第二章 二次函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·遵义绥阳县期中)抛物线y=3x2+2开口方向是( )
A.向上 B.向下 C.向左 D.向右
2.二次函数y=x2+1的图象与y轴的交点坐标是( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,-1)
3.(2024·黔东南州期中)抛物线y=3(x-2)2-4的顶点坐标是( )
A.(2,4) B.(-2,-4) C.(2,-4) D.(-2,4)
4.抛物线y=-x2经过平移可得到抛物线y=-(x+1)2-2,下列平移正确的是( )
A.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
B.先向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D.先向上平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度
5.已知二次函数y=x2+(1-m)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是( )
A.m=-1 B.m=3 C.m≤3 D.m>-1
6.(2024·六盘水盘州市期中)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=-x2+2x+4的图象上.若x1>x2>1,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1≥y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.y17.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况为( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有实数根 D.没有实数根
8.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,要使利润最大,每件的售价应为( )
A.24元 B.25元 C.28元 D.30元
9.如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是( )
A.小球距O点水平距离超过4 m呈下降趋势
B.当小球水平运动2 m时,小球距离坡面的高度为6 m
C.小球落地点距O点水平距离为7 m
D.当小球抛出高度达到8 m时,小球距O点水平距离为4 m
10.(2024·贵阳花溪区期中)已知二次函数y=x2+ax+b(a,b为常数).命题①:该函数的图象经过点(1,0);命题②:该函数的图象经过点(3,0);命题③:该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧;命题④:该函数的图象的对称轴为直线x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题,则这个假命题是( )
A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④
11.如图是抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的部分图象,对称轴为直线x=1,与x轴的交点为(n,0),且3A.-2和3 B.-3和2 C.0和5 D.-3和5
12.(2023·丹东中考)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(-3,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,对称轴为直线x=-1,其部分图象如图所示,则以下4个结论:①abc>0;②E(x1,y1),F(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx(a≠0)上的两个点,若x1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·遵义红花岗区质检)若二次函数y=ax2-x+a2-4的图象过原点且开口向下,则a= .
14.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式是 .
15.(2024·六盘水盘州市期中)如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上,且位于点A,B之间(C不与A,B重合).若四边形AOBC的周长为a,则△ABC的周长为 (用含a的代数式表示).
16.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高 m时,水柱落点距O点4 m.
三、解答题(共98分)
17.(10分)已知二次函数y=x2-4x-5.
(1)把这个二次函数化成y=a(x-h)2的形式;
(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标;
(3)求二次函数图象与x轴的交点坐标.
18.(10分)已知函数y=x2-2kx+k2+1.
(1)求证:不论k取何值,函数y>0;
(2)若函数图象与y轴的交点坐标为(0,10),求函数图象的顶点坐标.
19.(10分)(2024·黔东南州期中)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+1经过点(2,3).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)将该抛物线向下平移n个单位长度,使得平移后的抛物线经过点(0,0),求n的值.
20. (10分)(2024·六盘水盘州市期中)如图,在平面直角坐标系中,过抛物线y=x2-2x+6的顶点A作x轴的平行线,交抛物线y=x2+1于点B,点B在第一象限.
(1)求点A的坐标;
(2)点P为x轴上任意一点,连接AP,BP,求△ABP的面积.
21.(10分)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高,最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x( )是水柱距喷水头的水平距离,y( )是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的表达式.
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P的水平距离为3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.
22.(12分)(2024·黔东南州从江县期中)已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-2,5).
(1)求b,c的值;
(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值;
(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,请直接写出m的值.
