相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形的性质解决线段问题
1.如图,已知点D,E分别是AB,AC边上的点,且△ADE∽△ABC,相似比为1∶3,AG⊥BC交DE于点F.则AF∶AG= ( )
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
2.如图,在△ABC中,点D为AC上一点,连接BD,过点D作DE∥AB交BC于点E,若AB=9,BC=6,∠ABD=∠DBE,则DE= ( )
A. B.3 C. D.4
3.(2024·毕节质检)在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD= _.
4.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°.
求:(1)∠AED和∠ADE的度数;
(2)DE的长.
知识点2 利用相似三角形的性质求周长与面积
5.(2024·六盘水质检)若△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF的面积比是,则△ABC与△DEF的对应高的比为 ( )
A. B. C. D.
6.(2024·安顺期末)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,若S△ADE=2,则S四边形BCED= ( )
A.1 B.2 C.4 D.6
7.(2024·贵阳期末)在边长为1的小正方形网格中,△ABC∽△A'B'C'.则△ABC与△A'B'C'的周长比为___ ___.
8.在△ABC中,点D是AB上一点,且∠A=∠BCD,S△ADC∶S△BDC=5∶4,CD=4,求AC的长.
【B层 能力进阶】
9.(2024·铜仁质检)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 ( )
A.3∶4 B.9∶16 C.9∶1 D.3∶1
10.△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线,且AD∶A'D'=7∶4,下面给出的四个结论中,其中正确的结论有 ( )
①=;②=;③=;
④=.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(2023·广东中考)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为___ ___.
12.(易错警示题·概念不清)如图,矩形ABDE中,AB=3 cm,BD=7 cm,点C在边ED上,且EC=1 cm,点P在边BD上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,求PD的长.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、运算能力、推理能力)(2024·黔东南质检)先阅读下列材料,然后解答问题.
材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.例如:如图①,AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,那么AD就是△ABC的完美分割线.
解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD=________度.
(2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数. 相似三角形的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 利用相似三角形的性质解决线段问题
1.如图,已知点D,E分别是AB,AC边上的点,且△ADE∽△ABC,相似比为1∶3,AG⊥BC交DE于点F.则AF∶AG= (A)
A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1
2.如图,在△ABC中,点D为AC上一点,连接BD,过点D作DE∥AB交BC于点E,若AB=9,BC=6,∠ABD=∠DBE,则DE= (C)
A. B.3 C. D.4
3.(2024·毕节质检)在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2,AB=3,则BD= ___.
4.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°.
求:(1)∠AED和∠ADE的度数;
(2)DE的长.
【解析】(1)∵∠BAC=45°,∠ACB=40°,
∴∠ABC=95°.
∵△ABC∽△ADE,∴∠AED=∠ACB=40°,∠ADE=∠ABC=95°.
(2)∵△ABC∽△ADE,∴===.又∵BC=70 cm,∴DE=43.75 cm.
知识点2 利用相似三角形的性质求周长与面积
5.(2024·六盘水质检)若△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF的面积比是,则△ABC与△DEF的对应高的比为 (D)
A. B. C. D.
6.(2024·安顺期末)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,若S△ADE=2,则S四边形BCED= (D)
A.1 B.2 C.4 D.6
7.(2024·贵阳期末)在边长为1的小正方形网格中,△ABC∽△A'B'C'.则△ABC与△A'B'C'的周长比为___1∶2___.
8.在△ABC中,点D是AB上一点,且∠A=∠BCD,S△ADC∶S△BDC=5∶4,CD=4,求AC的长.
【解析】∵S△ADC∶S△BDC=5∶4,
∴S△BCD∶S△ABC=4∶9.
∵∠A=∠BCD,∠ABC=∠CBD,
∴△ABC∽△CBD,
∴=()2=,
∴=,∴AC=6.
【B层 能力进阶】
9.(2024·铜仁质检)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE∶EC=3∶1,连接AE交BD于点F,则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 (B)
A.3∶4 B.9∶16 C.9∶1 D.3∶1
10.△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线,且AD∶A'D'=7∶4,下面给出的四个结论中,其中正确的结论有 (B)
①=;②=;③=;
④=.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.(2023·广东中考)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为___15___.
12.(易错警示题·概念不清)如图,矩形ABDE中,AB=3 cm,BD=7 cm,点C在边ED上,且EC=1 cm,点P在边BD上移动,当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,求PD的长.
【解析】∵四边形ABDE为矩形,AB=3 cm,BD=7 cm,EC=1 cm,
∴DC=DE-CE=BA-CE=2 cm.
设DP=x cm,则BP=(7-x) cm.
∵∠B=∠D=90°,
∴存在两种情况.
①当△CDP∽△ABP时,=,
即=,
∴x=;
②当△PDC∽△ABP时,=,
即=,
整理,得x2-7x+6=0,
解得x1=1,x2=6.
∴当以P,C,D为顶点的三角形与△ABP相似时,PD的长为 cm或1 cm或6 cm.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、运算能力、推理能力)(2024·黔东南质检)先阅读下列材料,然后解答问题.
材料:从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.例如:如图①,AD把△ABC分成△ABD与△ADC,若△ABD是等腰三角形,且△ADC∽△BAC,那么AD就是△ABC的完美分割线.
解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠B=40°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是以AD为底边的等腰三角形,则∠CAD=________度.
(2)在△ABC中,∠B=42°,AD是△ABC的完美分割线,且△ABD是等腰三角形,求∠BAC的度数.
【解析】(1)∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=40°.
答案:40
(2)若BD=AD,∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°,
∵AD=BD,∴∠ABD=∠BAD=42°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°,
若AB=BD,∴∠BAD=69°=∠BDA,
∵AD是△ABC的完美分割线,
∴△DAC∽△ABC,∴∠CAD=∠B=42°,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=69°+42°=111°,
若AB=AD,∴∠B=∠ADB=42°,
∵AD是△ABC的完美分割线,∴△DAC∽△ABC,
∴∠CAD=∠B=42°,
∵∠ADB=∠DAC+∠C=42°+∠C≠42°,
∴不存在AB=AD,
综上所述:∠BAC的度数为84°或111°.
