直角三角形的边角关系
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.tan 45°tan 60°的值是 (D)
A. B. C. D.
2.在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则sin A的值为 (B)
A. B. C. D.2
3.如图,∠α的顶点在正方形网格图的格点上,若tan α=,则满足条件的∠α是 (A)
4.如图,四边形ABCD是某护坡大坝的横截面,AD∥BC,坝顶宽AD为5米,斜坡AB的坡度为i=1∶3,斜坡CD的坡角为45°,坡长CD=4米,则坝底宽约为 (A)
A.16.3米 B.15.8米 C.13.8米 D.11.3米
5.学习解直角三角形时,小明编了这样一道题:
已知:在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,解这个直角三角形.
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤:
①由∠B的度数,根据直角三角形的性质得到∠A的度数;
②由AC,BC的值,根据∠B的正切值得到∠B的度数;
③由AC,BC的值,根据勾股定理得到AB的值;
④由BC,AB的值,根据∠B的余弦值得到∠B的度数.
请你从中选择三个步骤并排序,形成完整的解上述直角三角形的思路,则下列排序错误的是 (B)
A.③④① B.④①③ C.②①③ D.③②①
6.如图钓鱼竿AC长8 m,露在水面上的鱼线BC长4 m,钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'长度是(D)
A.3 m B.3 m C.4 m D.4 m
7.如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18 cm,深为30 cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是 (A)
A.210 cm B.120 cm C.504 cm D.60 cm
8.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=4,c=5,CD⊥AB,则
cos ∠BCD的值为 (C)
A. B. C. D.
9.(2023·衢州中考)如图,一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上,调节杆BC=a,AB=b,AB的最大仰角为α.当∠C=45°时,点A到桌面的最大高度是 (D)
A.a+ B.a+ C.a+bcos α D.a+bsin α
10.如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,AB=18 cm,杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时,杯中水的最大深度为 (D)
A.9 cm B.15 cm C.6 cm D.9 cm
11.如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为(+1)海里,则观测站B到AC的距离BP是 (B)
A.海里 B.1海里 C.2海里 D.海里
12.如图,在矩形ABCD中,AD=10,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D,得到矩形AB'C'D',此时旋转角为θ,若tan θ=,则cos ∠ADD'为 (C)
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.在△ABC中,若|tan A-1|+(-cos B)2=0,则∠C的度数为 105° .
14.已知某斜坡AB的坡度i=∶1,则斜坡AB的坡角α的大小为 60° .
15.(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 (3+) 米.(结果保留根号)
16.在△ABC中,AC=,BC=2,∠A=45°,则∠B= 60°或120° .
三、解答题(共98分)
17.(10分)计算:(1)(2024·贵州一模)|-5|-sin45°+(-4)0;
(2)tan 60°·sin 30°+-2|cos 60°-1|.
【解析】(1)原式=5-×+1=5-1+1=5.
(2)tan 60°·sin 30°+-2|cos 60°-1|=×+-2|-1|=+1-1=.
18.(10分)如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,若CD=5,sin∠BCD=.
(1)求BC的长;
(2)求∠ACB的正切值.
【解析】(1)设DE=3x,DE⊥BC,∵sin∠BCD=,∴=,
∴CD=5x,CE=4x,∵CD=5,∴x=1,∴CE=4,∵∠B=45°,
∴DE=BE=3x,∴BC=BE+CE=7x=7.
(2)过点A作AF⊥BC于点F,∴DE∥AF,
∵D是AB的中点,∴DE是△ABF的中位线,∴AF=2DE,BF=2BE,
由(1)可知:DE=BE=3,∴AF=6,BF=6,∴CF=BC-BF=1,∴tan∠ACB=6.
19.(10分)在△ABC中,AB=,tan ∠ABC=,AC=2,求BC的长.
【解析】过点A作AD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ABD中,AB=,tan ∠ABC=,∴=,∴BD=3AD,∵AD2+BD2=AB2,
∴AD2+9AD2=10,∴AD=1,∴BD=3AD=3,在Rt△ADC中,AD=1,AC=2,
∴DC===,∴BC=BD+CD=3+.
20.(10分)(2023·铜仁石阡县期中)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处,求N处与灯塔P的距离.
【解析】由题意得,MN∥AP,
MN=2×40=80(海里),∴∠N=∠APN=40°,∠M=∠BPM=70°,
∴∠MPN=180°-∠M-∠N=70°,∴∠NPM=∠M,∴PN=MN=80海里,
∴N处与灯塔P的距离为80海里.
21.(10分)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tan B=cos ∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sin C=,BC=12,求AD的长.
【解析】(1)∵AD是BC上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ADC中,∵tan B=,cos ∠DAC=,
又∵tan B=cos ∠DAC,∴=,∴AC=BD.
(2)在Rt△ADC中,sin C=,故可设AD=12k,AC=13k,∴CD==5k.
∵BC=BD+CD,又AC=BD,∴BC=13k+5k=18k.
由已知BC=12,∴18k=12,∴k=,∴AD=12k=12×=8.