23.(12分)为了落实劳动教育,某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植,经过试验,其平均单株产量y kg与每平方米种植的株数x(2≤x≤8,且x为整数)构成一种函数关系.每平方米种植2株时,平均单株产量为4 kg;以同样的栽培条件,每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少0.5 kg.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)每平方米种植多少株时,能获得最大的产量 最大产量为多少千克
24.(12分)(2024·六盘水钟山区期末)我们知道,求两个一次函数图象的交点坐标时,可联立两个一次函数表达式组成方程组,方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标.类似地,我们解决二次函数图象与直线的交点问题时,也可以用同样的方法求解.下面是通过方程思想解决二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与一次函数y=mx+n(m≠0)图象的交点情况的部分探究过程:
联立方程得ax2+bx+c=mx+n,
整理得:ax2+(b-m)x+c-n=0,
∵a≠0,∴方程ax2+(b-m)x+c-n=0是关于x的一元二次方程,则Δ=(b-m)2-4a(c-n),
当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,
∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点.
任务:
(1)请参照文中Δ>0时的分析过程,直接写出当Δ<0和Δ=0时的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与一次函数y=mx+n(m≠0)图象的交点情况;
(2)若二次函数y1=x2+3x+c的图象与一次函数y2=3x+5的图象有两个交点,求c的取值范围;
(3)当(2)中的c取最小正整数时,直接写出不等式x2+c-5>0的解集.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(4,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)如图①,点D是x轴下方抛物线上的动点,且不与点C重合.设点D的横坐标为m,以O,A,C,D为顶点的四边形面积为S,求S与m之间的函数关系式.
(3)如图②,连接BC,点M为线段AB上一点,点N为线段BC上一点,且BM=CN=n,直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形.第二章 二次函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·遵义绥阳县期中)抛物线y=3x2+2开口方向是(A)
A.向上 B.向下 C.向左 D.向右
2.二次函数y=x2+1的图象与y轴的交点坐标是(C)
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,-1)
3.(2024·黔东南州期中)抛物线y=3(x-2)2-4的顶点坐标是(C)
A.(2,4) B.(-2,-4) C.(2,-4) D.(-2,4)
4.抛物线y=-x2经过平移可得到抛物线y=-(x+1)2-2,下列平移正确的是(A)
A.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
B.先向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D.先向上平移1个单位长度,再向左平移2个单位长度
5.已知二次函数y=x2+(1-m)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是(C)
A.m=-1 B.m=3 C.m≤3 D.m>-1
6.(2024·六盘水盘州市期中)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=-x2+2x+4的图象上.若x1>x2>1,则y1与y2的大小关系是(D)
A.y1≥y2 B.y1=y2 C.y1>y2 D.y17.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况为(D)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有实数根 D.没有实数根
8.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,要使利润最大,每件的售价应为(B)
A.24元 B.25元 C.28元 D.30元
9.如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是(B)
A.小球距O点水平距离超过4 m呈下降趋势
B.当小球水平运动2 m时,小球距离坡面的高度为6 m
C.小球落地点距O点水平距离为7 m
D.当小球抛出高度达到8 m时,小球距O点水平距离为4 m
10.(2024·贵阳花溪区期中)已知二次函数y=x2+ax+b(a,b为常数).命题①:该函数的图象经过点(1,0);命题②:该函数的图象经过点(3,0);命题③:该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧;命题④:该函数的图象的对称轴为直线x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题,则这个假命题是(A)
A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④
11.如图是抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的部分图象,对称轴为直线x=1,与x轴的交点为(n,0),且3A.-2和3 B.-3和2 C.0和5 D.-3和5
12.(2023·丹东中考)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(-3,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,对称轴为直线x=-1,其部分图象如图所示,则以下4个结论:①abc>0;②E(x1,y1),F(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx(a≠0)上的两个点,若x1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·遵义红花岗区质检)若二次函数y=ax2-x+a2-4的图象过原点且开口向下,则a= -2 .
14.已知一个二次函数,当x=1时,y有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式是 y=-2x2+4x+6 .
15.(2024·六盘水盘州市期中)如图,在平面直角坐标系中,点A在第二象限,以A为顶点的抛物线经过原点,与x轴负半轴交于点B,对称轴为直线x=-2,点C在抛物线上,且位于点A,B之间(C不与A,B重合).若四边形AOBC的周长为a,则△ABC的周长为 a-4 (用含a的代数式表示).
