探索三角形相似的条件(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用两角分别相等判定两三角形相似
1.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是 ( )
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
2.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为( )
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
3.(2024·贵阳期中)如图,AB⊥BD,DE⊥BD,C为BD上一点,连接AC,CE,添加一个条件使得△ABC与△CDE 相似,添加的这个条件是___ ___.
4.如图,在△ABC中,BM平分∠ABC,MB=MC.
(1)求证:△AMB∽△ABC;
(2)若AM=3,MB=6,求AB的长.
知识点2 利用两边成比例且夹角相等判定两三角形相似
5.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 ( )
6.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,AC=3,BC=4,DF=6,DE=8,判定这两个三角形是否相似.___ ___.(填“相似”或“不相似”)
7.(2024·毕节质检)如图,在△ADE和△ABC中,=,且∠EAC=∠DAB.求证:△EAC∽△DAB.
8.(2024·六盘水期中)如图,已知:AP2=AQ·AB,且∠ABP=∠C,试说明△QPB∽△PBC.
【B层 能力进阶】
9.(2024·铜仁质检)如图,已知D是△ABC的边AC上一点,根据下列条件,不能判定△CAB∽△CBD的是 ( )
A.∠A=∠CBD B.∠CBA=∠CDB
C.AB·CD=BD·BC D.BC2=AC·CD
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点P是AC的中点,过点P的直线l截下的三角形与△ABC相似,这样的直线l的条数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2024·安顺质检)如图,∠1=∠2,添加一个条件___ ___使得△ADE∽△ACB.
12.(2024·凯里从江县质检)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:
(1)∠CAE=∠BAF;
(2)CF·FQ=AF·BQ.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、抽象能力、推理能力)(2023·鸡西中考)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连接DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连接FG,FH.易证:FH=FG.
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②;若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③.其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明. 探索三角形相似的条件(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用三边成比例判定两三角形相似
1.(2024·毕节期末)如图是老师画出的△ABC,已标出三边的长度,下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是 (C)
2.在△ABC中,AB=8,AC=6,在△DEF中,DE=4,DF=3,当=___2___时,△ABC∽△DEF.
3.如图,==,那么∠ABD与∠CBE相等吗 为什么
【解析】∠ABD=∠CBE.理由如下:
∵==,
∴△ABC∽△DBE,∴∠ABC=∠DBE,
∴∠ABD=∠CBE.
知识点2 黄金分割的应用
4.如图,小主持人舞台AB长10米,主持人位置点C是靠近点B的黄金分割点,则AC的长约为 (C)
A.3.82米 B.5米 C.6.18米 D.7米
5.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合,其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如图,若点C可看作是线段AB的黄金分割点(AC6.九年级融融陪同父母选购家装木地板,她感觉某品牌木地板拼接图比较美观,通过手绘(如图)、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点,即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G,则EG≈___0.618___DE.(精确到0.001)
7.已知点C,D是线段AB的黄金分割点,AB=10,求线段AC与CD的长.
【解析】∵点C,D是线段AB的黄金分割点,
∴AC=AB=5-5,BD=AB=5-5,∴AD=AB-BD=15-5,∴CD=AC-AD=5-5-(15-5)=10-20.
【B层 能力进阶】
8.(2024·上海浦东期中)如图,△PQR在边长为1个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形顶点位置,其中点A,B,C,D也是小正方形的顶点,那么与△PQR相似的是 (B)
A.以点P,Q,A为顶点的三角形
B.以点P,Q,B为顶点的三角形
C.以点P,Q,C为顶点的三角形
D.以点P,Q,D为顶点的三角形
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·六盘水期末)已知线段AB的长为2厘米,点P是AB的黄金分割点,线段PB的长是 (B)
A. B.-1或3-
C.3- D.-1
10.如图,AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,且==.图中有哪几对相似三角形 把它们表示出来,并证明.
【解析】∵==,
∴△ABD∽△A'B'D',
∴∠B=∠B',∠BAD=∠B'A'D'.
∵AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,
∴∠BAC=∠B'A'C'=2∠BAD,
∴△ABC∽△A'B'C',
∴∠C=∠C'.
又∵∠CAD=∠C'A'D'=∠BAC,
∴△CAD∽△C'A'D'.
综上所述,题图中的相似三角形有3对:
△ABD∽△A'B'D',△ABC∽△A'B'C',△CAD∽△C'A'D'.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(创新意识、运算能力、推理能力)(2023·遵义三模)(1)数学活动一
宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑,都采用了黄金矩形的设计.在数学活动课上,小红按如下步骤折叠出一个矩形:
第一步,在一张矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形ABCD,然后把纸片展平;
第二步,如图②,把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形,再把纸片展平;
第三步,如图③,折出内侧矩形EFBC的对角线CF,并把CF折到图中所示FN处;
第四步,如图④,展平纸片,按照点N折出NM,得到矩形BNMC.
