如图1,将一块形状为矩形的空地ABCD修建成一个花圃,其中AB=12米,BC=20米.设计方案为:该花圃由一条宽度相等的环形小道(图2中阴影)和花卉种植区域(图2中矩形EFGH)组成.
(1)若环形小道面积是花圃面积的,求小道的宽度.
(2)若花卉种植区域分割成如图3的形状,点I,J,K分别在边EH,EF,FG上,L为花圃内一点,四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形.已知KG的长是小道宽度的2倍,且平行四边形HIJL与平行四边形GLJK的面积之和是花圃面积的,求小道的宽度.
【解析】(1)设小道的宽度为x米,
∵AB=12米,BC=20米,
∴FG=(20-2x)米,HG=(12-2x)米,
又∵环形小道面积是花圃面积的,
∴花卉种植区域(即题图2中矩形EFGH)的面积是花圃面积的,∴(20-2x)(12-2x)=×20×12,
解得x1=1,x2=15(不合题意,舍去),
∴小道的宽度为1米.
(2)延长JL交HG于点M,
设小道的宽度为y米,
∵四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形,∴图中KG=JL=2y,
∴S平行四边形HIJL+S平行四边形GLJK=KG·MG+JL·HM=KG·MG+KG·HM=KG(MG+HM)=KG·HG,
由题意可得2y(12-2y)=×20×12,
解得y1=0.6,y2=5.4(不合题意,舍去),
∴小道的宽度为0.6米. 应用一元二次方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 应用一元二次方程解决几何图形问题
1.一个菱形两条对角线相差5,面积为12,设长对角线长为x,可列方程为 ( )
A.x(x+5)=12 B.x(x-5)=12
C.x(x+5)=12 D.x(x-5)=12
2.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何 ”其意思为:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少 (1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为___ ___.
3.(2024·毕节质检)如图,将一块正方形空地划出部分区域(阴影部分)进行绿化,绿化后一边减少了3 m,另一边减少了2 m,剩余面积为20 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长为___ ___m.
4.一个直角三角形的两条直角边的边长相差7 cm,且三角形的面积为30 cm2,则该三角形的斜边长为___ ___.
知识点2 应用一元二次方程解决动点问题
5.如图所示,在建筑工地上,为了支撑一堵墙,用一根长为5 m的木材,顶端撑在墙上,底端撑在地面上,BO=4 m,现为了增加支撑效果,底端向前移动1.5 m,问:顶端需上移多少米 在这个问题中,设顶端上移x m,则可列方程为___ ___.
6.(2024·铜仁期中)如图,在矩形ABCD中,BC=24 cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在边的另一个端点时,运动即停止.
已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2 cm.
(1)当x为何值时,以P,N两点重合
(2)问Q,M两点能重合吗 若Q,M两点能重合,则求出相应的x的值;若Q,M两点不能重合,请说明理由.
【B层 能力进阶】
7.取一张长与宽之比为5∶2的矩形纸板,剪去四个边长为5 cm的小正方形(如图),并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒.要使包装盒的容积为200 cm3(纸板的厚度略去不计),问这张矩形纸板的长与宽分别为多少厘米 若设这张矩形纸板的长为5x cm,则由题意可列出的方程是 ( )
A.5(5x+10)(2x-10)=200
B.5(5x+10)(2x+10)=200
C.5(5x-10)(2x-10)=200
D.5(5x-10)(2x+10)=200
8.如图,点O是矩形ABCD内一点,则点O到四个顶点的距离OA,OB,OC,OD满足关系式OA2+OC2=OB2+OD2,若点O在对角线AC上,AC=4,OB=,OD=,则AO= _.
9.(2024·安顺质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=20 cm,AC=16 cm,点P,Q分别同时从A,B出发,点P沿线段AC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q沿线段BC以1 cm/s的速度向点C移动,当P,Q其中一点到达点C时,两点即停止运动,设运动时间为t s,则当四边形APQB的面积是36 cm2时,t的值为___ ___.
【C层 创新挑战（选做）】
10.(模型观念、运算能力、应用意识)如图1,将一块形状为矩形的空地ABCD修建成一个花圃,其中AB=12米,BC=20米.设计方案为:该花圃由一条宽度相等的环形小道(图2中阴影)和花卉种植区域(图2中矩形EFGH)组成.
(1)若环形小道面积是花圃面积的,求小道的宽度.
