相似三角形判定定理的证明
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形的判定定理证明三角形相似
1.如图所示,AB,CD相交于点O,连接AC,BD,添加下列一个条件后,仍不能判定△AOC∽△DOB的是 ( )
A.∠A=∠D B.=
C.∠B=∠C D.=
2.(易错警示题·概念不清)在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=105°,AC=4 cm,AB=6 cm,DE=3 cm,则DF=___ ___时,△ABC与△DEF相似.
3.(2024·凯里从江县质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm.动点M从点C出发,以1 cm/s的速度沿CA向终点A移动,同时动点P从点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向终点A移动,连接PM,设移动时间为t s.当t(0知识点2 利用相似三角形的判定与性质解决问题
4.(2024·遂宁期中)如图,已知∠ADC=∠BAC.若CD=4,CB=9,则AC等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,点D是△ABC边AC上的一点,且∠ABD=∠C,如果=,那么= ( )
A. B. C. D.
6.(2024·铜仁质检)如图,在△ABC中,P为边AB上一点,且∠APC=∠ACB,若AP=4,AC=6,则BP的长为___ ___.
7.如图,在正方形ABCD中,点E在边BC上(点E不与点B重合),
连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,交CD于点G.
(1)求证:△ABF∽△BGC.
(2)若AB=2,G是CD的中点,求AF的长.
【B层 能力进阶】
8.如图1,在三角形纸片ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 ( )
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
9.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,有下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC∽△AED的有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.(2024·六盘水期末)如图①,在△ABC中,点P是AB边上的一个动点(点P不与A,B重合),过点P的直线PE与AC交于点E,使∠AEP=∠B.
(1)试判断△ABC与△AEP的关系,并说明理由.
(2)若把满足(1)的直线PE称作“△ABC的一条相似线”,在图②的△ABC中,∠A=36°,AB=AC,且点P在AC垂直平分线上,请问过点P的“△ABC的相似线”有几条 并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力、运算能力)(教材再开发·P102习题4.9T4拓展)如图,在△ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从A点出发,沿着AB边以每秒4 cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA边以每秒3 cm的速度向A点运动,当P点到达B点时停止运动,Q点随之停止运动.设运动的时间为x s.
(1)当x为何值时,PQ∥BC
(2)是否存在某一时刻,使△APQ与△CQB相似 若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由. 相似三角形判定定理的证明
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形的判定定理证明三角形相似
1.如图所示,AB,CD相交于点O,连接AC,BD,添加下列一个条件后,仍不能判定△AOC∽△DOB的是 (D)
A.∠A=∠D B.=
C.∠B=∠C D.=
2.(易错警示题·概念不清)在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=105°,AC=4 cm,AB=6 cm,DE=3 cm,则DF=___2 cm或4.5 cm___时,△ABC与△DEF相似.
3.(2024·凯里从江县质检)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm.动点M从点C出发,以1 cm/s的速度沿CA向终点A移动,同时动点P从点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向终点A移动,连接PM,设移动时间为t s.当t(0【解析】∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm.∴根据勾股定理,得AB==5 cm,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:
①当△AMP∽△ABC时,=,即=,解得t=;
②当△APM∽△ABC时,=,即=,解得t=0(不合题意,舍去),
综上所述,当t=时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似.
知识点2 利用相似三角形的判定与性质解决问题
4.(2024·遂宁期中)如图,已知∠ADC=∠BAC.若CD=4,CB=9,则AC等于 (D)
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,点D是△ABC边AC上的一点,且∠ABD=∠C,如果=,那么= (A)
A. B. C. D.
6.(2024·铜仁质检)如图,在△ABC中,P为边AB上一点,且∠APC=∠ACB,若AP=4,AC=6,则BP的长为___5___.
7.如图,在正方形ABCD中,点E在边BC上(点E不与点B重合),
连接AE,过点B作BF⊥AE于点F,交CD于点G.
(1)求证:△ABF∽△BGC.
(2)若AB=2,G是CD的中点,求AF的长.
【解析】(1)∵在正方形ABCD中,
∴∠ABE=∠BCG=90°,
∵BF⊥AE,∴∠BAE+∠ABF=90°,
∵∠CBG+∠ABF=90°,
∴∠BAE=∠CBG,∴△ABF∽△BGC.
(2)∵△ABF∽△BGC,∴=,
∵AB=2,G是CD的中点,四边形ABCD为正方形,∴BC=2,CG=1,∴BG==,
∴=,解得:AF==.
【B层 能力进阶】
8.如图1,在三角形纸片ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 (B)
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
9.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,有下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC∽△AED的有 (B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
10.(2024·六盘水期末)如图①,在△ABC中,点P是AB边上的一个动点(点P不与A,B重合),过点P的直线PE与AC交于点E,使∠AEP=∠B.
(1)试判断△ABC与△AEP的关系,并说明理由.
(2)若把满足(1)的直线PE称作“△ABC的一条相似线”,在图②的△ABC中,∠A=36°,AB=AC,且点P在AC垂直平分线上,请问过点P的“△ABC的相似线”有几条 并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.
【解析】(1)△ABC∽△AEP(或△ABC与△AEP相似),
∵∠AEP=∠B,∠A=∠A,
∴△ABC∽△AEP.
(2)过点P作PN∥BC,PM∥AC,连接PC并延长,如图所示,
∵PN∥BC,PM∥AC,
∴△APN∽△ABC,△BPM∽△BAC,
∴PN,PM为△ABC的相似线,
又∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB==72°,
又∵点P在AC垂直平分线上,
∴AP=CP,∴∠A=∠ACP=36°,
∴∠BCP=72°-36°=36°,
∴∠BPC=180°-∠B-∠BCP=72°,
∴△ABC∽△CBP,∴PC为△ABC的相似线,
∴点P的“△ABC的相似线”有3条,PN,PM,PC即为所求.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、推理能力、运算能力)(教材再开发·P102习题4.9T4拓展)如图,在△ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从A点出发,沿着AB边以每秒4 cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA边以每秒3 cm的速度向A点运动,当P点到达B点时停止运动,Q点随之停止运动.设运动的时间为x s.
(1)当x为何值时,PQ∥BC
(2)是否存在某一时刻,使△APQ与△CQB相似 若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由.
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质,利用方程思想进行等量代换求解.
(1)由题意得AP=4x cm,CQ=3x cm,
∴AQ=(30-3x)cm,0≤x≤5.
若PQ∥BC,
则有△APQ∽△ABC,
∴=,
∴=,
解得x=.
(2)存在.
∵BA=BC,
∴∠A=∠C,
要使△APQ∽△CQB,
只需=,
此时=,
解得x=,
∴AP=4x=;
要使△APQ∽△CBQ,
只需=,
∴=,
解得x=-10(舍)或x=5,
∴AP=4x=20,
即AP的长为20 cm或 cm.
