相似多边形
【A层 基础夯实】
知识点1 相似图形的识别
1.如图,用放大镜将如图图标放大,这两个图形的关系是 (A)
A.相似 B.平移 C.轴对称 D.旋转
2.(2024·铜仁期末)下列各组图形中,一定相似的是 (D)
A.两个矩形
B.都有内角是80°的两个等腰三角形
C.两个菱形
D.都有内角是100°的两个等腰三角形
3.(2024·贵阳期末)小亮利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形,若每个图案花边的宽度都相等,那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 (C)
知识点2 利用相似多边形的定义进行计算
4.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,相似比为2∶3,四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似,相似比为5∶4,则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为 (A)
A.5∶6 B.6∶5 C.5∶6或6∶5 D.8∶15
5.已知矩形OABC∽矩形OA'B'C',B'(10,5),AA'=1,则CC'的长是 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2023·威海中考)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为 (C)
A.-1 B.-1
C.+1 D.+1
7.秋天红透的枫叶,总能牵动人们无尽的思绪,所以诗人杜牧说:“停车坐爱枫林晚,霜叶红于二月花.”如图是两片形状相同的枫叶图案,则x的值为___11___.
8.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)若两个相似多边形的最长边的长度分别为16和32,且其中一个多边形的最短边长为8,则另一个多边形的最短边长为___16或4___.
【B层 能力进阶】
9.将一张矩形纸片沿较长边的中点对折,如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似,那么原来矩形较长边和较短边的比是 (B)
A.2∶1 B.∶1 C.3∶1 D.∶1
10.(2024·安顺质检)如图,矩形ABCD被分割成3个全等的矩形,若这3个矩形都和矩形ABCD相似,则AD∶AB= (B)
A.3 B. C. D.
11.在长8 cm,宽6 cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形的面积是___27___cm2.
12.(2024·六盘水期中)如图,已知四边形AEFD∽四边形EBCF,若AD=3,EF=4,则BC的长为 ___.
13.(2024·毕节质检)如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,E,F分别是AB,CD上的点,且AE=DF=8,两动点M,N都以2 cm/s的速度分别从C,F两点沿CB,FE向B,E两点运动,判断当M,N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似,并证明你的结论.
【解析】设M,N运动时间为ts时,能使矩形CFNM与矩形AEFD相似,由题意得=或=,解得:t=4或t=1.
当t=4时,NF=8,
∵==,
且四边形CFNM与四边形AEFD都是矩形,
∴矩形CFNM与矩形AEFD相似.
同理可证当t=1时矩形CFNM与矩形AEFD相似.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(创新挑战题·抽象能力、模型观念、推理能力)(2024·台州质检)某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时,他们发现结论一:将外面大三角形按图(1)的方式向内缩小,得到新三角形,它们对应的边间距都为1,则通过测量可得新三角形与原三角形的对应角相等,对应边成比例,因此他们得到新三角形与原三角形相似(可以证明其正确).
结论二:依照上面结论他们归纳得:将邻边为6和10的矩形按图(2)的方式向内缩小,得到新的矩形,它们对应的边间距都为1,则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题:
(1)你认为结论二是否正确 请说明理由.
(2)如图(3),已知△ABC,AC=6,BC=8,AB=10,将△ABC按图(3)的方式向外扩张,得到△DEF,它们对应的边间距都为1,DE=15,求△DEF的面积.
【解析】(1)结论二不正确.由题意可知,原矩形的邻边为6和10,
则新矩形邻边为4和8,
∵=,=,∴≠,
∴新矩形与原矩形不相似,
∴结论二不正确;
(2)∵AC=6,BC=8,AB=10,
∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,
由结论一知△ABC∽△DEF,
∴∠DFE=90°,
===,
∴=,=,
∴DF=9,EF=12,
∴△DEF的面积为:×9×12=54.相似多边形
【A层 基础夯实】
知识点1 相似图形的识别
1.如图,用放大镜将如图图标放大,这两个图形的关系是 ( )
A.相似 B.平移 C.轴对称 D.旋转
2.(2024·铜仁期末)下列各组图形中,一定相似的是 ( )
A.两个矩形
B.都有内角是80°的两个等腰三角形
C.两个菱形
D.都有内角是100°的两个等腰三角形
3.(2024·贵阳期末)小亮利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画,下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形,若每个图案花边的宽度都相等,那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是 ( )
知识点2 利用相似多边形的定义进行计算
4.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,相似比为2∶3,四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似,相似比为5∶4,则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为 ( )
A.5∶6 B.6∶5 C.5∶6或6∶5 D.8∶15
5.已知矩形OABC∽矩形OA'B'C',B'(10,5),AA'=1,则CC'的长是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2023·威海中考)如图,四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠:使DA边落在DC边上,点A落在点H处,折痕为DE;使CB边落在CD边上,点B落在点G处,折痕为CF.若矩形HEFG与原矩形ABCD相似,AD=1,则CD的长为 ( )
A.-1 B.-1
C.+1 D.+1
7.秋天红透的枫叶,总能牵动人们无尽的思绪,所以诗人杜牧说:“停车坐爱枫林晚,霜叶红于二月花.”如图是两片形状相同的枫叶图案,则x的值为___ ___.
8.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)若两个相似多边形的最长边的长度分别为16和32,且其中一个多边形的最短边长为8,则另一个多边形的最短边长为___ ___.
【B层 能力进阶】
9.将一张矩形纸片沿较长边的中点对折,如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似,那么原来矩形较长边和较短边的比是 ( )
A.2∶1 B.∶1 C.3∶1 D.∶1
10.(2024·安顺质检)如图,矩形ABCD被分割成3个全等的矩形,若这3个矩形都和矩形ABCD相似,则AD∶AB= ( )
A.3 B. C. D.
11.在长8 cm,宽6 cm的矩形中,截去一个矩形,使留下的矩形与原矩形相似,那么留下的矩形的面积是___ ___cm2.
12.(2024·六盘水期中)如图,已知四边形AEFD∽四边形EBCF,若AD=3,EF=4,则BC的长为 __.
13.(2024·毕节质检)如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,E,F分别是AB,CD上的点,且AE=DF=8,两动点M,N都以2 cm/s的速度分别从C,F两点沿CB,FE向B,E两点运动,判断当M,N运动多长时间能使矩形CFNM与矩形AEFD相似,并证明你的结论.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(创新挑战题·抽象能力、模型观念、推理能力)(2024·台州质检)某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时,他们发现结论一:将外面大三角形按图(1)的方式向内缩小,得到新三角形,它们对应的边间距都为1,则通过测量可得新三角形与原三角形的对应角相等,对应边成比例,因此他们得到新三角形与原三角形相似(可以证明其正确).
结论二:依照上面结论他们归纳得:将邻边为6和10的矩形按图(2)的方式向内缩小,得到新的矩形,它们对应的边间距都为1,则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题:
(1)你认为结论二是否正确 请说明理由.
(2)如图(3),已知△ABC,AC=6,BC=8,AB=10,将△ABC按图(3)的方式向外扩张,得到△DEF,它们对应的边间距都为1,DE=15,求△DEF的面积.
