第三章 圆
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·遵义绥阳县期中)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=35°,则∠BOC的度数为(C)
A.60° B.65° C.70° D.75°
2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若BE=6,CD=4,则☉O的半径长是(A)
A. B.3 C.4 D.5
3.如图,AB是☉O的切线,连接BO并延长交☉O于点C.若∠B=36°,则∠C的度数是(D)
A.18° B.24° C.25° D.27°
4.(2023·山西中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为(B)
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.图1是一把扇形书法纸扇,图2是其完全打开后的示意图,外侧两竹条OA和OB的夹角为150°,OA的长为30 cm,贴纸部分的宽AC为18 cm,则的长为(B)
A.5π cm B.10π cm C.20π cm D.25π cm
6.(2022·贵阳中考)如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,以线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是(A)
A.5 B.5 C.5 D.5
7.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线MA与☉O相切于点A,则∠MAB的度数为(D)
A.60° B.45° C.35° D.30°
8.如图,点C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上一点,连接AC,BC,OC.若AC=4,BC=3,则sin ∠BOC的值是(B)
A.1 B. C. D.
9.如图,已知AB是半圆O的直径,点C,D将AB分成相等的三段弧,点M在AB的延长线上,连接MD.对于下列两个结论,判断正确的是(B)
结论Ⅰ:若∠OMD=30°,则MD为半圆O的切线;
结论Ⅱ:连接AC,CD,则∠ACD=130°.
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ对Ⅱ错 C.Ⅰ错Ⅱ对 D.Ⅰ和Ⅱ都错
10.(2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为(A)
A.(3,-2) B.(3,2) C.(2,-3) D.(-2,-3)
11.如图,已知AB是半圆O的直径,点C,D将分成相等的三段弧,点P在上.若点Q在上,∠APQ=α,对于下列三个结论判断正确的是(D)
结论Ⅰ:若点Q在的中点处,则α=145°;
结论Ⅱ:当点Q在上时,α的最小值为90°;
结论Ⅲ:若α=115°,则点Q在上.
A.Ⅰ和Ⅲ都对 B.Ⅰ不对Ⅱ对
C.Ⅱ对Ⅲ不对 D.Ⅰ不对Ⅲ对
12.(2023·达州中考)如图,四边形ABCD是边长为的正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中,的圆心为A,半径为AD;的圆心为B,半径为BA1;的圆心为C,半径为CB1;的圆心为D,半径为DC1…,,,,的圆心依次为A,B,C,D循环,则的长是(A)
A. B.2 023π C. D.2 022π
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠AOC=142°,则∠ABC的度数是 109° .
14.如图,AB是☉O的直径,要使得直线AT是☉O的切线,需要添加的一个条件是 ∠ABT=∠ATB=45°(答案不唯一) .(写一个条件即可)
15.如图,△ABC内接于☉O,A为劣弧BC的中点,∠BAC=120°,BD为☉O的直径,连接AD,若AD=8,则AC的长为 .
16.把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放:零刻度线与长直角边重合,移动量角器使外圆弧与斜边相切时,发现中心恰好在刻度2处,短直角边过量角器外沿刻度120处(即OC=2 cm,∠BOF=120°).则阴影部分的面积为 (8-π)cm2 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图所示,OA,OB,OC是☉O的三条半径,C为的中点,M,N分别是OA,OB的中点.求证:∠MCO=∠NCO.
【解析】∵C为的中点,
∴=,
∴∠MOC=∠NOC,
∵M,N分别是OA,OB的中点,
∴OM=OA,ON=OB,
∵OA=OB,
∴OM=ON,
在△MOC和△NOC中,
∴△MOC≌△NOC(SAS),
∴∠MCO=∠NCO.
18. (10分)如图,AB为☉O的直径,=,CD⊥AB于点D,交BE于点F,连接CB.
求证:BC=CF.
【解析】连接AE,∵=,
∴∠A=∠FBC,∵AB为直径,∴∠E=90°,
∴∠A+∠ABE=90°,∵CD⊥AB于点D,∴∠FDB=90°,
∴∠CFB+∠ABE=90°,∴∠A=∠CFB,∴∠FBC=∠CFB,
∴BC=CF.
19.(10分)某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为
24 m,AB离地面的高度AE=10 m,拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m,在拱顶的M,N处安装照明灯,且M,N离地面的高度相等都等于17 m,求MN的长.
