用树状图或表格求概率(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 转盘中的概率
1.(2024·黔东南州期中)如图所示的是两个可以自由转动的均匀转盘A和B,转盘A,B分别被均匀地分成三等份和四等份,同时自由转动转盘A和B,转盘停止后,指针各指向一个数字(如果指针恰好在分格线上,那么重转一次,直至指针指向某一数字为止),则两个数字的积为偶数的概率是(B)
A. B. C. D.
2.如图所示的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数字-1,0,π,,若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时,不记录且重新转动),则两次记录的数字都是有理数的概率是 (C)
A. B. C. D.
3.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏,分别旋转两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,那么可配成紫色的概率是 (B)
A. B. C. D.
知识点2 游戏的公平性
4.(2024·贵阳质检)甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子,如果两者之和为偶数,甲得1分;如果两者之和为奇数,乙得1分,此游戏 (A)
A.是公平的 B.对乙有利
C.对甲有利 D.以上都不对
5.小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次.小明说:“如果两次都是正面,那么你赢;如果两次是一正一反,那么我赢.”小红赢的概率是 ___.据此判断该游戏___不公平___.(填“公平”或“不公平”)
6.(2024·毕节期末)“六一”儿童节,全校要举办文艺汇演活动,小玉和小露都想去当节目主持人,但现在只有一个名额,小露设计了一个游戏,她将转盘(均质的)均分成6份,并依次写上1,2,3,4,5,6六个数字,如图所示,游戏规定:随意转动转盘,转盘停止后,若指针指到的数字是2的倍数,则小露去;若指针指到的数字是3的倍数,则小玉去.
(1)该游戏是否公平 为什么 请说明理由;
(2)若该游戏公平,请你设计一个有利于小玉获胜的游戏规则,若该游戏不公平,你能将这个游戏改进后,使得游戏公平吗 请写出你的游戏规则,并说明理由.
【解析】(1)这个游戏不公平,理由如下:
∵一共有6个数字,转到每个数字的概率一样,
∴转到每个数字的概率为,
∵这6个数字中是2的倍数的数字有2,4,6共3个,是3的倍数的数字有3、6共2个,∴小露去的概率为3×=,小玉去的概率为2×=,
∵>,∴这个游戏不公平;
(2)由(1)可知这个游戏不公平,设计规则如下:随意转动转盘,转盘停止后,若指针指到的数字是奇数,则小露去;若指针指到的数字是偶数,则小玉去;
∵转到每个数字的概率为,奇数和偶数的个数分别为3,3,∴小玉和小露去的概率都为3×=,∴此规则下,游戏是公平的.
【B层 能力进阶】
7.如图,有两个可以自由转动的转盘(每个转盘均被等分),同时转动这两个转盘,待转盘停止后,两个指针同时指在偶数上的概率是 (B)
A. B. C. D.
8.甲、乙两人一起玩如图所示的转盘游戏,将两个转盘各转一次,指针指向的数的和为正数,甲胜,否则乙胜,这个游戏 (A)
A.公平 B.对甲有利
C.对乙有利 D.公平性不可预测
9.(2024·贵阳质检)甲、乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏.游戏规则:转动两个转盘各一次,当转盘停止后,A盘和B盘上的两指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜;数字之和为奇数时乙获胜.若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘.甲获胜的概率是 (C)
A. B. C. D.
10.小兰和小青两人做游戏,每次从装有3个红球、2个白球的不透明袋子中随机摸出两球,如果两球的颜色相同,则小兰赢,否则小青赢,请你判断一下该游戏规则对___小青___有利(填“小兰”或“小青”).
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、运算能力、应用意识)(2023·内蒙古中考)如图,A,B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形,转盘A上的数字分别是-6,-1,5,转盘B上的数字分别是6,-7,4(两个转盘除表面数字不同外,其他完全相同).小聪和小明同时转动A,B两个转盘,使之旋转(规定:指针恰好停留在分界线上,则重新转一次).
(1)转动转盘,转盘A指针指向正数的概率是________;
(2)若同时转动两个转盘,转盘A指针所指的数字记为a,转盘B指针所指的数字记为b,若a+b>0,则小聪获胜;若a+b<0,则小明获胜;请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平.
