第四章 图形的相似
（120分钟 150分）
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·铜仁思南县期中)已知线段a,b,c,d是成比例线段,其中a=3,b=2,c=6,则d的值是 ( )
A.6 B.4 C.8 D.10
2.(2024·六盘水期末)若=,则的值为 ( )
A. B. C. D.
3.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,连接DE,已知=.根据以上条件,关于下列两个结论:①∠ADE=∠B;②△AED∽△ABC.判断正确的是( )
A.①正确,②错误 B.①错误,②正确
C.两个都正确 D.两个都错误
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是 ( )
A.= B.= C.= D.=
5.(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 ( )
A. B.7 C. D.8
6.(2024·贵阳观山湖区质检)如图,在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若B(0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的相似比是 ( )
A.2∶1 B.1∶2 C.3∶1 D.1∶3
7.为了测量河宽AB,有如下方法:如图,取一根标尺CD横放,使CD∥AB,并使点B,D,O和点A,C,O分别在同一条直线上,量得CD=8米,OC=10米,AC=30米,则河宽AB的长度为 ( )
A.24米 B.30米 C.32米 D.40米
8.如图,△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若S△ABC=4,S△A'B'C'=25,则OA∶AA'的值为 ( )
A. B. C. D.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=∠B=40°,DE交线段AC于点E.下面是某学习小组根据题意得到的结论:
甲同学:△ABD∽△DCE;
乙同学:若AD=DE,则BD=CE;
丙同学:当DE⊥AC时,D为BC的中点.
则下列说法正确的是 ( )
A.只有甲同学正确 B.乙和丙同学都正确
C.甲和丙同学正确 D.三个同学都正确
10.如图所示,点B是一根均匀的木棍OA的中点,如果以O点为支点,在A处需用5 N的力竖直向上拉才能保持木棍不动,根据杠杆原理可求木棍OA所受的重力G的大小是 ( )
A.5 N B.15 N C.10 N D.20 N
11.(2024·铜仁期中)如图,在正方形ABCD中,BC=2,点M是AB边的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点F为DM的中点,点E为DC上的动点.当∠DFE=45°时,则DE的长为 ( )
A. B. C. D.
12.如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点,且CD=DE,连接BE,分别交AC,AD于点F,G,连接OG.有下列结论:①OG=AB;②S四边形ODGF=S△ABF;③由点A,B,D,E构成的四边形是菱形;④S△ACD=2S△ABG.其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·泰州中考)两个相似图形的周长比为3∶2,则面积比为 .
14.如图,在△ABC中,∠ACD=∠B,若AD=3,BD=4,AC的长为 .
15.已知在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(3,1),B(2,0),O(0,0),若以原点为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为 .
16.(2024·毕节期末)如图,平行四边形ABCD中,AB=6,BC=8,∠ABC=60°,E,F分别是AB,BC的中点,M,N分别是CE,DF的中点,连接MN,则MN的长是 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)已知a∶b∶c=2∶3∶4,且a-2b+3c=20,试求a+2b+3c的值.
18.(10分)(2024·贵阳期中)如图,已知l1∥l2∥l3,AB=4,AC=10,DF=15,求DE和EF的长.
19. (10分)如图,已知△ABC∽△DEC,∠D=45°,∠ACB=60°,AC=4,BC=3,CE=6.
(1)求∠B的度数;
(2)求AD的长.
20.(10分)(2024·贵阳质检)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出C1点坐标;
(2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出C2点坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标.
21.(10分)(2024·青岛期中)如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
如图2,小亮在湖对面P处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出塔的高度AB.
22.(12分)如图①,在△ABC中,点P是AB边上的一个动点(点P不与A,B重合),过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP=∠B.
(1)试判断△ABC与△AEP的关系,并说明理由.
(2)若把满足(1)的直线PE称作“△ABC的一条相似线”,在图②的△ABC中,∠A=36°,AB=AC,且点P在AC垂直平分线上,请问过点P的“△ABC的相似线”有几条 并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.
23.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t( )表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形
(2)当t为何值时,以点Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似
(3)四边形QAPC的面积有什么特点
24. (12分)(2023·泰安中考)如图,△ABC,△CDE是两个等腰直角三角形,EF⊥AD.
(1)当AF=DF时,求∠AED;
(2)求证:△EHG∽△ADG;
(3)求证:=.
25.(12分)(2024·贵州一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点B在直线l上,直线l与BC的夹角为∠CBD,且∠CBD=∠ABC,分别过点C,A作直线l的垂线,垂足分别为D,E.