22.(12分)(2023·贵阳清镇市模拟)小星手中有一把残缺的刻度尺,他想知道其宽度OA,但手中只有一把刻度模糊的45°直角三角板,无法直接测量,于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合,斜边与尺下沿DA重合,如图①,一直角边与尺上沿的交点B在尺上的读数即为直尺的宽.
【实践探究】小红受到小星的启发,将39°的∠DAB按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上,如图②,AB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为3厘米,求该刻度尺的宽度OA的长;
【问题解决】小红继续按相同的方式将24°的∠DAC放置在刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为多少厘米 (结果精确到0.1厘米)
(参考数据sin 39°≈0.63,cos 39°≈0.78,tan 39°≈0.81,sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45)
【解析】【实践探究】∵OB∥AD,∴∠ABO=∠DAB=39°,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OB=3厘米,tan ∠ABO=,
∴AO≈3×0.81=2.43(厘米),即该刻度尺的宽度OA约为2.43厘米.
【问题解决】∵OB∥AD,∴∠ACO=∠DAC=24°,
在Rt△AOC中,∠AOC=90°,OA=2.43厘米,tan ∠ACO=,
∴OC≈=5.4(厘米),即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为5.4厘米.
23.(12分)如图,某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题,计划打通一条东西方向的隧道AB.无人机从点A的正上方点C,沿正东方向以8 m/s的速度飞行15 s到达点D,测得A的俯角为60°,然后以同样的速度沿正东方向又飞行50 s到达点E,测得点B的俯角为37°.
(1)求无人机的高度AC(结果保留根号);
(2)求隧道AB的长度(结果精确到1 m).
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)
【解析】(1)由题意,CD=8×15=120(m),在Rt△ACD中,tan ∠ADC=,
∴AC=CD·tan ∠ADC=CD·tan 60°=120×=120(m),
答:无人机的高度AC是120 m.
(2)过点B作BF⊥CD于点F,则四边形ABFC是矩形,
∴BF=AC=120,AB=CF,
在Rt△BEF中,tan ∠BEF=,∴EF=≈≈276.8(m).
∵CE=8×(15+50)=520(m),∴AB=CF=CE-EF=520-276.8≈243(m),
答:隧道AB的长度约为243 m.
24.(12分)图(1)为某大型商场的自动扶梯、图(2)中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图.小明站在扶梯起点A处时,测得天花板上日光灯C的仰角为37°,此时他的眼睛D与地面的距离AD=1.8 m,之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL(BL∥MN)向正前方走了2 m,发现日光灯C刚好在他的正上方.已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4,AB的长度是13 m.(参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)
(1)求图中B到一楼地面的高度.
(2)求日光灯C到一楼地面的高度.(结果精确到十分位)
【解析】(1)过点B作BE⊥MN于E,设AE=x m,
∵AB的坡度为1∶2.4,∴=,∴BE=x m.
在Rt△ABE中,由勾股定理得x2+(x)2=132,解得x=12,∴AE=12 m,BE=5 m,
答:B到一楼地面的高度为5 m.
(2)过点C作CF⊥MN于F交BL于G,过点D作DJ⊥CF于J,
则BG=2 m,四边形BEFG、四边形ADJF是矩形,∠CDJ=37°,
∴EF=BG=2 m,AD=FJ=1.8 m,AF=DJ,
由(1)可知,AF=AE+EF=12+2=14(m),
∴DJ=14 m.
在Rt△CDJ中,tan ∠CDJ=tan 37°≈0.75,∴CJ≈0.75DJ=0.75×14=10.5(m),
∴CF=CJ+FJ=10.5+1.8=12.3(m),
答:日光灯C到一楼地面的高度约为12.3 m.
25.(12分)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=5,b=10,求sin A,cos A,sin B,cos B.
(2)若b=3,c=3,求sin A,cos A,sin B,cos B.
(3)通过(1)(2)我们不难发现有这样一个规律:sin2A+cos2A=1,请你利用学过的知识来证明这一规律.
(4)由(1)(2)的计算你还发现了什么 用语言描述你的发现.
(5)试解决下列问题:
①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值;
②若sin α+cos α=,求sin α·cos α的值;
③∠A为锐角,化简.
【解析】(1)c==5,∴sin A==,cos A==,sin B==,cos B==;
(2)a==3,∴sin A==,cos A==,sin B==,cos B==;
(3)∵a2+b2=c2,∴sin2A+cos2A=()2+()2===1;
(4)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值,一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值;
(5)①∵sin A=cos (90°-A),
∴原式=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°
=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+(sin23°+cos23°)+…+sin245°
=1+1+…+1+=44+=;
②∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=,
∵sin2α+cos2α=1,∴2sin αcos α=,∴sin α·cos α=;
③∵sin2A+cos2A=1,∴原式=
===|cos A-1|=1-cos A.第一章 直角三角形的边角关系
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.tan 45°tan 60°的值是 ( )
A. B. C. D.
2.在△ABC中,∠C=90°,tan A=2,则sin A的值为 ( )
A. B. C. D.2
3.如图,∠α的顶点在正方形网格图的格点上,若tan α=,则满足条件的∠α是 ( )
4.如图,四边形ABCD是某护坡大坝的横截面,AD∥BC,坝顶宽AD为5米,斜坡AB的坡度为i=1∶3,斜坡CD的坡角为45°,坡长CD=4米,则坝底宽约为 ( )
A.16.3米 B.15.8米 C.13.8米 D.11.3米
5.学习解直角三角形时,小明编了这样一道题:
已知:在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,解这个直角三角形.