【解析】设CD与AB交于G,与MN交于H,连接OM,OA,
∵CD=18 m,AE=10 m,AB=24 m,HD=17 m,
∴CG=8 m,AG=12 m,CH=1 m,
设圆拱的半径为r,
在Rt△AOG中,OA2=OG2+AG2,
∴r2=(r-8)2+122,解得r=13,
∴OC=13 m,∴OH=13-1=12(m),
在Rt△MOH中,OM2=OH2+MH2,
∴132=122+MH2,解得MH2=25,∴MH=5 m,∴MN=10 m.
20. (10分)(2023·衡阳中考)如图,AB是☉O的直径,AC是一条弦,D是弧AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,交☉O于点H,DB交AC于点G.
(1)求证:AF=DF.
【解析】(1)∵D是弧AC的中点,∴=,
∵AB⊥DH,且AB是☉O的直径,∴=,∴=,
∴∠ADH=∠CAD,∴AF=DF.
(2)若AF=,sin∠ABD=,求☉O的半径.
【解析】(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠B=90°,∵∠DAE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠B,
∴sin∠ADE=,∴tan∠ADE=,
设AE=x,则DE=2x,∵DF=AF=,∴EF=2x-,
∵AE2+EF2=AF2,∴x=2,∴AD==2,
∴AB=,∴AB=10,∴☉O的半径为5.
21. (10分)(2024·六盘水盘州市期中)如图,在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,
AB=4.延长CA到O,使AO=AC,以O为圆心,OA长为半径作☉O交BA延长线于点D,连接OD,CD.
(1)求扇形OAD的面积.
【解析】(1)∵AB=4,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴OD=OA=AC=AB=2,
∵∠BCA=90°,∠B=30°,∴∠OAD=∠BAC=60°,
∵OD=OA,∴△OAD是等边三角形,
∴∠AOD=60°,∴S扇形OAD==;
(2)判断CD所在直线与☉O的位置关系,并说明理由.
【解析】(2)CD所在直线与☉O相切,
理由:∵△OAD是等边三角形,
∴AD=OA=AC,∠ODA=∠O=60°,
∴∠ADC=∠ACD=∠OAD=30°,
∴∠ODC=60°+30°=90°,即OD⊥DC,
∵OD为半径,∴CD是☉O的切线.
22.(12分)如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠BOD=2∠A.
(1)写出图中一对你认为全等的三角形________;
【解析】(1)△OCE≌△ODE,
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∴∠COE=2∠A,
∵∠BOD=2∠A,∴∠COE=∠BOD,
∵OE=OE,∴△OCE≌△ODE.
答案:△OCE≌△ODE
(2)求证:AB⊥CD;
【解析】(2)∵△OCE≌△ODE,
∴∠CEO=∠DEO=90°,
∴AB⊥CD.
(3)若☉O的半径为4,AE∶EB=3∶1,求CD的长.
【解析】(3)∵AE∶EB=3∶1,OA=OB,
∴OB∶EB=2∶1,
∵OB=OC=4,
∴OE=EB=2,
∵AB⊥CD,
∴CE==2,
∴CD=4.
23.(12分)(2022·六盘水中考)牂牁江“佘月郎山,西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上,月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞,洞顶上经常有猴子爬来爬去,如图是月亮洞的截面示意图.
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28 m,洞高AB约是12 m,通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮,求半径OC的长(结果精确到0.1 m);
【解析】(1)设OA=OC=R m,
∵OA⊥CD,∴CB=BD=CD=14 m,
在Rt△COB中,OC2=OB2+CB2,
∴R2=(R-12)2+142,
∴R=,∴OC=≈14.2(m).
(2)若∠COD=162°,点M在上,求∠CMD的度数,并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.
【解析】(2)补全☉O,在CD的下方取一点N,连接CN,DN,CM,DM,
∵∠CND=∠COD=81°,∠CMD+∠N=180°,
∴∠CMD=99°.
∵∠CMD=99°不变,是定值,
∴“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.
24.(12分)(2023·贵阳花溪区模拟)如图,点A,B,C都在☉O上,连接AB,AC,OB,OC,AC与OB相交于点D,∠BAC=∠ACO=30°,AC=6 cm.
(1)写出线段AB与OC的位置关系;
【解析】(1)AB∥OC.
理由:
∵∠BAC=∠ACO,
∴AB∥OC;
(2)求证:OB⊥AC;
【解析】(2)如图,连接BC,
∵∠BOC=2∠BAC=60°,OB=OC,
∴△BOC是等边三角形,
∴∠OCB=60°,
∴∠ACB=60°-30°=30°=∠BAC,
∴=,
∴OB⊥AC;
(3)求由弦AB,AC与弧BC所围成的阴影部分的面积(结果保留π).