【解析】(1)∵A转盘被分成三个面积相等的扇形,转盘上的数字分别是-6,-1,5,其中正数有1个,
∴P(转盘A指针指向正数)=;
答案:
(2)列表如下:
数字 -6 -1 5
6 0 5 11
-7 -13 -8 -2
4 -2 3 9
一共有9种等可能的结果,其中a+b>0有4种可能的结果,a+b<0有4种等可能的结果,
∴P(小聪获胜)=,
P(小明获胜)=,
∵P(小聪获胜)=P(小明获胜),
∴这个游戏公平. 用树状图或表格求概率(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 转盘中的概率
1.(2024·黔东南州期中)如图所示的是两个可以自由转动的均匀转盘A和B,转盘A,B分别被均匀地分成三等份和四等份,同时自由转动转盘A和B,转盘停止后,指针各指向一个数字(如果指针恰好在分格线上,那么重转一次,直至指针指向某一数字为止),则两个数字的积为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
2.如图所示的一个转盘,盘面被等分成四个扇形区域,并分别标有数字-1,0,π,,若转动转盘两次,每次转盘停止后记录指针所指区域的数字(当指针恰好指在分界线上时,不记录且重新转动),则两次记录的数字都是有理数的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏,分别旋转两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,那么可配成紫色的概率是 ( )
A. B. C. D.
知识点2 游戏的公平性
4.(2024·贵阳质检)甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子,如果两者之和为偶数,甲得1分;如果两者之和为奇数,乙得1分,此游戏 ( )
A.是公平的 B.对乙有利
C.对甲有利 D.以上都不对
5.小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次.小明说:“如果两次都是正面,那么你赢;如果两次是一正一反,那么我赢.”小红赢的概率是 __.据此判断该游戏___ ___.(填“公平”或“不公平”)
6.(2024·毕节期末)“六一”儿童节,全校要举办文艺汇演活动,小玉和小露都想去当节目主持人,但现在只有一个名额,小露设计了一个游戏,她将转盘(均质的)均分成6份,并依次写上1,2,3,4,5,6六个数字,如图所示,游戏规定:随意转动转盘,转盘停止后,若指针指到的数字是2的倍数,则小露去;若指针指到的数字是3的倍数,则小玉去.
(1)该游戏是否公平 为什么 请说明理由;
(2)若该游戏公平,请你设计一个有利于小玉获胜的游戏规则,若该游戏不公平,你能将这个游戏改进后,使得游戏公平吗 请写出你的游戏规则,并说明理由.
【B层 能力进阶】
7.如图,有两个可以自由转动的转盘(每个转盘均被等分),同时转动这两个转盘,待转盘停止后,两个指针同时指在偶数上的概率是 ( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两人一起玩如图所示的转盘游戏,将两个转盘各转一次,指针指向的数的和为正数,甲胜,否则乙胜,这个游戏 ( )
A.公平 B.对甲有利
C.对乙有利 D.公平性不可预测
9.(2024·贵阳质检)甲、乙两人用如图所示的两个转盘(每个转盘被分成面积相等的3个扇形)做游戏.游戏规则:转动两个转盘各一次,当转盘停止后,A盘和B盘上的两指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜;数字之和为奇数时乙获胜.若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘.甲获胜的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.小兰和小青两人做游戏,每次从装有3个红球、2个白球的不透明袋子中随机摸出两球,如果两球的颜色相同,则小兰赢,否则小青赢,请你判断一下该游戏规则对___ ___有利(填“小兰”或“小青”).
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、运算能力、应用意识)(2023·内蒙古中考)如图,A,B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形,转盘A上的数字分别是-6,-1,5,转盘B上的数字分别是6,-7,4(两个转盘除表面数字不同外,其他完全相同).小聪和小明同时转动A,B两个转盘,使之旋转(规定:指针恰好停留在分界线上,则重新转一次).
(1)转动转盘,转盘A指针指向正数的概率是________;
(2)若同时转动两个转盘,转盘A指针所指的数字记为a,转盘B指针所指的数字记为b,若a+b>0,则小聪获胜;若a+b<0,则小明获胜;请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平. 用树状图或表格求概率(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用树状图法求概率
1.(2024·遵义期中)小哲同学准备给新买的行李箱密码锁设置一个密码,密码是3位数字,如图,小哲同学已经在从左到右的第一位上设置了自己喜欢的数字5,第二位和第三位的数从2,6,8这三个数字中任意选取(可重复选相同数字),并且每个数字被选中的可能性一样大,则剩下两位选的数字不同的概率是 (B)
A. B. C. D.
2.(2024·六盘水期中)“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶,现有一款“一起听古音”的音乐玩具,音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音,且小球进入每个小洞的可能性大小相同,现有两个音乐小球从A处先后进入小洞,发出“商”音,再发出“羽”音的概率是 (A)
A. B. C. D.
3.一张圆桌旁设有4个座位,甲先坐在如图所示的座位上,乙、丙、丁三人等可能地坐到其他3个座位上.
