第二章 一元二次方程
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列方程中,是一元二次方程的是 ( )
A.x+=0 B.x+xy+1=0
C.3x+2=0 D.x2+2x=1
2.(2024·遵义红花岗区期中)已知x=1是关于x的一元二次方程(m-2)x2+m2=4的根,则m的值为 ( )
A.2 B.-2或3 C.2或-3 D.-3
3.若x=-1是关于x的一元二次方程2x2-3mx+1=0的一个根,则m的值为 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.无法确定
4.(2024·贵阳云岩区质检)用配方法解一元二次方程x2-6x+4=0,配方正确的是 ( )
A.(x+3)2=-5 B.(x-3)2=13
C.(x+3)2=5 D.(x-3)2=5
5.(2023·河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.(2024·铜仁碧江区质检)若关于x的一元二次方程kx2-2kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为 ( )
A.0或4 B.4或8 C.0 D.4
7.(2024·六盘水期中)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 ( )
A.3(x+1)x=6 210 B.3 (x-1)=6 210
C.(3x-1)x=6 210 D.3(x-1)x=6 210
8.(2023·兰州中考)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)= ( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
9.若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为 ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
10.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价a元,则可卖出(320-10a)件.但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%,如果商店计划要获利400元,则每件商品的售价应定为 ( )
A.22元 B.22.5元 C.28元 D.22或28元
11.已知关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的一元二次方程(a-2)x2+2x+1=0有实数根的所有满足条件的整数a的和为 ( )
A.3 B.5 C.9 D.10
12.(2024·贵阳花溪区期中)定义:关于x的一元二次方程a1(x-m)2+n=0与a2(x-m)2+n=0,称为“同族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.若关于x的一元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”.则代数式-ax2+bx+2 019的最大值是 ( )
A.2 024 B.2 023 C.2 022 D.2 021
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·衡阳中考)已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4,则它的另一个根是 .
14.(2023·重庆中考B卷)为了加快数字化城市建设,某市计划新建一批智能充电桩,第一个月新建了301个充电桩,第三个月新建了500个充电桩,设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意,请列出方程为 .
15.已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3= .
16.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:
①x1≠x2;②x1x2
三、解答题(共98分)
17.(12分)(2024·贵阳期中)解方程:
(1)(x-5)2-36=0;
(2)x2-2x-8=0;
(3)(x-1)(x+2)=2(x+2).
18.(10分)(2024·毕节期中)已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+k2+1=0.
(1)当k取何值时,方程有两个实数根
(2)若上述一元二次方程两根为矩形两相邻边的边长,且此矩形对角线的长为.求k的值.
19.(10分)有长为30米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10米),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃,设花圃的一边AB为x米.
(1)如果要围成面积为63平方米的花圃,那么AB的长是多少米
(2)能围成面积为78平方米的花圃吗 若能,求出AB的长,若不能,请说明理由.
20.(10分)请阅读下列解方程x4-2x2-3=0的过程.
解:设x2=t,则原方程可变形为t2-2t-3=0,即(t-3)(t+1)=0,得t1=3,t2=-1.
当t=3,x2=3,∴x1=,x2=-,当t=-1,x2=-1,无解.
所以,原方程的解为x1=,x2=-.
这种解方程的方法叫做换元法.
用上述方法解下面两个方程:
(1)x4-x2-6=0;
(2)(x2+2x)2-2(x2+2x)-3=0.
21.(10分)已知: ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形 求出这时菱形的边长;
(2)若AB的长为3,那么 ABCD的周长是多少
22.(10分)(2024·六盘水期中)阅读下列材料,并完成相应任务.
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以x2+2x-35=0为例,说明如下:将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为(x+2),宽为x的矩形,按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形.图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和,即4x(x+2)+22=4×35+4=144,可得新方程(x+x+2)2=144,∵x表示边长,∴2x+2=12,∴x=5.遗憾的是,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
任务一:这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是 ;
A.分类讨论思想 B.数形结合思想
C.演绎思想 D.公理化思想
任务二:请根据赵爽的办法求方程x2+3x-4=0的正根,需要在图②中画出相应的图形标明各边长,并写出完整的解答过程.
23.(12分)某汽车销售公司9月份销售某厂的汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1辆汽车,则该辆汽车的进价为27万元;每多售出1辆汽车,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售量在10辆以上,每辆返利1万元,汽车的售价均为28万元/辆.
(1)若该公司当月售出4辆汽车,则每辆汽车的进价为 万元,此时汽车销售公司月盈利为 万元;(盈利=销售利润+返利)
(2)如果该公司计划当月盈利12万元,那么公司需售出多少辆汽车
24.(12分)(2024·贵阳期中)阅读下列材料:
利用完全平方公式,将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式,然后由(x+m)2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值.