【解析】(3)∵AC⊥OB,
∴AD=CD=AC=3(cm),
在Rt△COD中,CD=3 cm,∠DCO=30°,
∴OD=CD=3 cm,OC=2OD=6 cm,
由题意可知,
S阴影部分=S扇形BOC==6π(cm2),所以由弦AB,AC与弧BC所围成的阴影部分的面积为6π cm2.
25.(12分)(2023·南京中考)如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点O作AC的垂线,垂足为D,分别交直线BC,于点E,F,射线AF交直线BC延长线于点G.
(1)求证AC=CG.
【解析】(1)过点A作直径AM,
∵AB=AC,
∴AM⊥BC,
∴∠E+∠EOM=90°,
∵AC⊥EF,
∴∠OAD+∠AOD=90°,
∴∠E=∠OAD,
∵OA=OF,
∴∠OAD+∠DAF=∠AFO=∠E+∠G,
∴∠DAF=∠G,
AC=CG;
(2)若点E在CB的延长线上,且EB=CG,求∠BAC的度数.
【解析】(2)∵AB=AC,AM⊥BC,
∴∠BAM=∠CAM,
设∠BAM=∠CAM=2α,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=90°-2α,
∵AC=CG,
∴∠CAG=∠CGA=45°-α,
∴∠BAG=2α+2α+45°-α=45°+3α,
如图,连接AE,AM与BC交于点H,
∵EF⊥AC,又EF过圆心,
∴EF垂直平分AC,
∴EC=AE,
∵BH=HC,又EB=CG,
∴HE=HG,
∴AM垂直平分EG,
∴AE=AG,
∴EC=AG,
∵EB=CG,
∴EB+BC=BC+CG,
∴EC=BG,
∴AG=BG,
∴∠BAG=∠ABG,
∴45°+3α=90°-2α,∴α=9°,
∴∠BAC=4α=36°;
(3)当BC=6时,随着CG的长度的增大,EB的长度如何变化 请描述变化过程,并说明理由.
【解析】(3)①如图,点E在圆内时,
∵∠OAD=∠CAM,∠ADO=∠AMC,
∴△AMC∽△ADO,
∴=,
∴AC=3×,
∵AO>OD,
∴AC>3,
即CG=AC>3,
此时BE在圆内最大;
②如图:当点E移动到与B重合时,
在△BOH和△AOD中,
,
∴△BOH≌△AOD(AAS),
∴AD=BH=3,
∴AC=2AD=6,
∴AB=AC=BC=6,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CAG=30°,∠CAG+∠G=60°,
∴∠G=30°=∠CAG,
∴CA=CG=6,
∴当CG=6时,EB=0;
③如图:当E移动到CG=BE时,
设CG=AC=x,
∴HG=CH+CG=3+x,
∴AG=BG=6+x,
∵AC2-CH2=AH2=AG2-HG2,
∴x2-32=(6+x)2-(3+x)2,
∴x2-6x-36=0,
∴x1=3+3,x2=3-3(舍去),
∴CG=3+3,
综上所述:
当E在圆内时,3当E在圆外时,6当CG>3+3时,BE>3+3.第三章 圆
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·遵义绥阳县期中)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=35°,则∠BOC的度数为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
2.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,若BE=6,CD=4,则☉O的半径长是( )
A. B.3 C.4 D.5
3.如图,AB是☉O的切线,连接BO并延长交☉O于点C.若∠B=36°,则∠C的度数是( )
A.18° B.24° C.25° D.27°
4.(2023·山西中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC,BD为对角线,BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.图1是一把扇形书法纸扇,图2是其完全打开后的示意图,外侧两竹条OA和OB的夹角为150°,OA的长为30 cm,贴纸部分的宽AC为18 cm,则的长为( )
A.5π cm B.10π cm C.20π cm D.25π cm
6.(2022·贵阳中考)如图,已知∠ABC=60°,点D为BA边上一点,BD=10,点O为线段BD的中点,以点O为圆心,以线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是( )
A.5 B.5 C.5 D.5
7.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线MA与☉O相切于点A,则∠MAB的度数为( )
A.60° B.45° C.35° D.30°
8.如图,点C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上一点,连接AC,BC,OC.若AC=4,BC=3,则sin ∠BOC的值是( )
A.1 B. C. D.
