第六章 反比例函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列函数中,不是反比例函数的是 ( )
A.y=- B.y= C.y= D.3xy=2
2.反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,-4),则当x=-2时,y的值为 ( )
A.-4 B.- C. D.4
3.若反比例函数y=的图象,在每个象限内,y都随x的增大而增大,则k的值可以是 ( )
A.-1 B.-5 C.0 D.2
4.反比例函数y1=,y2=,y3=在同一坐标系中的图象如图所示,则k1,k2,k3的大小关系为 ( )
A.k3>k1>k2 B.k1>k3>k2 C.k3>k2>k1 D.k2>k1>k3
5.(2024·重庆质检)在平面直角坐标系中,若点A(3,m),B(3m-1,2)都在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为 ( )
A. B. C.2 D.4
6.若关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0无实数根,则反比例函数y=的图象所在的象限是 ( )
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
7.已知反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象没有交点,则k的值可以是 ( )
A.1 B.-1 C.0 D.-2
8.(2024·铜仁期末)得天独厚的自然条件和生态资源,已让铜仁这片黔东沃土孕育出33个地理标志产品.某区举行地理标志产品知识竞赛,如图,使用S矩形ABCO,S矩形DEFO,S矩形GHIO,S矩形JKLO分别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人数,已知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率,x表示该社区参赛居民人数,点B和点K在同一反比例函数图象上,则这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间有如图所示的反比例函数关系,若配制一副度数小于500度的近视眼镜,则焦距x的取值范围是 ( )
A.x>0.2 B.02
10.已知如图,反比例函数y=-,y=的图象分别经过正方形DEOF、正方形ACOB的顶点D,A,连接EF,AE,AF,则△AEF的面积为 ( )
A.2 B.3 C.1 D.5
11.在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC∥x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1,若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,D,则k的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.
12.(2023·广西中考)如图,过y=(x>0)的图象上点A,分别作x轴,y轴的平行线交y=-的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为S1,S2,S3,S4,若S2+S3+S4=,则k的值为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.已知点(4,-2),(1,n)都在同一反比例函数图象上,则n的值为 .
14.如果点M(-1,y1)、点N(-,y2)都在函数y=的图象上,且y115.如图,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象的交点是(1,3)和(-1,-3),则当y2>y1时,x的取值范围是 .
16.(2023·枣庄中考)如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上有P1,P2,P3,…,P2 024等点,它们的横坐标依次为1,2,3,…,2 024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,S2 023,则S1+S2+S3+…+S2 023
= .
三、解答题(共98分)
17.(10分)已知反比例函数y=的图象经过点(-3,-1).
(1)求这个函数的表达式;
(2)判断点A(9,-),B(-6,-)是否在这个函数的图象上.
18.(10分)如图,一次函数y=-2x+6的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴于点D,且BO=3DO.
(1)求m的值;
(2)求两个函数图象的另一个交点E的坐标;
(3)请观察图象,关于x的不等式2x+≥6的解集为 .
19.(10分)为进行技术转型,某企业从今年1月开始对车间的生产线进行为期5个月的技术升级改造.改造期间的月利润与时间成反比例关系,到今年5月底开始恢复全面生产后,企业的月利润都会比前一个月增加10万元.设今年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元,利润与时间的图象如图所示.
(1)分别求出生产线升级改造前后,y与x的函数表达式;
(2)已知月利润少于50万元时,为企业的资金紧张期,求资金紧张期共有几个月.
20.(10分)(2023·南充中考)如图,一次函数图象与反比例函数图象交于点A(-1,6),B(,a-3),与x轴交于点C,与y轴交于点D.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点M在x轴上,若S△OAM=S△OAB,求点M的坐标.
21.(10分)(2023·贵阳云岩区模拟)心理学家研究发现,一般情况下,学生在一节课中的注意力随教师讲课时间的变化而变化.开始上课后,学生的注意力逐步增强,此时学生的注意力指标数与上课时间成一次函数关系,满足y=2x+20(0≤x<10),中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(min)的变化规律如图所示(其中BC为水平线段,CD为双曲线的一部分).
(1)请根据图象,求出上课25 min后学生的注意力指标数y与上课时间x所满足的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)一道数学作业题,需要讲22 min,为了效果较好,老师能否经过适当安排,在学生注意力指标数不低于30的状态下讲完这道题目 请说明理由.
22.(12分)(2021·贵阳中考)如图,一次函数y=kx-2k(k≠0)的图象与反比例函数y=(m-1≠0)的图象交于点C,与x轴交于点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为B,若S△ABC=3.