例题:求x2-12x+37的最小值;
解:x2-12x+37=x2-2x·6+62-62+37=(x-6)2+1;
因为不论x取何值,(x-6)总是非负数,即(x-6)2≥0;
所以(x-6)2+1≥1;
所以当x=6时,x2-12x+37有最小值,最小值是1.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)填空:
x2-8x+18=x2-8x+16+ =(x- )2+2;
(2)将x2+16x-5变形为(x+m)2+n的形式,并求出x2+16x-5的最小值;
(3)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5,3a+2,面积为S1;如图所示的第二个长方形边长分别是5a,a+5,面积为S2,试比较S1与S2的大小,并说明理由.
25.(12分)阅读下列材料,回答问题.
互为有理化的一对无理根的一元二次方程.
我们知道,在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当Δ>0时,该方程有两个不相等的实数根,这两个实数根分别为x1=,x2=.若是一个无理数,则x1,x2也都是无理数,我们把x1和x2这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根.
例如:一元二次方程x2-5x+2=0的两根分别为x1=,x2=m,它们就是互为有理化的一对无理根.
又如:方程x2=3的两根分别为x1=,x2=-,也是互为有理化的一对无理根.
判断两个根是否是互为有理化的一对无理根,需要满足两个条件:
①x1和x2是两个无理数;②x1·x2是一个有理数.
如:x1=,x2=都是无理数,
且x1·x2=×=n是有理数,
∴x1,x2是互为有理化的一对无理根.
(1)填空:材料中的m= ,n= .
(2)求一元二次方程x2-3x-5=0的两根,并说明该方程的两根是否是互为有理化的一对无理根.第二章 一元二次方程
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列方程中,是一元二次方程的是 (D)
A.x+=0 B.x+xy+1=0
C.3x+2=0 D.x2+2x=1
2.(2024·遵义红花岗区期中)已知x=1是关于x的一元二次方程(m-2)x2+m2=4的根,则m的值为 (D)
A.2 B.-2或3 C.2或-3 D.-3
3.若x=-1是关于x的一元二次方程2x2-3mx+1=0的一个根,则m的值为 (A)
A.-1 B.1 C.0 D.无法确定
4.(2024·贵阳云岩区质检)用配方法解一元二次方程x2-6x+4=0,配方正确的是 (D)
A.(x+3)2=-5 B.(x-3)2=13
C.(x+3)2=5 D.(x-3)2=5
5.(2023·河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.(2024·铜仁碧江区质检)若关于x的一元二次方程kx2-2kx+4=0有两个相等的实数根,则k的值为 (D)
A.0或4 B.4或8 C.0 D.4
7.(2024·六盘水期中)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株椽 设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (D)
A.3(x+1)x=6 210 B.3 (x-1)=6 210
C.(3x-1)x=6 210 D.3(x-1)x=6 210
8.(2023·兰州中考)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根,则b2-2(1+2c)= (A)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
9.若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0两根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为 (C)
A.4 B.8 C.12 D.16
10.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关系是:若每件售价a元,则可卖出(320-10a)件.但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%,如果商店计划要获利400元,则每件商品的售价应定为 (A)
A.22元 B.22.5元 C.28元 D.22或28元
11.已知关于x的不等式组有且只有4个整数解,且关于x的一元二次方程(a-2)x2+2x+1=0有实数根的所有满足条件的整数a的和为 (A)
A.3 B.5 C.9 D.10
12.(2024·贵阳花溪区期中)定义:关于x的一元二次方程a1(x-m)2+n=0与a2(x-m)2+n=0,称为“同族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”.若关于x的一元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”.则代数式-ax2+bx+2 019的最大值是 (A)
A.2 024 B.2 023 C.2 022 D.2 021
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·衡阳中考)已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4,则它的另一个根是 5 .
14.(2023·重庆中考B卷)为了加快数字化城市建设,某市计划新建一批智能充电桩,第一个月新建了301个充电桩,第三个月新建了500个充电桩,设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意,请列出方程为 301(1+x)2=500 .
15.已知a,b是方程x2+3x-4=0的两根,则a2+4a+b-3= -2 .
16.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1,x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:
①x1≠x2;②x1x2三、解答题(共98分)
17.(12分)(2024·贵阳期中)解方程:
(1)(x-5)2-36=0;
(2)x2-2x-8=0;
(3)(x-1)(x+2)=2(x+2).