(1)【问题解决】
如图①,若∠CBD=30°,则∠BAC的度数为 ,的值为 ;
(2)【问题探究】
如图②,若0°<∠CBD<90°,判断的值是否发生变化 并说明理由;
(3)【拓展延伸】
如图③,CE,AB交于点F,点F在线段AB上,若=,CD=2,求线段BD的长.第四章 图形的相似
（120分钟 150分）
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·铜仁思南县期中)已知线段a,b,c,d是成比例线段,其中a=3,b=2,c=6,则d的值是 (B)
A.6 B.4 C.8 D.10
2.(2024·六盘水期末)若=,则的值为 (D)
A. B. C. D.
3.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,连接DE,已知=.根据以上条件,关于下列两个结论:①∠ADE=∠B;②△AED∽△ABC.判断正确的是(B)
A.①正确,②错误 B.①错误,②正确
C.两个都正确 D.两个都错误
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连接EF,分别交AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是 (C)
A.= B.= C.= D.=
5.(2023·陕西中考)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF.连接EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 (C)
A. B.7 C. D.8
6.(2024·贵阳观山湖区质检)如图,在平面直角坐标系中,将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD,若B(0,1),D(0,3),则△OAB与△OCD的相似比是 (D)
A.2∶1 B.1∶2 C.3∶1 D.1∶3
7.为了测量河宽AB,有如下方法:如图,取一根标尺CD横放,使CD∥AB,并使点B,D,O和点A,C,O分别在同一条直线上,量得CD=8米,OC=10米,AC=30米,则河宽AB的长度为 (C)
A.24米 B.30米 C.32米 D.40米
8.如图,△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形.若S△ABC=4,S△A'B'C'=25,则OA∶AA'的值为 (B)
A. B. C. D.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=∠B=40°,DE交线段AC于点E.下面是某学习小组根据题意得到的结论:
甲同学:△ABD∽△DCE;
乙同学:若AD=DE,则BD=CE;
丙同学:当DE⊥AC时,D为BC的中点.
则下列说法正确的是 (D)
A.只有甲同学正确 B.乙和丙同学都正确
C.甲和丙同学正确 D.三个同学都正确
10.如图所示,点B是一根均匀的木棍OA的中点,如果以O点为支点,在A处需用5 N的力竖直向上拉才能保持木棍不动,根据杠杆原理可求木棍OA所受的重力G的大小是 (C)
A.5 N B.15 N C.10 N D.20 N
11.(2024·铜仁期中)如图,在正方形ABCD中,BC=2,点M是AB边的中点,连接DM,DM与AC交于点P,点F为DM的中点,点E为DC上的动点.当∠DFE=45°时,则DE的长为 (D)
A. B. C. D.
12.如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点,且CD=DE,连接BE,分别交AC,AD于点F,G,连接OG.有下列结论:①OG=AB;②S四边形ODGF=S△ABF;③由点A,B,D,E构成的四边形是菱形;④S△ACD=2S△ABG.其中正确的结论有 (D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·泰州中考)两个相似图形的周长比为3∶2,则面积比为 9∶4 .
14.如图,在△ABC中,∠ACD=∠B,若AD=3,BD=4,AC的长为 .
15.已知在平面直角坐标系中,△AOB的顶点分别为A(3,1),B(2,0),O(0,0),若以原点为位似中心,相似比为2,将△AOB放大,则点A的对应点的坐标为 (6,2)或(-6,-2) .
16.(2024·毕节期末)如图,平行四边形ABCD中,AB=6,BC=8,∠ABC=60°,E,F分别是AB,BC的中点,M,N分别是CE,DF的中点,连接MN,则MN的长是 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)已知a∶b∶c=2∶3∶4,且a-2b+3c=20,试求a+2b+3c的值.
【解析】∵a∶b∶c=2∶3∶4,∴设a=2k,b=3k,c=4k(k≠0),
∵a-2b+3c=20,∴2k-2·3k+3·4k=20,解得k=,
∴a=5,b=,c=10,
∴a+2b+3c=5+2×+3×10=5+15+30=50.
18.(10分)(2024·贵阳期中)如图,已知l1∥l2∥l3,AB=4,AC=10,DF=15,求DE和EF的长.
【解析】∵l1∥l2∥l3,∴=,∵AB=4,AC=10,DF=15,
∴DE===6,∴EF=15-6=9.
19. (10分)如图,已知△ABC∽△DEC,∠D=45°,∠ACB=60°,AC=4,BC=3,CE=6.
(1)求∠B的度数;
(2)求AD的长.
【解析】(1)∵△ABC∽△DEC,∠D=45°,∠ACB=60°,∴∠A=∠D=45°,∴∠B=180°-45°-60°=75°;
(2)∵△ABC∽△DEC,∴=,
∴==,
∵AC=4,BC=3,CE=6,
∴=,解得AD=12.
20.(10分)(2024·贵阳质检)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出C1点坐标;
(2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出C2点坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标.
【解析】(1)如图所示:△A1B1C1即为所求,C1点坐标为(3,2);
(2)如图所示:△A2B2C2即为所求,C2点坐标为(-6,4);
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标为(2a,2b).
21.(10分)(2024·青岛期中)如图1,在反射现象中,反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内;反射光线和入射光线分别位于法线两侧;反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
如图2,小亮在湖对面P处放置一面平面镜(平面镜的大小忽略不计),他站在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米,小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米,C,P,B在同一水平直线上,且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出塔的高度AB.
