人教版九年级2024-2025学年度上学期开学分班考数学试卷（含解析）

九年级2024-2025学年度上学期开学分班考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，菱形中，对角线相交于点，为边中点，菱形周长为，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列三角形中是直角三角形的是（ ）
A．三边之比为 B．三边之比为
C．三边之长为 D．三边之长为
4．如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是（ ）
A．k＞0，且b＞0 B．k＜0，且b＞0 C．k＞0，且b＜0 D．k＜0，且b＜0
5．将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ）
A．5， B．5，4 C．5， D．5，1
6．一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（ ）
A．2根小分支 B．3根小分支
C．4根小分支 D．5根小分支
8．已知二次函数y＝ax2－2ax＋1（a＜0）图象上三点A(－1，y1)、B(2，y2)、C(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
9．二次函数，在的范围内有最小值，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为直线x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若一次函数与的图象关于轴对称，则的值分别等于 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为，，，点P在BC（不与点B、C重合）上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
13．已知关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
14．已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= ．
15．下列关于二次函数（m为常数）的结论：
①该函数的图象与函数的图象的对称轴相同；
②该函数的图象与x轴有交点时，m＞1；
③该函数的图象的顶点在函数的图象上；
④点A（）与点B（）在该函数的图象上．若，，则．
其中正确的结论是 （填写序号）．
16．如图，将正方形ABCD绕A点顺时针旋转至正方形AEFG的位置．若G、E、C三点在一条直线上时，GC交AD于O点．若AB＝4，则CO＝ ．
三、解答题
17．先化简后求值：，其中
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点，点.
①作出关于y轴的对称图形；
②写出点、、的坐标
（2）已知点，点在直线的图象上，求的函数解析式.
19．解下列方程：
（1）x2＋2x－5＝0； （2）x2＋3x－18＝0．
20．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，求m的值及此时方程的根．
21．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1（a≠0）经过点(1，－2)、(－2，19)，
（1）求a、b的值；
（2）若A(m，p)和B(n，p)是抛物线上不同的两点，且，求m、n的值．
22．某校学生会组织周末爱心义卖活动，义卖所得利润将全部捐献给希望工程，活动选在一块长40米、宽28米的矩形空地上．如图，空地被划分出6个矩形区域，分别摆放不同类别的商品，区域之间用宽度相等的小路隔开，已知每个区域的面积均为128平方米，小路的宽应为多少米？
23．某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元
（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
24．已知，抛物线经过点和．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．
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参考答案：
1．A
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线的性质，根据菱形的四条边都相等求出，菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，可得答案．熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质是解题的关键．
【详解】解：∵菱形的周长为，
∴，，
∵为边中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：A．
2．D
【分析】对于选项A，给的分子、分母同时乘以a可得，由此即可作出判断；
对于选项B、C，只需取一对特殊值代入等式两边，再判断两边的值是否相等即可；
对于选项D，先对的分子、分母分别因式分解，再约分即可判断.
【详解】对于A选项，只有当a=b时，故A选项错误；
对于B选项，可用特殊值法，令a=2、b=3，则 ，因此B选项是错误；
同样的方法，可判断选项C错误；
对于D选项，=，因此D选项是正确.
故选D
【点睛】本题可以根据分式的基本性质和因式分解的知识进行求解．
3．B
【分析】根据勾股定理的逆定理判断：较小的两边的平方和等于第三边的平方，则构成直角三角形．
【详解】解：A. 三边之比为，令三边为，
∵
∴不能构成直角三角形．
B. 三边之比为，令三边为，
∵，
∴可以构成直角三角形．
C. 三边之长为，即，令三边长为，
∵，
∴不能构成直角三角形．
D. 三边之长为，令三边长为，
∵，
∴不能构成直角三角形．
故选：B
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，掌握勾股定理逆定理所表达的三边关系是解题的关键．
4．B
【详解】解：∵一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：化为一般式，得
，
二次项系数和一次项系数分别是5，，
故选：C．
6．D
【分析】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可．
【详解】解：移项得，
配方得，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
7．B
【分析】先设每个支干长出x个分支，则每个分支又长出x个小分支，x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1个，分支有x个，小分支有x2个，列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可.
【详解】设每个支干长出x个分支，
根据题意得
1+x+x x=13，
整理得x2+x-12=0，
解得x1=3，x2=-4（不符合题意舍去），
即每个支干长出3个分支.
故应选B.
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．D
【分析】求出抛物线的对称轴，求出A关于对称轴的对称点的坐标，根据抛物线的开口方向和增减性，即可求出答案．
【详解】，
对称轴是直线，
即二次函数的开口向下，对称轴是直线，
即在对称轴的右侧随的增大而减小，
A点关于直线的对称点是D（，y1），
∵2＜3＜4，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
9．D
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线x=-1，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案．
【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线x=-1，
∴在的范围内，当x=2时，y取最小值，
即：，解得：m=5，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键．
10．C
【分析】由函数图象可知a＞0，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在负半轴，即c＜0，然后可判断①②，令y=0时，然后根据抛物线的对称性可判断③；把x=-3代入函数解析式即可判断④．
【详解】解：由图象可得：a＞0，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在负半轴，即c＜0，
∴，
∴，，
∴，故①错误，②正确；
令y=0时，则有的两根即为二次函数与x轴两个交点的横坐标，
∵二次函数过（﹣2，0），
∴它的另一个交点的横坐标为4，故③正确；
把x=-3代入函数解析式得：，
∴由函数图象可得：，即，故④正确；
综上所述：正确的有②③④三个；
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
11．2,1
【分析】由直线，知与x轴交于，与y轴交于，根据轴对称性质，直线经过点，，建立二元一次方程组求解．
【详解】解：直线，时，；时，；
∴直线与x轴交于，与y轴交于．
∴直线经过点，．
∴，解得，
故答案为：2,1．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，轴对称性质，待定系数法求函数解析式；根据轴对称性质求点坐标是解题的关键．
12．（1,3）或（4,3）
【分析】根据△ODP是腰长为5的等腰三角形，因此要分类讨论到底是哪两条腰相等：①PD=OD为锐角三角形；②OP=OD；③OD=PD为钝角三角形，注意不重不漏.
