第一章 特殊平行四边形
(120分钟150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2023·襄阳中考)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论一定正确的是 (C)
A.AC平分∠BAD B.AB=BC
C.AC=BD D.AC⊥BD
2.(2024·贵阳期末)已知菱形的边长为13 cm,它的一条对角线长为10 cm,则该菱形的面积为 (B)
A.60 cm2 B.120 cm2 C.240 cm2 D.480 cm2
3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,若OE=2,则BC的长为 (C)
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为 (A)
A.2 B.3 C.2 D.3
5.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B,D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长为 (D)
A.10 B.11 C.12 D.13
6.如图,在矩形ABCD中,顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH.若AB=8,AD=6,则四边形EFGH的周长等于 (C)
A.10 B.14 C.20 D.28
7.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上,某位同学进行了如下操作:
第一步:将矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形ABEF,然后把纸片展平;
第二步:将图①中的矩形纸片折叠,使点C恰好落在点F处,得到折痕MN,如图②.
根据以上的操作,若AB=8,AD=12,则线段BM的长是 (C)
A.3 B. C.2 D.1
8.(2024·遵义模拟)如图,一张矩形纸片剪去两个角,测得EF⊥GF,∠AGF=135°,则∠BEF= (A)
A.135° B.140° C.145° D.150°
9.(2024·铜仁质检)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2023·重庆中考B卷)如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,E为正方形内一点,连接BE,BE=BA,连接CE并延长,与∠ABE的平分线交于点F,连接OF,若AB=2,则OF的长度为 (D)
A.2 B. C.1 D.
11.(2023·毕节期中)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接CE,OE,连接AE,交OD于点F.若AB=2,∠ABC=60°,则AE的长为 (C)
A. B. C. D.2
12.如图,在正方形ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,过点O作射线OM,ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于点G.给出下列结论:①△COE≌△DOF;②△EOF≌△BOC;③DF2+BE2=2OE2;④正方形ABCD的面积是四边形CEOF的面积的4倍.其中正确的是 (B)
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件 AB=AD(答案不唯一) ,使得矩形ABCD为正方形.
14.(2023·陕西中考)点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为 62° .
15.(2023·台州中考)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 2 .
16.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点,若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·宿迁中考)如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:AF=CE.
【证明】∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF.
又BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE与△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
18.(10分)(2024·黔南期末)如图,在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上的一点.连接BE,DE,BE=DE,∠AEB=∠AED,求证:四边形ABCD是菱形.
【证明】在△ABE和△ADE中,
,∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴AB=AD,又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
19.(10分)(2023·怀化中考)如图,矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF≌△DOE;
(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴∠EDO=∠FBO.
∵点O是BD的中点,∴DO=BO,
又∵∠EOD=∠FOB,∴△BOF≌△DOE(ASA).
(2)由(1)得△BOF≌△DOE,∴BF=DE.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,即DE∥BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵EF⊥BD,∴四边形EBFD是菱形.
20.(10分)已知四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC上的点和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF ;
(2)判断△EAF的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形,F是CB延长线上一点,∴AB=AD,∠DAB=∠ABF=∠D=90°,
在△ADE和△ABF中,,
∴△ADE≌△ABF(SAS);
(2)△EAF是等腰直角三角形,理由:
由(1)可知,△ADE≌△ABF,∴AE=AF,∠DAE=∠BAF,
∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠FAE=∠EAB+∠BAF=∠EAB+∠DAE=90°,
即△AEF是等腰直角三角形.
21.(10分)(2024·铜仁期中)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿着EF折叠,使点C与点A重合.
(1)求证:AE=AF;
(2)求△AEF的面积.
【解析】(1)由折叠得,AE=CE,∠AEF=∠CEF,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴∠AFE=∠CEF,∴∠AFE=∠AEF,
∴AE=AF;
(2)设AE=CE=x,则BE=8-x,
由勾股定理得,AB2+BE2=AE2,
即42+(8-x)2=x2,解得x=5,
∴AF=5,
∴S△AEF=AF·AB=×5×4=10.