【解析】由光的反射定律得到:∠CPD=∠BPA,
∵DC,AB均垂直于CB,∴∠DCP=∠ABP=90°,
∴△DCP∽△ABP,∴DC∶AB=PC∶PB,
∴1.6∶AB=4∶247.5,∴AB=99.
答:塔的高度AB是99米.
22.(12分)如图①,在△ABC中,点P是AB边上的一个动点(点P不与A,B重合),过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP=∠B.
(1)试判断△ABC与△AEP的关系,并说明理由.
(2)若把满足(1)的直线PE称作“△ABC的一条相似线”,在图②的△ABC中,∠A=36°,AB=AC,且点P在AC垂直平分线上,请问过点P的“△ABC的相似线”有几条 并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.
【解析】(1)△ABC∽△AEP,理由如下:
∵∠AEP=∠B,∠A=∠A,∴△ABC∽△AEP;
(2)共有3条,如图所示:作直线PC,
过点P分别作PM∥AC,PN∥BC,
∴PM,PC,PN所在直线即为所求作相似线.
23.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形
(2)当t为何值时,以点Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似
(3)四边形QAPC的面积有什么特点
【解析】(1)△QAP为等腰直角三角形即QA=AP,
则t s后AQ=(DA-t)cm,
即AQ=(6-t)cm,AP=2t cm,AQ=AP,即6-t=2t,解得t=2 s;
(2)以点Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似,
则①△QAP∽△ABC,=,解得t=1.2;
②△PAQ∽△ABC,=,解得t=3,
当t为1.2 s或3 s时,以点Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似;
(3)四边形QAPC的面积=S△QAC+S△APC=×12×(6-t)+×2t×6=36,为定值,四边形QAPC的面积始终保持不变.
24. (12分)(2023·泰安中考)如图,△ABC,△CDE是两个等腰直角三角形,EF⊥AD.
(1)当AF=DF时,求∠AED;
(2)求证:△EHG∽△ADG;
(3)求证:=.
【解析】(1)取AE中点K,连接GK,
∵△ABC,△CDE是两个等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠BAC=45°,∠CED=∠CDE=45°,
∴∠CGE=180°-∠ACB-∠CED=90°,
∵CE=CD,∴EG=DG=DE,
∵AF=DF,EF⊥AD,∴AE=DE,∴EG=AE,
∵∠AGE=90°,K是AE的中点,∴GK=EK=EG,
∴△EGK是等边三角形,∴∠AED=60°;
(2)由(1)知∠CGE=90°,
∴CG⊥DE,
∴∠AGD=∠EGH=∠AFH=90°,
∵∠AHF=∠EHG,
∴∠FAH=∠HEG,
∴△EHG∽△ADG;
(3)如图,
作AQ∥BC,交EF的延长线于点Q,
∴∠HCE=∠HAQ,∠HEC=∠Q,∠QAE=∠AEB,
∴△CHE∽△AHQ,
∴=,
∴=,
设∠GEH=∠FAH=α,
由(1)知:AC是DE的垂直平分线,
∴AE=AD,
∴∠EAG=∠FAH=α,
∵∠FAH=∠HEG,
∴∠GEH=∠EAG=α,
∴∠AEB=∠ACB+∠EAG=45°+α,
∵∠CEH=∠CED+∠GEH=45°+α,
∴∠AEB=∠CEH,
∴∠Q=∠QAE,
∴AE=EQ,
∴=.
25.(12分)(2024·贵州一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点B在直线l上,直线l与BC的夹角为∠CBD,且∠CBD=∠ABC,分别过点C,A作直线l的垂线,垂足分别为D,E.
(1)【问题解决】
如图①,若∠CBD=30°,则∠BAC的度数为 ,的值为 ;
(2)【问题探究】
如图②,若0°<∠CBD<90°,判断的值是否发生变化 并说明理由;
(3)【拓展延伸】
如图③,CE,AB交于点F,点F在线段AB上,若=,CD=2,求线段BD的长.
【解析】(1)60°
(2)不变.理由:如图,延长AC交l于点Q.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCQ=90°.
又∵∠ABC=∠CBD,BC=BC,
∴△ABC≌△QBC.
∴AC=CQ=AQ.
又∵AE⊥l,CD⊥l,
∴AE∥CD,
∴=,
∴=.
(3)如图,过点C作CG∥DE分别交AE,AB于G,H.则四边形EDCG是矩形.
∴∠HCB=∠CBD,又∵∠ABC=∠CBD,
∴∠HCB=∠ABC,∴HC=HB.
∵∠ACH+∠HCB=∠CAH+∠ABC=90°,
∴∠CAH=∠ACH,∴HC=HA.
∴H,G分别是AB,AE的中点.
∴AE=2CD=4.
∵CG∥DE,
∴△HCF∽△BEF.
∴==.
∴设CH=2x,则BE=3x,GH=x,AB=4x,
在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2,
即42+(3x)2=(4x)2,解得x=,
∴BD=CG-BE=x-3x=x=×=.