(1)乙与甲不相邻而坐的概率为________;
(2)求丙与丁相邻而坐的概率.(画树状图或表格列出所有等可能出现的结果)
【解析】(1)由题意得,乙与甲不相邻而坐,即乙选择甲相对的那个座位,∴乙与甲不相邻而坐的概率为.
答案:
(2)记左、下、右三个座位分别为A,B,C,
画树状图如下:
共有6种等可能的结果,其中丙与丁相邻而坐的结果有:(A,B,C),(A,C,B),(C,A,B),(C,B,A),共4种,
∴丙与丁相邻而坐的概率为=.
知识点2 用列表法求概率
4.(2024·黔东南州期中)小颖有两顶帽子,分别为红色和黑色,有三条围巾,分别为红色、黑色和白色,她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上,恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 (C)
A. B. C. D.
5.(2024·贵阳质检)化学课上,小华学到了这样一个知识:将二氧化碳通入澄清石灰水,澄清石灰水会变浑浊.以下为常考的四个实验:A.高锰酸钾制取氧气,B.电解水,C.木炭还原氧化铜,D.一氧化碳还原氧化铜.已知这四个实验中,C,D两个实验均能产生二氧化碳,若小华从四个实验中任意选做两个,则两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为 ___.
6.有四张除数字外其他完全一样的卡片,正面写有数字0,-1,2,-3.把它们全部背面朝上,抽出一张记为数m作为点A的横坐标,不放回,再抽一张记为数n作为点A的纵坐标.则点A(m,n)在第四象限内的概率为 ___.
7.(2024·黔南州质检)某校八年级计划在开学第二周的星期二至星期五开展社会实践活动,要求每位学生选择两天参加活动.
(1)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期三的概率是___________;
(2)甲同学随机选择两天,请用列表或画树状图的方法求其中有一天是星期三的概率.
【解析】(1)由题意得,乙同学随机选择连续的两天可能出现结果有:(星期二,星期三),(星期三,星期四),(星期四,星期五),共3种,
其中有一天是星期三的结果有2种,
∴其中有一天是星期三的概率是.
答案:
(2)列表如下:
星期 星期二 星期三 星期四 星期五
星期二 — (星期二,星期三) (星期二,星期四) (星期二,星期五)
星期三 (星期三,星期二 — (星期三,星期四) (星期三,星期五)
星期四 (星期四,星期二) (星期四,星期三) — (星期三,星期五)
星期五 (星期五,星期二) (星期五,星期三) (星期五,星期四) —
共有12种等可能的结果,其中有一天是星期三的结果有6种,
∴甲同学随机选择两天,其中有一天是星期三的概率为=.
【B层 能力进阶】
8.(2024·黔东南州期末)有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙分别能打开这两把锁,第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次能打开锁的概率是 (B)
A.0 B. C. D.1
9.在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的6个球,每个球上都写有一个汉字,分别为“玉”“门”“铁”“人”“精”“神”.从中依次任意取出2个球(第1次取出的球不放回袋中),则取出的2个球上为“玉”“门”两个汉字的概率是 (A)
A. B. C. D.
10.周末小明一家想到丹霞山、老厂竹海、坡上草原中的一处旅游,小颖一家想去丹霞山、坡上草原中的一处旅游,则两家恰好选择同一处景区的概率是 ___.
11.现有3张正面分别标有数字-1,3,4的卡片,它们除数字不同外,其余完全相同.将卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张记为a,再从剩下的卡片中随机抽取一张记为b,则a,b能使关于x,y的二元一次方程组满足x+y>3的概率为 ___.
12.三张材质、大小完全相同的卡片上依次写有成语“守株待兔”“水中捞月”和“瓮中捉鳖”,现放置于暗箱内,摇匀后随机抽取一张,不放回,然后抽取第二张,则两次抽到的成语均为确定事件的概率是 ___.
13.(2023·扬州中考)扬州是个好地方,有着丰富的旅游资源.某天甲、乙两人来扬州旅游,两人分别从A,B,C三个景点中随机选择一个景点游览.
(1)甲选择A景点的概率为________;
(2)请用画树状图或列表的方法,求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率.
【解析】(1)甲选择A景点的概率为;
答案:
(2)根据题意画树状图如下:
共有9种等可能的情况,其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种,∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)小明参加某个智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题小明都不会,不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉当前题的一个错误选项,然后选手在剩下选项中作答).
(1)如果小明第一道题不使用“求助”,那么小明答对第一道题的概率是________.
(2)如果小明将“求助”留在第二道题使用,请用画树状图或列表法求小明顺利通关的概率.
(3)从概率的角度分析,你建议小明在第几题使用“求助” 并说明理由.
【解析】(1)如果小明第一道题不使用“求助”,那么小明答对第一道题的概率是.