(1)求点A的坐标及m的值;
(2)若AB=2,求一次函数的表达式.
23.(12分)(2022·安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在y轴上,A,C两点的坐标分别为(4,0),(4,m),直线CD:y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)的图象交于C,P(-8,-2)两点.
(1)求该反比例函数的表达式及m的值;
(2)判断点B是否在该反比例函数的图象上,并说明理由.
24.(12分)(2024·铜仁石阡县质检)在学习了反比例函数的基础上,进一步探究函数y=的图象性质.
(1)函数y=的自变量x的取值范围是 ;在x的取值范围内写出了y与x的几组对应值,补全图表:
x … -6 -4 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 4 6 …
y … 1 1.5 3 6 6 4 1.5 1 …
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,根据上表描点,再分别用一条光滑曲线连接起来,作出函数y=的图象.
(3)观察作出的函数图象,写出函数y=的两条性质.
25.(12分)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k<0)的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于C点,过点A作AD⊥y轴,垂足为点D,OD=3,=,点B的坐标为(c,-2).
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象直接写出使ax+b<成立的x的取值范围;
(3)形如x2-a>0(a为常数,a>0)的解集为:x>或x<-,过点M(6,0)作垂直于x轴的直线MN,直线y=x+n与双曲线y=(k<0)交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线MN交于点R(x3,y3),若y1(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列函数中,不是反比例函数的是 (C)
A.y=- B.y= C.y= D.3xy=2
2.反比例函数y=(k≠0)的图象经过点A(2,-4),则当x=-2时,y的值为 (D)
A.-4 B.- C. D.4
3.若反比例函数y=的图象,在每个象限内,y都随x的增大而增大,则k的值可以是 (B)
A.-1 B.-5 C.0 D.2
4.反比例函数y1=,y2=,y3=在同一坐标系中的图象如图所示,则k1,k2,k3的大小关系为 (C)
A.k3>k1>k2 B.k1>k3>k2 C.k3>k2>k1 D.k2>k1>k3
5.(2024·重庆质检)在平面直角坐标系中,若点A(3,m),B(3m-1,2)都在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为 (C)
A. B. C.2 D.4
6.若关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0无实数根,则反比例函数y=的图象所在的象限是 (B)
A.第一、二象限 B.第一、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
7.已知反比例函数y=与一次函数y=x+2的图象没有交点,则k的值可以是 (D)
A.1 B.-1 C.0 D.-2
8.(2024·铜仁期末)得天独厚的自然条件和生态资源,已让铜仁这片黔东沃土孕育出33个地理标志产品.某区举行地理标志产品知识竞赛,如图,使用S矩形ABCO,S矩形DEFO,S矩形GHIO,S矩形JKLO分别描述了甲、乙、丙、丁四个社区居民竞赛成绩的优秀人数,已知y表示社区居民竞赛成绩的优秀率,x表示该社区参赛居民人数,点B和点K在同一反比例函数图象上,则这四个社区在这次知识竞赛中优秀人数最多的是 (B)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
9.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间有如图所示的反比例函数关系,若配制一副度数小于500度的近视眼镜,则焦距x的取值范围是 (A)
A.x>0.2 B.02
10.已知如图,反比例函数y=-,y=的图象分别经过正方形DEOF、正方形ACOB的顶点D,A,连接EF,AE,AF,则△AEF的面积为 (A)
A.2 B.3 C.1 D.5
11.在平面直角坐标系中,点A在y轴的正半轴上,AC∥x轴,点B,C的横坐标都是3,BC=2,点D在AC上,且其横坐标为1,若反比例函数y=(x>0)的图象经过点B,D,则k的值是(C)
A.1 B.2 C.3 D.
12.(2023·广西中考)如图,过y=(x>0)的图象上点A,分别作x轴,y轴的平行线交y=-的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为S1,S2,S3,S4,若S2+S3+S4=,则k的值为 (C)
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.已知点(4,-2),(1,n)都在同一反比例函数图象上,则n的值为 -8 .
14.如果点M(-1,y1)、点N(-,y2)都在函数y=的图象上,且y115.如图,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象的交点是(1,3)和(-1,-3),则当y2>y1时,x的取值范围是 x<-1或016.(2023·枣庄中考)如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上有P1,P2,P3,…,P2 024等点,它们的横坐标依次为1,2,3,…,2 024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,S2 023,则S1+S2+S3+…+S2 023
= .
三、解答题(共98分)
17.(10分)已知反比例函数y=的图象经过点(-3,-1).
(1)求这个函数的表达式;
(2)判断点A(9,-),B(-6,-)是否在这个函数的图象上.