22.(12分)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,点F在AD上,AF=AB,连接BF交AE于点O,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若BF=8,AB=5,求AE的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,∴∠BEA=∠DAE,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BEA=∠BAE,∴EB=AB,
∵AF=AB,∴EB=AF,
∵EB∥AF,EB=AF,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∵EB=AB,∴四边形ABEF是菱形.
(2)∵四边形ABEF是菱形,BF=8,AB=5,
∴AE⊥BF,OB=OF=BF=×8=4,OA=OE,
∴∠AOB=90°,
∴OA===3,
∴AE=2OA=2×3=6,
∴AE的长为6.
23.(12分)(2023·乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF.
(1)求证:四边形ECFD是矩形;
(2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离.
【解析】(1)∵FD∥CA,BC∥DE,
∴四边形ECFD为平行四边形.
又∵∠C=90°,
∴四边形ECFD为矩形.
(2)
过点C作CH⊥EF于H,
在Rt△ECF中,CF=2,CE=4,
∴EF===2.
∵S△ECF=CF·CE=EF·CH,
∴CH==,∴点C到EF的距离为.
24.(12分)如图,在长方形ABCD中,AB∶BC=3∶4,AC=5,点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿A→B→C→A的方向运动,运动时间为t秒.
(1)求AB与BC的长.
(2)在点P的运动过程中,是否存在这样的点P,使△CDP为等腰三角形 若存在,求出t值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)设AB=3x,BC=4x,在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,∴AC=5x,5x=5,x=1,∴AB=3,BC=4.
(2)存在点P,使△CDP是等腰三角形,理由如下:
当P1D=P1C,即点P为对角线AC的中点时,△CDP是等腰三角形,
∴CP1=AC=2.5,∴t==9.5(秒);
当CD=P2C时,△CDP是等腰三角形,
∴t==10(秒),AB的中点也是,此时t=1.5秒;
CP=CD,点P在BC线段上,此时,t=4秒;
DP=DC,点P在线段AC上,此时t=10.6秒;
综上可知,当t=9.5秒或10秒或1.5秒或4秒或10.6秒时,△CDP是等腰三角形.
25.(12分)(2024·贵阳期中)【综合与实践】
定义:对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形.
(1)【概念理解】
①正方形,②菱形,③矩形,三个图形中一定是垂美四边形的是 ;(填序号)
(2)【性质探究】
小明说:在如图①的垂美四边形ABCD中,AD2+BC2=AB2+CD2,请你判断他的说法是否正确,并说明理由;
(3)【问题解决】
如图②,分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE交AB于点M,连接BG交CE于点N,连接GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.
【解析】(1)∵菱形、正方形的对角线互相垂直,
∴菱形、正方形都是垂美四边形;
答案:①②
(2)说法正确,理由如下:
如图,设AC,BD交于点O,
∵四边形ABCD是垂美四边形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,
由勾股定理,得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,
∴∠GAB=∠CAE,
在△GAB和△CAE中,AG=AC,∠GAB=∠CAE,AB=AE,
∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC,
又∵∠AEC+∠AME=90°,
∴∠ABG+∠AME=90°,
又∵∠BMC=∠AME,
∴∠ABG+∠BMC=90°,
∴CE⊥BG.
∴四边形CGEB是垂美四边形,
由(2)可知CG2+BE2=CB2+GE2,
∵AC=4,AB=5,
由勾股定理,得CB2=9,CG2=32,BE2=50,
∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,
∴GE=.第一章 特殊平行四边形
(120分钟150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2023·襄阳中考)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,下列结论一定正确的是 ( )
A.AC平分∠BAD B.AB=BC
C.AC=BD D.AC⊥BD
2.(2024·贵阳期末)已知菱形的边长为13 cm,它的一条对角线长为10 cm,则该菱形的面积为 ( )
A.60 cm2 B.120 cm2 C.240 cm2 D.480 cm2
3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,若OE=2,则BC的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4.如图,矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN分别交AD,BC于点M,N.若AM=1,BN=2,则BD的长为 ( )
A.2 B.3 C.2 D.3
5.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B,D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
6.如图,在矩形ABCD中,顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH.若AB=8,AD=6,则四边形EFGH的周长等于 ( )
A.10 B.14 C.20 D.28
7.在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上,某位同学进行了如下操作:
第一步:将矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形ABEF,然后把纸片展平;
第二步:将图①中的矩形纸片折叠,使点C恰好落在点F处,得到折痕MN,如图②.