(2)若花卉种植区域分割成如图3的形状,点I,J,K分别在边EH,EF,FG上,L为花圃内一点,四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形.已知KG的长是小道宽度的2倍,且平行四边形HIJL与平行四边形GLJK的面积之和是花圃面积的,求小道的宽度. 应用一元二次方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 列一元二次方程解利润问题
1.(2024·铜仁期末)某商场从厂家以每件100元的价格购进一批商品,若每件商品的售价为150元,则平均每天可销售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均每天可多售出2件,每件商品售价为多少元时,商场日盈利可达到2 100元 设每件商品售价为x元,下列方程正确的是( )
A.(50-x)(30+2x)=2 100
B.(50-x)(30+x)=2 100
C.(x-100)(330-2x)=2 100
D.(x-100)(330-x)=2 100
2.某商品现在出售一件可获利10元,每天可销售20件,若每降价1元可多卖2件,则降价___ ___元时每天可获利192元.
3.(2024·贵阳南明区期中)第19届亚运会于2023年9月23日在中国杭州举行,某商场在销售亚运会吉祥物徽章时发现,当每套徽章盈利40元时,每天可售出20套.为了喜迎亚运会,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果销售单价每降价1元,该商店平均每天将多销售2套.
(1)当每套徽章盈利38元时,每天可多销售多少套
(2)商场为了尽快减少库存,每套吉祥物徽章降价多少元时,该商场销售吉祥物徽章的日盈利可达到1 200元
知识点2 列一元二次方程解百分率问题
4.(2024·六盘水钟山区期中)近期,六盘水市的红心猕猴桃一经上市,就大受欢迎.据调查,该水果在上市第一周时每千克销售价格为16元,到上市第三周时销售价格连续下降到每千克9元.设每周的平均减少率均为x,则可列出方程为( )
A.9(1-2x)2=16 B.16(1-x)2=9
C.9(1+2x)2=16 D.16(1-x2)=9
5.(2024·遵义质检)某农场种植基地2021年蔬菜产量为100吨,预计2023年蔬菜产量将达到121吨.若蔬菜产量的年平均增长率相同,则年平均增长率为( )
A.-210% B.-10% C.5% D.10%
6.为了增强学生体质,某中学要兴建一个矩形的课间活动区.根据规划,活动区的长和宽分别为20 m和16 m,同时在它四周外围要环绕宽度相等的小路并进行硬化.已知活动区和小路的总面积为480 m2.
(1)求小路的宽.
(2)某公司希望用100万元的承包金额承揽修建活动区的工程,学校认为金额太高需要降价,通过两次协商,最终以81万元达成一致,若两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.
【B层 能力进阶】
7.某地有1人感染了A病毒,经过两轮传染后,一共有196人感染了此病毒.设每轮传染中一人可以传染x个人,下面所列方程正确的是( )
A.1+x+x(x+1)=196
B.1+(1+x)+x(x+1)=196
C.1+x+x2=196
D.x(x+1)=196
8.某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时,每天可售出300件.经调查当单价每涨1元时,每天少售出10件.若商场想每天获得3 750元利润,设每件玩具涨x元,可列方程为:(30+x-20)(300-10x)=3 750.对所列方程中出现的代数式,下列说法错误的是( )
A.(30+x)表示涨价后玩具的单价
B.10x表示涨价后少售出玩具的数量
C.(300-10x)表示涨价后销售玩具的数量
D.(30+x-20)表示涨价后的每件玩具的单价
9.(2024·黔东南州期中)为解决看病难的问题,政府决定下调药品的价格,某种药品经过连续两次降价后,由每盒100元下调至64元,则这种药品平均每次降价的百分率是___ ___.
10.(2024·铜仁石阡县质检)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出,平均每天可售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现:每件降价1元,则每天可多售5件,如果每天要盈利800元,每件应降价___ ___元.
11.(2024·贵阳期中)猕猴桃是我省修文县特产.修文县某村民合作社2021年种植猕猴桃100亩,2023年该合作社扩大了猕猴桃的种植面积,共种植144亩.
(1)求该合作社这两年种植猕猴桃亩数的平均增长率.
(2)某水果专卖店销售修文县生产的猕猴桃,市场调查发现,当猕猴桃售价为20元/千克时,每天能售出200千克,售价每降低1元,每天可多售出50千克,为了推广宣传,该店决定降价促销,已知猕猴桃的平均成本价为12元/千克,若使销售猕猴桃每天获利1 800元,则售价应降低多少元
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、运算能力、应用意识)(2024·青岛期中)“直播带货”已经成为时尚销售方式,某带货主播准备销售一种防护品,进货价格为每件50元,并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现:每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足如图所示的函数关系.
(1)求每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数关系式;(不必写出自变量的取值范围)
(2)物价部门规定,该防护品每件的利润不许高于进货价的50%.该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10 000元,那么每件的售价应定为多少元
