反比例函数的应用
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数的应用
1.面积为30的一个三角形,它的底边y随着这条边上的高x的变化而变化.则y与x之间的关系式为(A)
A.y= B.y= C.y=60x D.y=60-x
2.(2023·温州中考)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例,p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa,则气体体积压缩了___20___mL.
3.科学课上,某同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h(单位:cm)是液体的密度ρ(单位:g/cm3)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时,h=20 cm.
(1)求h关于ρ的函数表达式;
【解析】(1)设h关于ρ的函数表达式为h=,
把ρ=1,h=20代入表达式,得k=1×20=20,
∴h关于ρ的函数表达式为h=;
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25 cm,求该液体的密度ρ.
【解析】(2)把h=25代入h=,得25=,
解得ρ=0.8.
答:该液体的密度ρ为0.8 g/cm3.
知识点2 反比例函数与一次函数的综合应用
4.(2023·金华中考)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(2,3),B(m,-2),则不等式ax+b>的解是(A)
A.-3
2 B.x<-3或0C.-22 D.-33
5.正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象都经过点A(a,2).若点P(m,n)在该反比例函数图象上,且它到x轴的距离大于2,则m的取值范围是(D)
A.m<-3 B.m>3
C.m<-3或m>3 D.-36.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,反比例函数y=(k>0)的图象与过点D(-1,0)的直线AB相交于A,B两点.已知点A的坐标为(1,3),点C为x轴上任意一点.如果S△ABC=9,那么点C的坐标为(D)
A.(-3,0) B.(5,0)
C.(-3,0)或(5,0) D.(3,0)或(-5,0)
【B层 能力进阶】
7.(2023·潍坊中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=x-2与反比例函数y2=的图象交于A,B两点,下列结论正确的是(B)
A.当x>3时,y1B.当x<-1时,y1C.当0y2
D.当-18.如图①,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的测速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图②),已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h,最低车速不得低于60 km/h,小聪的爸爸按照此规定通过该测速区间AB段的时间可能是(B)
A.0.1 h B.0.35 h C.0.45 h D.0.5 h
9.(2023·徐州中考)如图,点P在反比例函数y=(k>0)的图象上,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA=PB.一次函数y=x+1的图象与PB交于点D,若D为PB的中点,则k的值为___4___.
10.(2023·日照中考)已知反比例函数y=(k>1且k≠2)的图象与一次函数y=-7x+b的图象共有两个交点,且两交点横坐标的乘积x1·x2>0,请写出一个满足条件的k值 (答案不唯一,满足111.根据物理知识,在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)与它的受力面积S(m2)成反比例函数关系,其函数图象如图所示.
(1)p关于S的函数关系式为_________________.
【解析】(1)设p=,
∵点(0.1,1 000)在这个函数的图象上,
∴1 000=,∴k=100.
∴p关于S的函数关系式为p=(S>0).
答案:p=(S>0)
(2)求当S=0.25 m2时,物体所受的压强是________Pa.
【解析】(2)当S=0.25 m2时,p==400(Pa).
答案:400
(3)当1 000【解析】(3)令p=1 000,S==0.1,
令p=4 000,S==0.025,
∴当1 000【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、几何直观、运算能力)(2023·宜宾中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)两点恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上.
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式;
【解析】(1)过A作AT⊥x轴于T,过B作BK⊥x轴于K,如图,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠ACT=90°-∠BCK=∠CBK,
∵∠ATC=90°=∠CKB,
∴△ATC≌△CKB(AAS),
∴AT=CK,CT=BK,
∵C(3,0),B(6,m),
∴AT=CK=6-3=3,CT=BK=m,
∴OT=3-m,
∴A(3-m,3),
∵A(3-m,3),B(6,m)恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上,
∴k=3(3-m)=6m,
∴m=1,k=6,
∴反比例函数的表达式为y=,A(2,3),B(6,1),
设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=k'x+b,把A(2,3),B(6,1)代入得
,解得,
∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=-x+4;
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小 若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
【解析】(2)在x轴上存在一点P,使△ABP周长的值最小,理由如下:
作A(2,3)关于x轴的对称点A'(2,-3),连接A'B交x轴于P,连接AP,如图,
∵A(2,3),B(6,1),
∴AB==2,
∴当AP+BP最小时,△ABP周长最小,
∵A,A'关于x轴对称,
∴AP=A'P,
∴当A',P,B共线时,AP+BP最小,△ABP周长也最小,
∵A'(2,-3),B(6,1),
∴A'B==4,
∴AP+BP=A'P+BP=A'B=4,
∴△ABP周长的最小值为4+2. 反比例函数的应用
【A层 基础夯实】
知识点1 反比例函数的应用
1.面积为30的一个三角形,它的底边y随着这条边上的高x的变化而变化.则y与x之间的关系式为( )
A.y= B.y= C.y=60x D.y=60-x
2.(2023·温州中考)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例,p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa,则气体体积压缩了___ ___mL.
3.科学课上,某同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度h(单位:cm)是液体的密度ρ(单位:g/cm3)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时,h=20 cm.
(1)求h关于ρ的函数表达式;
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时,h=25 cm,求该液体的密度ρ.
知识点2 反比例函数与一次函数的综合应用
4.(2023·金华中考)如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(2,3),B(m,-2),则不等式ax+b>的解是( )
A.-32 B.x<-3或0C.-22 D.-33
5.正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象都经过点A(a,2).若点P(m,n)在该反比例函数图象上,且它到x轴的距离大于2,则m的取值范围是( )
A.m<-3 B.m>3
C.m<-3或m>3 D.-36.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,反比例函数y=(k>0)的图象与过点D(-1,0)的直线AB相交于A,B两点.已知点A的坐标为(1,3),点C为x轴上任意一点.如果S△ABC=9,那么点C的坐标为( )
A.(-3,0) B.(5,0)
C.(-3,0)或(5,0) D.(3,0)或(-5,0)
【B层 能力进阶】
7.(2023·潍坊中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=x-2与反比例函数y2=的图象交于A,B两点,下列结论正确的是( )
A.当x>3时,y1B.当x<-1时,y1C.当0y2
D.当-18.如图①,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的测速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t( )是反比例函数关系(如图②),已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h,最低车速不得低于60 km/h,小聪的爸爸按照此规定通过该测速区间AB段的时间可能是( )
A.0.1 h B.0.35 h C.0.45 h D.0.5 h
9.(2023·徐州中考)如图,点P在反比例函数y=(k>0)的图象上,PA⊥x轴于点A,PB⊥y轴于点B,PA=PB.一次函数y=x+1的图象与PB交于点D,若D为PB的中点,则k的值为___ ___.
10.(2023·日照中考)已知反比例函数y=(k>1且k≠2)的图象与一次函数y=-7x+b的图象共有两个交点,且两交点横坐标的乘积x1·x2>0,请写出一个满足条件的k值 ___.
11.根据物理知识,在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)与它的受力面积S(m2)成反比例函数关系,其函数图象如图所示.
(1)p关于S的函数关系式为_________________.
(2)求当S=0.25 m2时,物体所受的压强是________Pa.
(3)当1 000【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、几何直观、运算能力)(2023·宜宾中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点C(3,0),顶点A,B(6,m)两点恰好落在反比例函数y=第一象限的图象上.
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式;
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小 若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.