【解析】(1)将(-3,-1)代入y=,得k=3,
∴这个函数的表达式为y=.
(2)把x=9代入y=,得y=,
∴点A(9,-)不在这个函数的图象上.
把x=-6代入y=,得y=-,
∴点B(-6,-)在这个函数的图象上.
18.(10分)如图,一次函数y=-2x+6的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴于点D,且BO=3DO.
(1)求m的值;
(2)求两个函数图象的另一个交点E的坐标;
(3)请观察图象,关于x的不等式2x+≥6的解集为 .
【解析】(1)∵一次函数y=-2x+6的图象与y轴交于B点,
∴当x=0时,y=6,∴B(0,6).
∵OB=3OD,∴OD=2,∴D(-2,0).
把x=-2代入一次函数y=-2x+6,得y=-2×(-2)+6=10,∴C(-2,10).
∵点C在反比例函数y=(m是不为0的常数)的图象上,∴m=-2×10=-20;
(2)由,解得或,∴E的坐标为(5,-4);
(3)由题中图象可知,不等式2x+≥6的解集是-2≤x<0或x≥5.
答案:-2≤x<0或x≥5
19.(10分)为进行技术转型,某企业从今年1月开始对车间的生产线进行为期5个月的技术升级改造.改造期间的月利润与时间成反比例关系,到今年5月底开始恢复全面生产后,企业的月利润都会比前一个月增加10万元.设今年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元,利润与时间的图象如图所示.
(1)分别求出生产线升级改造前后,y与x的函数表达式;
(2)已知月利润少于50万元时,为企业的资金紧张期,求资金紧张期共有几个月.
【解析】(1)设升级改造前y与x的函数表达式为y=,
将(1,100)代入,得100=,解得k=100,
∴升级改造前y与x的函数表达式为y=(1≤x≤5),
当x=5时,y=20,
∵恢复全面生产后,企业的月利润都会比前一个月增加10万元,
∴设升级改造后y与x的函数表达式为y=10x+b,
将(5,20)代入,得20=10×5+b,解得b=-30,
∴升级改造后y与x的函数表达式为y=10x-30(x>5);
(2)在y=中,当y=50时,x=2,
在y=10x-30中,当y<50时,10x-30<50,
∴x<8,∴2所以资金紧张期共有5个月.
20.(10分)(2023·南充中考)如图,一次函数图象与反比例函数图象交于点A(-1,6),B(,a-3),与x轴交于点C,与y轴交于点D.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点M在x轴上,若S△OAM=S△OAB,求点M的坐标.
【解析】(1)由题意,设反比例函数、一次函数分别为y=(n≠0),y=kx+b(k≠0),
∵点A(-1,6)在反比例函数图象上,∴n=-6.∴反比例函数表达式为y=-.
∵点B在反比例函数图象上,∴(a-3)=-6.∴a=1.∴B(3,-2).
∵点A(-1,6),B(3,-2)在一次函数y=kx+b的图象上,
∴.∴.∴一次函数表达式为y=-2x+4.
(2)设点M(m,0),由(1)得,直线y=-2x+4交x轴于点C(2,0),
∴OC=2,∴S△AOB=S△AOC+S△COB=OC×6+OC×2=6+2=8.
∵M在x轴上,∴S△AOM=OM×6=3|m|.
又S△AOB=S△AOM,∴3|m|=8.∴m=±.
∴点M的坐标为(,0)或(-,0).
21.(10分)(2023·贵阳云岩区模拟)心理学家研究发现,一般情况下,学生在一节课中的注意力随教师讲课时间的变化而变化.开始上课后,学生的注意力逐步增强,此时学生的注意力指标数与上课时间成一次函数关系,满足y=2x+20(0≤x<10),中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力指标数y随时间x(min)的变化规律如图所示(其中BC为水平线段,CD为双曲线的一部分).
(1)请根据图象,求出上课25 min后学生的注意力指标数y与上课时间x所满足的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)一道数学作业题,需要讲22 min,为了效果较好,老师能否经过适当安排,在学生注意力指标数不低于30的状态下讲完这道题目 请说明理由.
【解析】(1)设CD段所在双曲线的表达式为y=(k>0),
把C(25,40)代入得,=40,∴k=1 000,∴上课25 min后学生的注意力指标数y与上课时间x所满足的函数表达式为y=.
(2)对于AB段:y=2x+20(0≤x<10),
当y=30时,2x+20=30,∴x=5,
对于CD段:y=,当y=30时,=30,∴x=,
∵-5=>22,∴经过适当安排,老师能在学生注意力指标数不低于30的状态下讲完这道题目.