【解析】(1)(x-5)2-36=0,因式分解,得(x-5-6)(x-5+6)=0,
∴x-5-6=0或x-5+6=0,所以x1=11,x2=-1;
(2)x2-2x-8=0,因式分解,得(x-4)(x+2)=0,
∴x-4=0或x+2=0,所以x1=4,x2=-2;
(3)(x-1)(x+2)=2(x+2),移项,得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,
因式分解,得(x+2)(x-3)=0,∴x+2=0或x-3=0,
∴x1=-2,x2=3.
18.(10分)(2024·毕节期中)已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+k2+1=0.
(1)当k取何值时,方程有两个实数根
(2)若上述一元二次方程两根为矩形两相邻边的边长,且此矩形对角线的长为.求k的值.
【解析】(1)∵方程x2-(k+1)x+k2+1=0有两个实数根,
∴Δ=b2-4ac≥0,即[-(k+1)]2-4×1×(k2+1)≥0,
解得k≥;
(2)设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=k+1,x1x2=k2+1,
由矩形的性质可得:+=5,∴+=-2x1x2=(k+1)2-2(k2+1)=5,解得k1=-6,k2=2.∵k≥,∴k=2.
19.(10分)有长为30米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为10米),围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃,设花圃的一边AB为x米.
(1)如果要围成面积为63平方米的花圃,那么AB的长是多少米
(2)能围成面积为78平方米的花圃吗 若能,求出AB的长,若不能,请说明理由.
【解析】(1)∵AB的长为x米,且篱笆的总长为30米,
∴BC的长为(30-3x)米.
根据题意得x(30-3x)=63,整理得x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7,
当x=3时,30-3x=30-3×3=21>10,不符合题意,舍去;
当x=7时,30-3x=30-3×7=9<10,符合题意.
答:AB的长是7米.
(2)不能围成面积为78平方米的花圃,理由如下:
根据题意得x(30-3x)=78,整理得x2-10x+26=0,
∵Δ=(-10)2-4×1×26=-4<0,∴该方程没有实数根.
答:不能围成面积为78平方米的花圃.
20.(10分)请阅读下列解方程x4-2x2-3=0的过程.
解:设x2=t,则原方程可变形为t2-2t-3=0,即(t-3)(t+1)=0,得t1=3,t2=-1.
当t=3,x2=3,∴x1=,x2=-,当t=-1,x2=-1,无解.
所以,原方程的解为x1=,x2=-.
这种解方程的方法叫做换元法.
用上述方法解下面两个方程:
(1)x4-x2-6=0;
(2)(x2+2x)2-2(x2+2x)-3=0.
【解析】(1)设x2=t,则原方程可变形为t2-t-6=0,即(t-3)(t+2)=0,解得t1=3,t2=-2.
当t=3时,x2=3,∴x1=,x2=-,当t=-2,x2=-2,无解.
所以,原方程的解为x1=,x2=-.
(2)设x2+2x=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,即(y-1)2=4,
解得y1=3,y2=-1.
当y=3时,x2+2x=3,即(x+1)2=4,∴x+1=±2,∴x1=1,x2=-3,
当y=-1时,x2+2x=-1,即(x+1)2=0,解得x3=x4=-1.
所以,原方程的解为x1=1,x2=-3,x3=-1.
21.(10分)已知: ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形 求出这时菱形的边长;
(2)若AB的长为3,那么 ABCD的周长是多少
【解析】(1)∵ ABCD为菱形,∴AB=AD,∴关于x的方程x2-mx+m-1=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-m)2-4×1×(m-1)=(m-2)2=0,解得m1=m2=2,
∴当m为2时, ABCD是菱形.
将m=2代入原方程得x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,
解得x1=x2=1,∴这时菱形的边长为1.
(2)将x=3代入原方程得32-3m+m-1=0,解得m=4,
∴原方程为x2-4x+3=0,
又∵ ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根,
∴AB+AD=4,∴ ABCD的周长是2(AB+AD)=2×4=8.
22.(10分)(2024·六盘水期中)阅读下列材料,并完成相应任务.
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以x2+2x-35=0为例,说明如下:将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为(x+2),宽为x的矩形,按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形.图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和,即4x(x+2)+22=4×35+4=144,可得新方程(x+x+2)2=144,∵x表示边长,∴2x+2=12,∴x=5.遗憾的是,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.
任务一:这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是 ;
A.分类讨论思想 B.数形结合思想
C.演绎思想 D.公理化思想
任务二:请根据赵爽的办法求方程x2+3x-4=0的正根,需要在图②中画出相应的图形标明各边长,并写出完整的解答过程.