若AD=2,请证明矩形BNMC是黄金矩形.
(2)数学活动二
如图⑤,点C在线段AB上,且满足AC∶BC=BC∶AB,即BC2=AC·AB,此时,我们说点C是线段AB的黄金分割点,且通过计算可得=.小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式,如图⑥,折出右侧矩形EFBC的对角线EB,把AB边沿BG折叠,使得A点落在对角线BE上的K点处,若AD=2,请通过计算说明G点是AD的黄金分割点.
【解析】(1)根据第一步折叠可知,四边形ABCD是正方形,正方形边长为2,
根据第二步可知,FB=1,
在△FCB中,根据勾股定理,得FC==,
根据第三步可知,FC=FN=,
∴BN=-1,∴=.
∴矩形BNMC是黄金矩形.
(2)如图,连接GE,正方形的边长AD=2,
由对折可得:AF=BF=CE=DE=1,BA=BK=2,AG=GK,∠A=∠GKB=90°,
∴BE==,EK=-2,∠GKE=90°,
设AG=x,∴GK=x,GD=2-x,
所以由勾股定理可得(2-x)2+12=x2+,
解得x=-1,
∴=,
所以G点是AD的黄金分割点. 探索三角形相似的条件(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用两角分别相等判定两三角形相似
1.下列条件中,一定能判断两个等腰三角形相似的是 (C)
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
2.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为(C)
A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm
3.(2024·贵阳期中)如图,AB⊥BD,DE⊥BD,C为BD上一点,连接AC,CE,添加一个条件使得△ABC与△CDE 相似,添加的这个条件是___∠A=∠ECD(答案不唯一)___.
4.如图,在△ABC中,BM平分∠ABC,MB=MC.
(1)求证:△AMB∽△ABC;
(2)若AM=3,MB=6,求AB的长.
【解析】(1)∵MB=MC,∴∠MBC=∠MCB,
∵BM平分∠ABC,∴∠MBC=∠ABM,
∴∠ABM=∠MCB,
又∵∠A=∠A,∴△AMB∽△ABC;
(2)∵AM=3,MB=MC=6,∴AC=9,
∵△AMB∽△ABC,∴=,
∴AB2=27,∴AB=3(负值舍去),
∴AB的长为3.
知识点2 利用两边成比例且夹角相等判定两三角形相似
5.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 (B)
6.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,AC=3,BC=4,DF=6,DE=8,判定这两个三角形是否相似.___不相似___.(填“相似”或“不相似”)
7.(2024·毕节质检)如图,在△ADE和△ABC中,=,且∠EAC=∠DAB.求证:△EAC∽△DAB.
【证明】∵=,
∴=,
∵∠EAC=∠DAB,
∴△EAC∽△DAB.
8.(2024·六盘水期中)如图,已知:AP2=AQ·AB,且∠ABP=∠C,试说明△QPB∽△PBC.
【证明】∵AP2=AQ·AB,∴=,
∵∠A=∠A,∴△APQ∽△ABP,
∴∠APB=∠AQP,∴∠BPC=∠BQP,
又∵∠ABP=∠C,∴△QPB∽△PBC.
【B层 能力进阶】
9.(2024·铜仁质检)如图,已知D是△ABC的边AC上一点,根据下列条件,不能判定△CAB∽△CBD的是 (C)
A.∠A=∠CBD B.∠CBA=∠CDB
C.AB·CD=BD·BC D.BC2=AC·CD
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点P是AC的中点,过点P的直线l截下的三角形与△ABC相似,这样的直线l的条数是 (D)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2024·安顺质检)如图,∠1=∠2,添加一个条件___∠D=∠C(或∠E=∠B或=)___使得△ADE∽△ACB.
12.(2024·凯里从江县质检)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点E,F在线段BC上,点Q在线段AB上,且CF=BE,AE2=AQ·AB.求证:
(1)∠CAE=∠BAF;
(2)CF·FQ=AF·BQ.