从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤:
①由∠B的度数,根据直角三角形的性质得到∠A的度数;
②由AC,BC的值,根据∠B的正切值得到∠B的度数;
③由AC,BC的值,根据勾股定理得到AB的值;
④由BC,AB的值,根据∠B的余弦值得到∠B的度数.
请你从中选择三个步骤并排序,形成完整的解上述直角三角形的思路,则下列排序错误的是 ( )
A.③④① B.④①③ C.②①③ D.③②①
6.如图钓鱼竿AC长8 m,露在水面上的鱼线BC长4 m,钓者想看看鱼钓上的情况,把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'长度是( )
A.3 m B.3 m C.4 m D.4 m
7.如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18 cm,深为30 cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是 ( )
A.210 cm B.120 cm C.504 cm D.60 cm
8.△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=4,c=5,CD⊥AB,则
cos ∠BCD的值为 ( )
A. B. C. D.
9.(2023·衢州中考)如图,一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上,调节杆BC=a,AB=b,AB的最大仰角为α.当∠C=45°时,点A到桌面的最大高度是 ( )
A.a+ B.a+ C.a+bcos α D.a+bsin α
10.如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,AB=18 cm,杯中水面与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为30°时,杯中水的最大深度为 ( )
A.9 cm B.15 cm C.6 cm D.9 cm
11.如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为(+1)海里,则观测站B到AC的距离BP是 ( )
A.海里 B.1海里 C.2海里 D.海里
12.如图,在矩形ABCD中,AD=10,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D,得到矩形AB'C'D',此时旋转角为θ,若tan θ=,则cos ∠ADD'为 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.在△ABC中,若|tan A-1|+(-cos B)2=0,则∠C的度数为 .
14.已知某斜坡AB的坡度i=∶1,则斜坡AB的坡角α的大小为 .
15.(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 米.(结果保留根号)
16.在△ABC中,AC=,BC=2,∠A=45°,则∠B= .
三、解答题(共98分)
17.(10分)计算:(1)(2024·贵州一模)|-5|-sin45°+(-4)0;
(2)tan 60°·sin 30°+-2|cos 60°-1|.
18.(10分)如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,若CD=5,sin∠BCD=.
(1)求BC的长;
(2)求∠ACB的正切值.
19.(10分)在△ABC中,AB=,tan ∠ABC=,AC=2,求BC的长.
20.(10分)(2023·铜仁石阡县期中)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°方向的N处,求N处与灯塔P的距离.
21.(10分)如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tan B=cos ∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sin C=,BC=12,求AD的长.
22.(12分)(2023·贵阳清镇市模拟)小星手中有一把残缺的刻度尺,他想知道其宽度OA,但手中只有一把刻度模糊的45°直角三角板,无法直接测量,于是他将直角三角板锐角顶点与尺下沿的端点A重合,斜边与尺下沿DA重合,如图①,一直角边与尺上沿的交点B在尺上的读数即为直尺的宽.
【实践探究】小红受到小星的启发,将39°的∠DAB按小星的方式放置在一把残缺的刻度尺上,如图②,AB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为3厘米,求该刻度尺的宽度OA的长;
【问题解决】小红继续按相同的方式将24°的∠DAC放置在刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为多少厘米 (结果精确到0.1厘米)
(参考数据sin 39°≈0.63,cos 39°≈0.78,tan 39°≈0.81,sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45)
23.(12分)如图,某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题,计划打通一条东西方向的隧道AB.无人机从点A的正上方点C,沿正东方向以8 m/s的速度飞行15 s到达点D,测得A的俯角为60°,然后以同样的速度沿正东方向又飞行50 s到达点E,测得点B的俯角为37°.
(1)求无人机的高度AC(结果保留根号);
(2)求隧道AB的长度(结果精确到1 m).
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,≈1.73)
24.(12分)图(1)为某大型商场的自动扶梯、图(2)中的AB为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图.小明站在扶梯起点A处时,测得天花板上日光灯C的仰角为37°,此时他的眼睛D与地面的距离AD=1.8 m,之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL(BL∥MN)向正前方走了2 m,发现日光灯C刚好在他的正上方.已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4,AB的长度是13 m.(参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)
(1)求图中B到一楼地面的高度.
(2)求日光灯C到一楼地面的高度.(结果精确到十分位)
25.(12分)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.
(1)若a=5,b=10,求sin A,cos A,sin B,cos B.
(2)若b=3,c=3,求sin A,cos A,sin B,cos B.
(3)通过(1)(2)我们不难发现有这样一个规律:sin2A+cos2A=1,请你利用学过的知识来证明这一规律.
(4)由(1)(2)的计算你还发现了什么 用语言描述你的发现.
(5)试解决下列问题:
①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值;
②若sin α+cos α=,求sin α·cos α的值;
③∠A为锐角,化简.