16.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高 8 m时,水柱落点距O点4 m.
三、解答题(共98分)
17.(10分)已知二次函数y=x2-4x-5.
(1)把这个二次函数化成y=a(x-h)2的形式;
【解析】(1)y=x2-4x-5=(x-2)2-9;
(2)写出二次函数的对称轴和顶点坐标;
【解析】(2)∵y=(x-2)2-9,
∴对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-9);
(3)求二次函数图象与x轴的交点坐标.
【解析】(3)由y=x2-4x-5,令y=0,即x2-4x-5=0,
即(x-5)(x+1)=0,解得x1=-1,x2=5,
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(5,0).
18.(10分)已知函数y=x2-2kx+k2+1.
(1)求证:不论k取何值,函数y>0;
【解析】(1)∵y=x2-2kx+k2+1=(x-k)2+1,
∴不论k取何值,(x-k)2+1≥1,
即不论k取何值,函数y>0;
(2)若函数图象与y轴的交点坐标为(0,10),求函数图象的顶点坐标.
【解析】(2)∵二次函数图象与y轴交于点(0,10),
∴当x=0时,y=10,
∴k2+1=10,解得k=±3,
∴y=x2±6x+10=(x±3)2+1,
∴顶点坐标为(3,1)或(-3,1).
19.(10分)(2024·黔东南州期中)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+1经过点(2,3).
(1)求该抛物线的表达式;
【解析】(1)把点(2,3)代入y=-x2+bx+1得:-4+2b+1=3,
解得b=3,
∴抛物线的表达式为:y=-x2+3x+1;
(2)将该抛物线向下平移n个单位长度,使得平移后的抛物线经过点(0,0),求n的值.
【解析】(2)抛物线向下平移n个单位长度后得:y=-x2+3x+1-n,
把点(0,0)代入y=-x2+3x+1-n得:1-n=0,
解得n=1,
即n的值为1.
20. (10分)(2024·六盘水盘州市期中)如图,在平面直角坐标系中,过抛物线y=x2-2x+6的顶点A作x轴的平行线,交抛物线y=x2+1于点B,点B在第一象限.
(1)求点A的坐标;
【解析】(1)抛物线y=x2-2x+6=(x-4)2+2,
∴顶点A的坐标为(4,2);
(2)点P为x轴上任意一点,连接AP,BP,求△ABP的面积.
【解析】(2)∵AB∥x轴,∴B点的纵坐标为2,
代入y=x2+1得,2=x2+1,解得x=±1,
∵点B在第一象限,∴B(1,2),∴AB=4-1=3,
∴S△ABP=×3×2=3.
21.(10分)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高,最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的表达式.
【解析】(1)由题意知,抛物线顶点为(5,3.2),
设抛物线的表达式为y=a(x-5)2+3.2,将(0,0.7)代入得:
0.7=25a+3.2,解得a=-,
∴y=-(x-5)2+3.2=-x2+x+,
故抛物线的表达式为y=-x2+x+;
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P的水平距离为3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.
【解析】(2)当y=1.6时,-x2+x+=1.6,解得x=1或x=9,
∴她与爸爸的水平距离为3-1=2(m)或9-3=6(m),
答:当她的头顶恰好接触到水柱时,与爸爸的水平距离是2 m或6 m.
22.(12分)(2024·黔东南州从江县期中)已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-2,5).
(1)求b,c的值;
【解析】(1)把(0,-3),(-2,5)代入y=-x2+bx+c,
得b=-6,c=-3.
(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值;
【解析】(2)∵y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6,
又∵-4≤x≤0,∴当x=-3时,y有最大值为6.
(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,请直接写出m的值.