答案:
(2)画树状图为:
共有9种等可能的结果,其中两个都正确的结果为1种,所以小明顺利通关的概率为.
(3)建议小明在第一道题使用“求助”.理由如下:
小明将“求助”留在第一道题,
画树状图为:
小明将“求助”留在第一道题使用,小明顺利通关的概率为,因为>,所以建议小明在第一道题使用“求助”. 用树状图或表格求概率(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用树状图法求概率
1.(2024·遵义期中)小哲同学准备给新买的行李箱密码锁设置一个密码,密码是3位数字,如图,小哲同学已经在从左到右的第一位上设置了自己喜欢的数字5,第二位和第三位的数从2,6,8这三个数字中任意选取(可重复选相同数字),并且每个数字被选中的可能性一样大,则剩下两位选的数字不同的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.(2024·六盘水期中)“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶,现有一款“一起听古音”的音乐玩具,音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音,且小球进入每个小洞的可能性大小相同,现有两个音乐小球从A处先后进入小洞,发出“商”音,再发出“羽”音的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.一张圆桌旁设有4个座位,甲先坐在如图所示的座位上,乙、丙、丁三人等可能地坐到其他3个座位上.
(1)乙与甲不相邻而坐的概率为________;
(2)求丙与丁相邻而坐的概率.(画树状图或表格列出所有等可能出现的结果)
知识点2 用列表法求概率
4.(2024·黔东南州期中)小颖有两顶帽子,分别为红色和黑色,有三条围巾,分别为红色、黑色和白色,她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上,恰好为红色帽子和红色围巾的概率是 ( )
A. B. C. D.
5.(2024·贵阳质检)化学课上,小华学到了这样一个知识:将二氧化碳通入澄清石灰水,澄清石灰水会变浑浊.以下为常考的四个实验:A.高锰酸钾制取氧气,B.电解水,C.木炭还原氧化铜,D.一氧化碳还原氧化铜.已知这四个实验中,C,D两个实验均能产生二氧化碳,若小华从四个实验中任意选做两个,则两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为 __.
6.有四张除数字外其他完全一样的卡片,正面写有数字0,-1,2,-3.把它们全部背面朝上,抽出一张记为数m作为点A的横坐标,不放回,再抽一张记为数n作为点A的纵坐标.则点A(m,n)在第四象限内的概率为 __.
7.(2024·黔南州质检)某校八年级计划在开学第二周的星期二至星期五开展社会实践活动,要求每位学生选择两天参加活动.
(1)乙同学随机选择连续的两天,其中有一天是星期三的概率是___________;
(2)甲同学随机选择两天,请用列表或画树状图的方法求其中有一天是星期三的概率.
【B层 能力进阶】
8.(2024·黔东南州期末)有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙分别能打开这两把锁,第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次能打开锁的概率是 ( )
A.0 B. C. D.1
9.在一个不透明的袋中装有大小和质地都相同的6个球,每个球上都写有一个汉字,分别为“玉”“门”“铁”“人”“精”“神”.从中依次任意取出2个球(第1次取出的球不放回袋中),则取出的2个球上为“玉”“门”两个汉字的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.周末小明一家想到丹霞山、老厂竹海、坡上草原中的一处旅游,小颖一家想去丹霞山、坡上草原中的一处旅游,则两家恰好选择同一处景区的概率是 __.
11.现有3张正面分别标有数字-1,3,4的卡片,它们除数字不同外,其余完全相同.将卡片背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张记为a,再从剩下的卡片中随机抽取一张记为b,则a,b能使关于x,y的二元一次方程组满足x+y>3的概率为 ___.
12.三张材质、大小完全相同的卡片上依次写有成语“守株待兔”“水中捞月”和“瓮中捉鳖”,现放置于暗箱内,摇匀后随机抽取一张,不放回,然后抽取第二张,则两次抽到的成语均为确定事件的概率是 __.
13.(2023·扬州中考)扬州是个好地方,有着丰富的旅游资源.某天甲、乙两人来扬州旅游,两人分别从A,B,C三个景点中随机选择一个景点游览.
(1)甲选择A景点的概率为________;
(2)请用画树状图或列表的方法,求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)小明参加某个智力竞答节目,答对最后两道单选题就顺利通关.第一道单选题有3个选项,第二道单选题有4个选项,这两道题小明都不会,不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉当前题的一个错误选项,然后选手在剩下选项中作答).
(1)如果小明第一道题不使用“求助”,那么小明答对第一道题的概率是________.
(2)如果小明将“求助”留在第二道题使用,请用画树状图或列表法求小明顺利通关的概率.
(3)从概率的角度分析,你建议小明在第几题使用“求助” 并说明理由.