根据以上的操作,若AB=8,AD=12,则线段BM的长是 ( )
A.3 B. C.2 D.1
8.(2024·遵义模拟)如图,一张矩形纸片剪去两个角,测得EF⊥GF,∠AGF=135°,则∠BEF= ( )
A.135° B.140° C.145° D.150°
9.(2024·铜仁质检)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点,连接OM,过点O作ON⊥OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1,则AB的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(2023·重庆中考B卷)如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC的中点,E为正方形内一点,连接BE,BE=BA,连接CE并延长,与∠ABE的平分线交于点F,连接OF,若AB=2,则OF的长度为 ( )
A.2 B. C.1 D.
11.(2023·毕节期中)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接CE,OE,连接AE,交OD于点F.若AB=2,∠ABC=60°,则AE的长为 ( )
A. B. C. D.2
12.如图,在正方形ABCD中,点O是对角线AC,BD的交点,过点O作射线OM,ON分别交BC,CD于点E,F,且∠EOF=90°,OC,EF交于点G.给出下列结论:①△COE≌△DOF;②△EOF≌△BOC;③DF2+BE2=2OE2;④正方形ABCD的面积是四边形CEOF的面积的4倍.其中正确的是 ( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件 ,使得矩形ABCD为正方形.
14.(2023·陕西中考)点E是菱形ABCD的对称中心,∠B=56°,连接AE,则∠BAE的度数为 .
15.(2023·台州中考)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=6.在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 .
16.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=7,F为DE的中点,若△CEF的周长为32,则OF的长为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·宿迁中考)如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:AF=CE.
18.(10分)(2024·黔南期末)如图,在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上的一点.连接BE,DE,BE=DE,∠AEB=∠AED,求证:四边形ABCD是菱形.
19.(10分)(2023·怀化中考)如图,矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF≌△DOE;
(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.
20.(10分)已知四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC上的点和CB的延长线上的点,且DE=BF,连接AE,AF,EF.
(1)求证:△ADE≌△ABF ;
(2)判断△EAF的形状,并说明理由.
21.(10分)(2024·铜仁期中)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿着EF折叠,使点C与点A重合.
(1)求证:AE=AF;
(2)求△AEF的面积.
22.(12分)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,点F在AD上,AF=AB,连接BF交AE于点O,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若BF=8,AB=5,求AE的长.
23.(12分)(2023·乐山中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB边上任意一点(不与点A,B重合),过点D作DE∥BC,DF∥AC,分别交AC,BC于点E,F,连接EF.
(1)求证:四边形ECFD是矩形;
(2)若CF=2,CE=4,求点C到EF的距离.
24.(12分)如图,在长方形ABCD中,AB∶BC=3∶4,AC=5,点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿A→B→C→A的方向运动,运动时间为t秒.
(1)求AB与BC的长.
(2)在点P的运动过程中,是否存在这样的点P,使△CDP为等腰三角形 若存在,求出t值;若不存在,说明理由.
25.(12分)(2024·贵阳期中)【综合与实践】
定义:对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形.
(1)【概念理解】
①正方形,②菱形,③矩形,三个图形中一定是垂美四边形的是 ;(填序号)
(2)【性质探究】
小明说:在如图①的垂美四边形ABCD中,AD2+BC2=AB2+CD2,请你判断他的说法是否正确,并说明理由;
(3)【问题解决】
如图②,分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE交AB于点M,连接BG交CE于点N,连接GE.已知AC=4,AB=5,求GE的长.