【解析】(3)①当-3当x=m时,y有最大值为-m2-6m-3,∴-m2-6m-3+(-3)=2,∴m=-2或m=-4(舍去).∴m=-2;
②当m≤-3时,当x=-3时y有最大值为6,
∵y的最大值与最小值之和为2,∴y最小值为-4,
∴-(m+3)2+6=-4,∴m=-3-或m=-3+(舍去).
综上所述,m=-2或-3-.
23.(12分)为了落实劳动教育,某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植,经过试验,其平均单株产量y kg与每平方米种植的株数x(2≤x≤8,且x为整数)构成一种函数关系.每平方米种植2株时,平均单株产量为4 kg;以同样的栽培条件,每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少0.5 kg.
(1)求y关于x的函数表达式.
【解析】(1)∵每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少0.5 kg,
∴y=4-0.5(x-2)=-0.5x+5,
答:y关于x的函数表达式为y=-0.5x+5(2≤x≤8,且x为整数);
(2)每平方米种植多少株时,能获得最大的产量 最大产量为多少千克
【解析】(2)设每平方米小番茄产量为W kg,根据题意得,W=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5,
∵-0.5<0,∴当x=5时,W取得最大值,最大值为12.5.
答:每平方米种植5株时,能获得最大的产量,最大产量为12.5 kg.
24.(12分)(2024·六盘水钟山区期末)我们知道,求两个一次函数图象的交点坐标时,可联立两个一次函数表达式组成方程组,方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标.类似地,我们解决二次函数图象与直线的交点问题时,也可以用同样的方法求解.下面是通过方程思想解决二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与一次函数y=mx+n(m≠0)图象的交点情况的部分探究过程:
联立方程得ax2+bx+c=mx+n,
整理得:ax2+(b-m)x+c-n=0,
∵a≠0,∴方程ax2+(b-m)x+c-n=0是关于x的一元二次方程,则Δ=(b-m)2-4a(c-n),
当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根,
∴二次函数的图象与一次函数的图象有两个交点.
任务:
(1)请参照文中Δ>0时的分析过程,直接写出当Δ<0和Δ=0时的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与一次函数y=mx+n(m≠0)图象的交点情况;
【解析】(1)当Δ<0时,方程没有实数根,∴二次函数的图象与一次函数的图象没有交点.当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,∴二次函数的图象与一次函数的图象有一个交点.
(2)若二次函数y1=x2+3x+c的图象与一次函数y2=3x+5的图象有两个交点,求c的取值范围;
【解析】(2)由题意得,∴x2+3x+c=3x+5,即x2+c-5=0,
∵二次函数y1=x2+3x+c的图象与一次函数y2=3x+5的图象有两个交点,∴Δ=02-4(c-5)>0,∴c<5.
(3)当(2)中的c取最小正整数时,直接写出不等式x2+c-5>0的解集.
【解析】(3)当(2)中的c取最小正整数时,则c=1,
∴不等式为x2-4>0,解得x<-2或x>2.
25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A(4,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
【解析】(1)把A(4,0),B(-3,0)代入y=ax2+bx-4中,
得解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=x2-x-4.
(2)如图①,点D是x轴下方抛物线上的动点,且不与点C重合.设点D的横坐标为m,以O,A,C,D为顶点的四边形面积为S,求S与m之间的函数关系式.
【解析】(2)点C(0,-4),当-3当0=-m2+m+8;
故S=.
(3)如图②,连接BC,点M为线段AB上一点,点N为线段BC上一点,且BM=CN=n,直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形.
【解析】(3)点C(0,-4),BC=5,BM=CN=n,则BN=5-n,
①当BM=BN=CN时,则点N是BC的中点,故点N(-,-2),则CN==;
②当BN=MN时,如图,过点N作NR⊥x轴于点R,
则MN=BN=5-n,则BR=n,
则sin∠OCB===,解得:n=;
③当BM=MN=CN时,同理可得:n=;
综上,n=或n=或n=.