9.如图,已知AB是半圆O的直径,点C,D将AB分成相等的三段弧,点M在AB的延长线上,连接MD.对于下列两个结论,判断正确的是( )
结论Ⅰ:若∠OMD=30°,则MD为半圆O的切线;
结论Ⅱ:连接AC,CD,则∠ACD=130°.
A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ对Ⅱ错 C.Ⅰ错Ⅱ对 D.Ⅰ和Ⅱ都错
10.(2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为( )
A.(3,-2) B.(3,2) C.(2,-3) D.(-2,-3)
11.如图,已知AB是半圆O的直径,点C,D将分成相等的三段弧,点P在上.若点Q在上,∠APQ=α,对于下列三个结论判断正确的是( )
结论Ⅰ:若点Q在的中点处,则α=145°;
结论Ⅱ:当点Q在上时,α的最小值为90°;
结论Ⅲ:若α=115°,则点Q在上.
A.Ⅰ和Ⅲ都对 B.Ⅰ不对Ⅱ对
C.Ⅱ对Ⅲ不对 D.Ⅰ不对Ⅲ对
12.(2023·达州中考)如图,四边形ABCD是边长为的正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中,的圆心为A,半径为AD;的圆心为B,半径为BA1;的圆心为C,半径为CB1;的圆心为D,半径为DC1…,,,,的圆心依次为A,B,C,D循环,则的长是( )
A. B.2 023π C. D.2 022π
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠AOC=142°,则∠ABC的度数是 .
14.如图,AB是☉O的直径,要使得直线AT是☉O的切线,需要添加的一个条件是 .(写一个条件即可)
15.如图,△ABC内接于☉O,A为劣弧BC的中点,∠BAC=120°,BD为☉O的直径,连接AD,若AD=8,则AC的长为 .
16.把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放:零刻度线与长直角边重合,移动量角器使外圆弧与斜边相切时,发现中心恰好在刻度2处,短直角边过量角器外沿刻度120处(即OC=2 cm,∠BOF=120°).则阴影部分的面积为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图所示,OA,OB,OC是☉O的三条半径,C为的中点,M,N分别是OA,OB的中点.求证:∠MCO=∠NCO.
18. (10分)如图,AB为☉O的直径,=,CD⊥AB于点D,交BE于点F,连接CB.
求证:BC=CF.
19.(10分)某公路上有一隧道,顶部是圆弧形拱顶,圆心为O,隧道的水平宽AB为
24 m,AB离地面的高度AE=10 m,拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m,在拱顶的M,N处安装照明灯,且M,N离地面的高度相等都等于17 m,求MN的长.
20. (10分)(2023·衡阳中考)如图,AB是☉O的直径,AC是一条弦,D是弧AC的中点,DE⊥AB于点E,交AC于点F,交☉O于点H,DB交AC于点G.
(1)求证:AF=DF.
(2)若AF=,sin∠ABD=,求☉O的半径.
21. (10分)(2024·六盘水盘州市期中)如图,在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,
AB=4.延长CA到O,使AO=AC,以O为圆心,OA长为半径作☉O交BA延长线于点D,连接OD,CD.
(1)求扇形OAD的面积.
(2)判断CD所在直线与☉O的位置关系,并说明理由.
22.(12分)如图,AB是☉O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠BOD=2∠A.
(1)写出图中一对你认为全等的三角形________;
(2)求证:AB⊥CD;
(3)若☉O的半径为4,AE∶EB=3∶1,求CD的长.
23.(12分)(2022·六盘水中考)牂牁江“佘月郎山,西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上,月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞,洞顶上经常有猴子爬来爬去,如图是月亮洞的截面示意图.
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28 m,洞高AB约是12 m,通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮,求半径OC的长(结果精确到0.1 m);
(2)若∠COD=162°,点M在上,求∠CMD的度数,并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.
24.(12分)(2023·贵阳花溪区模拟)如图,点A,B,C都在☉O上,连接AB,AC,OB,OC,AC与OB相交于点D,∠BAC=∠ACO=30°,AC=6 cm.
(1)写出线段AB与OC的位置关系;
(2)求证:OB⊥AC;
(3)求由弦AB,AC与弧BC所围成的阴影部分的面积(结果保留π).
25.(12分)(2023·南京中考)如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点O作AC的垂线,垂足为D,分别交直线BC,于点E,F,射线AF交直线BC延长线于点G.
(1)求证AC=CG.
(2)若点E在CB的延长线上,且EB=CG,求∠BAC的度数.
(3)当BC=6时,随着CG的长度的增大,EB的长度如何变化 请描述变化过程,并说明理由.