【解析】任务一:这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是数形结合思想;
答案:B
任务二:将方程x2+3x-4=0变形为x(x+3)=4,
画四个长为(x+3),宽为x的矩形,按如图所示构造一个“空心”大正方形,
则图中大正方形的面积从整体看可表示为(x+x+3)2,从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和,即4x(x+3)+32=4×4+9=25,
因此,可得新的一元二次方程(x+x+3)2=25,
∵x表示边长,∴2x+3=5,即x=1.∴方程的一个正根为x=1.
23.(12分)某汽车销售公司9月份销售某厂的汽车,在一定范围内,每辆汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1辆汽车,则该辆汽车的进价为27万元;每多售出1辆汽车,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10辆以内(含10辆),每辆返利0.5万元;销售量在10辆以上,每辆返利1万元,汽车的售价均为28万元/辆.
(1)若该公司当月售出4辆汽车,则每辆汽车的进价为 万元,此时汽车销售公司月盈利为 万元;(盈利=销售利润+返利)
(2)如果该公司计划当月盈利12万元,那么公司需售出多少辆汽车
【解析】(1)由题意,得每辆汽车的进价为:27-0.1×(4-1)=26.7(万元),汽车销售公司月盈利为:4×(28-26.7)+4×0.5=7.2(万元);
答案:26.7 7.2
(2)设该公司需售出x辆汽车.由题意知:
每辆汽车的销售利润为28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)万元.
当0≤x≤10时,由题意得:x(0.1x+0.9)+0.5x=12,
整理得x2+14x-120=0,解得x1=-20,x2=6,
由题知x=-20不合题意舍去,取x=6,
当x>10时,由题意得:x(0.1x+0.9)+x=12,
整理得x2+19x-120=0,解得x1=-24,x2=5,
由题知x=-24不合题意舍去,取x=5,
因为5<10,所以x=5舍去.
答:该公司需售出6辆汽车.
24.(12分)(2024·贵阳期中)阅读下列材料:
利用完全平方公式,将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式,然后由(x+m)2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值.
例题:求x2-12x+37的最小值;
解:x2-12x+37=x2-2x·6+62-62+37=(x-6)2+1;
因为不论x取何值,(x-6)总是非负数,即(x-6)2≥0;
所以(x-6)2+1≥1;
所以当x=6时,x2-12x+37有最小值,最小值是1.
根据上述材料,解答下列问题:
(1)填空:
x2-8x+18=x2-8x+16+ =(x- )2+2;
(2)将x2+16x-5变形为(x+m)2+n的形式,并求出x2+16x-5的最小值;
(3)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5,3a+2,面积为S1;如图所示的第二个长方形边长分别是5a,a+5,面积为S2,试比较S1与S2的大小,并说明理由.
【解析】(1)由题意得,x2-8x+18=x2-8x+16+2=(x-4)2+2.
答案:2 4
(2)由题意得,x2+16x-5=x2+16x+64-69=(x+8)2-69.
∵(x+8)2≥0,∴(x+8)2-69≥-69.
∴x2+16x-5≥-69.∴x2+16x-5的最小值为-69.
(3)由题意得,S1=(2a+5)(3a+2)=6a2+4a+15a+10=6a2+19a+10,S2=5a(a+5)=5a2+25a,
∴S1-S2=6a2+19a+10-5a2-25a=a2-6a+10=a2-6a+9+1=(a-3)2+1.
∵(a-3)2≥0,∴(a-3)2+1≥1>0.
∴S1-S2>0.∴S1>S2.
25.(12分)阅读下列材料,回答问题.
互为有理化的一对无理根的一元二次方程.
我们知道,在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,当Δ>0时,该方程有两个不相等的实数根,这两个实数根分别为x1=,x2=.若是一个无理数,则x1,x2也都是无理数,我们把x1和x2这样的两个无理数称为互为有理化的一对无理根.
例如:一元二次方程x2-5x+2=0的两根分别为x1=,x2=m,它们就是互为有理化的一对无理根.
又如:方程x2=3的两根分别为x1=,x2=-,也是互为有理化的一对无理根.
判断两个根是否是互为有理化的一对无理根,需要满足两个条件:
①x1和x2是两个无理数;②x1·x2是一个有理数.
如:x1=,x2=都是无理数,
且x1·x2=×=n是有理数,
∴x1,x2是互为有理化的一对无理根.
(1)填空:材料中的m= ,n= .
(2)求一元二次方程x2-3x-5=0的两根,并说明该方程的两根是否是互为有理化的一对无理根.
【解析】(1)m=,n==-.
答案: -
(2)∵Δ=(-3)2-4×1×(-5)=9+20=29>0,∴一元二次方程x2-3x-5=0的两根分别为x1=,x2=,
∵x1=,x2=都是无理数,且x1·x2=×=-5是有理数,
∴该方程的两根是互为有理化的一对无理根.