22.(12分)(2021·贵阳中考)如图,一次函数y=kx-2k(k≠0)的图象与反比例函数y=(m-1≠0)的图象交于点C,与x轴交于点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为B,若S△ABC=3.
(1)求点A的坐标及m的值;
(2)若AB=2,求一次函数的表达式.
【解析】(1)令y=0,则kx-2k=0,∴x=2,∴A(2,0),
设C(a,b),∵CB⊥y轴,∴B(0,b),∴BC=-a,
∵S△ABC=3,∴(-a)b=3,
∴ab=-6,∴m-1=ab=-6,∴m=-5,即A(2,0),m=-5;
(2)在Rt△AOB中,AB2=OA2+OB2,
∵AB=2,∴b2+4=8,∴b2=4,∴b=±2,
∵b>0,∴b=2,∴a=-3,∴C(-3,2),
将C(-3,2)代入到直线的表达式中得k=-,
∴一次函数的表达式为y=-x+.
23.(12分)(2022·安顺中考)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点D在y轴上,A,C两点的坐标分别为(4,0),(4,m),直线CD:y=ax+b(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)的图象交于C,P(-8,-2)两点.
(1)求该反比例函数的表达式及m的值;
(2)判断点B是否在该反比例函数的图象上,并说明理由.
【解析】(1)把P(-8,-2)代入y=得:-2=,解得k=16,
∴反比例函数的表达式为y=,
∵C(4,m)在反比例函数y=的图象上,∴m==4;
(2)B在反比例函数y=的图象上,理由如下:
连接AC,BD交于H,如图,
把C(4,4),P(-8,-2)代入y=ax+b得:,解得,
∴直线CD的表达式是y=x+2,
在y=x+2中,令x=0,得y=2,∴D(0,2),
∵四边形ABCD是菱形,∴H是AC的中点,也是BD的中点,
由A(4,0),C(4,4)可得H(4,2),设B(p,q),∵D(0,2),
∴,解得,∴B(8,2),
在y=中,令x=8,得y=2,
∴B在反比例函数y=的图象上.
24.(12分)(2024·铜仁石阡县质检)在学习了反比例函数的基础上,进一步探究函数y=的图象性质.
(1)函数y=的自变量x的取值范围是 ;在x的取值范围内写出了y与x的几组对应值,补全图表:
x … -6 -4 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 4 6 …
y … 1 1.5 3 6 6 4 1.5 1 …
(2)在如图所示的平面直角坐标系中,根据上表描点,再分别用一条光滑曲线连接起来,作出函数y=的图象.
(3)观察作出的函数图象,写出函数y=的两条性质.
【解析】(1)函数y=的自变量x的取值范围是x≠0,
把x=-1.5,代入y=得y=4,把x=2,代入y=得y=3,
x … -6 -4 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 4 6 …
y … 1 1.5 3 4 6 6 4 3 1.5 1 …
答案:x≠0 4 3
(2)画出函数y=的图象如图所示;
(3)观察函数图象,
①函数y=的图象是轴对称图形;
②当x>0时,y随x的增大而减小.(合理即可)
25.(12分)在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k<0)的图象交于第二、四象限内的A,B两点,与x轴交于C点,过点A作AD⊥y轴,垂足为点D,OD=3,=,点B的坐标为(c,-2).
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象直接写出使ax+b<成立的x的取值范围;
(3)形如x2-a>0(a为常数,a>0)的解集为:x>或x<-,过点M(6,0)作垂直于x轴的直线MN,直线y=x+n与双曲线y=(k<0)交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线MN交于点R(x3,y3),若y1【解析】(1)∵OD=3,=,∴AD=4,∴点A的坐标为(-4,3),把(-4,3)代入y=,可得k=-12,∴反比例函数的表达式为y=-,把B(c,-2)代入反比例函数y=-中,可得c=6,∴点B的坐标为(6,-2),将A(-4,3)和B(6,-2)代入y=ax+b,可得,解得,∴一次函数的表达式为y=-x+1;
(2)根据题图,可知使ax+b<成立的x的取值范围是-46;
(3)∵直线y=x+n与双曲线y=-有两个交点,∴x+n=-有两个实数解,整理得x2+nx+12=0,∵Δ=n2-4×12>0,∴n>4或n<-4,
当反比例函数图象与直线y=x+n在第二象限相交于P,Q两点时,
∵y14,
当反比例函数与直线y=x+n在第四象限相交于P,Q两点时,
当x=6时,y=-=-2,则点(6,-2)在点R(x3,y3)下方,
∴6+n>-2,∴n>-8,∴y1综上所述,n的取值范围为-84.