【证明】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵CF=BE,∴CE=BF,
在△ACE和△ABF中,,
∴△ACE≌△ABF(SAS),
∴∠CAE=∠BAF;
(2)∵△ACE≌△ABF,
∴AE=AF,∠CAE=∠BAF,
∵AE2=AQ·AB,AC=AB,
∴=,即=,
∴△ACE∽△AFQ,
∴∠AEC=∠AQF,∴∠AEF=∠BQF,
∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,
∴∠BQF=∠AFE,
∵∠B=∠C,∴△BFQ∽△CAF,
∴=,∴CF·FQ=AF·BQ.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、抽象能力、推理能力)(2023·鸡西中考)如图①,△ABC和△ADE是等边三角形,连接DC,点F,G,H分别是DE,DC和BC的中点,连接FG,FH.易证:FH=FG.
若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,如图②;若△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,如图③.其他条件不变,判断FH和FG之间的数量关系,写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明.
【解析】如图②,FH=FG,
证明:连接AH,CE,AF,
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,F,H分别是DE,BC的中点,
∴AH⊥BC,AF⊥DE,AH=CH=BC,AF=EF=DE,
∴∠CAH=∠EAF=45°,
∴∠HAF=∠EAC,
∵在Rt△AHC中,由勾股定理得,
AC==AH,
同理可得,AE=AF,∴==,
∴△AHF∽△ACE,
∴==,
∴CE=FH,
∵点F,G分别是DE,DC的中点,
∴CE=2FG,
∴FH=FG;
如图③,FH=FG,
证明:连接AH,CE,AF,
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形,且∠BAC=∠DAE=120°,
∴∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B=30°,
∵点F,H分别是DE,BC的中点,
∴AH⊥BC,AF⊥DE,∠CAH=∠EAF=×120°=60°,
∴∠HAF=∠EAC,==,
∴△AHF∽△ACE,
∴==,
∴CE=2FH,
∵点F,G分别是DE,DC的中点,
∴CE=2FG,
∴FH=FG. 探索三角形相似的条件(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 利用三边成比例判定两三角形相似
1.(2024·毕节期末)如图是老师画出的△ABC,已标出三边的长度,下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC不一定相似的是 ( )
2.在△ABC中,AB=8,AC=6,在△DEF中,DE=4,DF=3,当=___ ___时,△ABC∽△DEF.
3.如图,==,那么∠ABD与∠CBE相等吗 为什么
知识点2 黄金分割的应用
4.如图,小主持人舞台AB长10米,主持人位置点C是靠近点B的黄金分割点,则AC的长约为 ( )
A.3.82米 B.5米 C.6.18米 D.7米
5.2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合,其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如图,若点C可看作是线段AB的黄金分割点(AC6.九年级融融陪同父母选购家装木地板,她感觉某品牌木地板拼接图比较美观,通过手绘(如图)、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点,即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G,则EG≈___ ___DE.(精确到0.001)
7.已知点C,D是线段AB的黄金分割点,AB=10,求线段AC与CD的长.
【B层 能力进阶】
8.(2024·上海浦东期中)如图,△PQR在边长为1个单位的方格纸中,它的顶点在小正方形顶点位置,其中点A,B,C,D也是小正方形的顶点,那么与△PQR相似的是 ( )
A.以点P,Q,A为顶点的三角形
B.以点P,Q,B为顶点的三角形
C.以点P,Q,C为顶点的三角形
D.以点P,Q,D为顶点的三角形
9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)(2024·六盘水期末)已知线段AB的长为2厘米,点P是AB的黄金分割点,线段PB的长是 ( )
A. B.-1或3-
C.3- D.-1
10.如图,AD,A'D'分别是△ABC,△A'B'C'的角平分线,且==.图中有哪几对相似三角形 把它们表示出来,并证明.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(创新意识、运算能力、推理能力)(2023·遵义三模)(1)数学活动一
宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国许多著名的建筑,都采用了黄金矩形的设计.在数学活动课上,小红按如下步骤折叠出一个矩形:
第一步,在一张矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形ABCD,然后把纸片展平;
第二步,如图②,把这个正方形ABCD对折成两个完全重合的矩形,再把纸片展平;
第三步,如图③,折出内侧矩形EFBC的对角线CF,并把CF折到图中所示FN处;
第四步,如图④,展平纸片,按照点N折出NM,得到矩形BNMC.
若AD=2,请证明矩形BNMC是黄金矩形.
(2)数学活动二
如图⑤,点C在线段AB上,且满足AC∶BC=BC∶AB,即BC2=AC·AB,此时,我们说点C是线段AB的黄金分割点,且通过计算可得=.小红发现还可以从活动一的第三步开始修改折叠方式,如图⑥,折出右侧矩形EFBC的对角线EB,把AB边沿BG折叠,使得A点落在对角线BE上的K点处,若AD=2,请通过计算说明G点是AD的黄金分割点.