【详解】∵C（0,3），A（9,0）
∴B的坐标为（9,3）
①当P运动到图①所示的位置时
此时DO=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD-DE=1
此时P点的坐标为（1,3）；
②当P运动到图②所示的位置时
此时DO=PO=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
此时P点的坐标为（4,3）；
③当P运动到图③所示的位置时
此时OD=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD+DE=9
此时P点的坐标为（9,3），此时P点与B点重合，故不符合题意.
综上所述，P的坐标为（1,3）或（4,3）
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及勾股定理的应用.
13．/
【分析】将一般式化为顶点式，，根据二次函数的增减性求解．
【详解】解：；
抛物线对称轴为，开口向下，时，y随x的增大而减小，
∵时，y随x的增大而减小，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉配方法，二次函数的性质是解题的关键．
14．8
【分析】由题意知，，，，将转化为代值计算即可得出结论．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，，，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系．
15．①③
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：①∵二次函数y=x2﹣2mx+1的对称轴为直线x=﹣=m，二次函数y=﹣x2+2mx的对称轴为直线x=﹣=m，故结论①正确；
②∵函数的图象与x轴有交点，则△=（﹣2m）2﹣4×1×1=4m2﹣4≥0，∴m2≥1，故结论②错误；
③∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2+1﹣m2，∴顶点为（m，﹣m2+1），∴该函数的图象的顶点在函数y=﹣x2+1的图象上，故结论③正确；
④∵x1+x2＜2m，∴＜m．
∵二次函数y=x2﹣2mx+1的对称轴为直线x=m，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离
∵x1＜x2，且a=1＞0，∴y1＞y2
故结论④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16．
【分析】作于点，根据正方形的性质可得：，设，则，证明出建立等式，在中，由，解得，在中，利用勾股定理进行求解．
【详解】解：作于点，
，
，
由正方形边长为4，
可得：，
则，
设，则，
由，
得，
，即，
，
在中，由，
得，
解得：（舍去），，
即，
在中，，
故答案是：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理、三角形相似等知识，解题的关键是利用相似建立等式，通过勾股定理进行求解．
17．
，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，然后再将x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
将代入，得：原式．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算和化简求值以及分母有理化，掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解答本题的关键．
18．(1)①详见解析;②、、；(2)
【分析】①依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；②依据△A1B1C1的位置，即可得到点A1、B1、C1的坐标；
【详解】解：（1）①作图如下.
②、、.
（2）由题意，
解得
∴函数解析式为．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及待定系数法的运用，掌握轴对称的性质是解决问题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】（1）利用求根公式求解；
（2）利用因式分解求解．
【详解】解：（1），
，，，
．
，
；
（2）；
，
解得：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握用求根公式解一元二次方程的方法．
20．，
【分析】利用判别式的意义得到，再解关于的方程得到的值，然后解原方程．
【详解】解：根据题意得，解得．
此时方程为，解得．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
21．（1）；（2）
【分析】（1）把点，代入解方程组即可得到结论；
（2）把分别代入得到，联立即可求解．
【详解】解：（1）把点，代入得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为，
把分别代入得，
，
①②得：，
，
，
，
，
联立，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，解题的关键是正确的理解题意．
22．4米
【分析】设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40 2x）米，宽为（28 x）米的矩形，根据6个矩形区域的面积为128×6平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】解：设小路的宽应为x米，则6个矩形区域可合成长为（40 2x）米，宽为（28 x）米的矩形，
依题意得：（40 2x）（28 x）＝128×6，
整理得：x2 48x＋176＝0，
解得：（不合题意，舍去）．
答：小路的宽应为4米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（1）450千克；（2）当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；（3）当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大
【分析】（1）根据销售量的规律：500减去减少的数量即可求出答案；
（2）设每千克水果售价为元，根据题意列方程解答即可；
（3）设月销售利润为元，每千克水果售价为元，根据题意列函数关系式，再根据顶点式函数关系式的性质解答即可．
【详解】解：当售价为元/千克时，每月销售量为千克．
设每千克水果售价为元，由题意，得
即
整理，得
配方，得
解得
当月销售利润为元时，每千克水果售价为元或元；
设月销售利润为元，每千克水果售价为元，
由题意，得
即
配方，得
，
当时，有最大值，
当该优质水果每千克售价为元时，获得的月利润最大．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，顶点式二次函数的性质，正确理解题意，根据题意对应的列方程或是函数关系式进行解答，并正确计算．
24．(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)、、或
【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标；
（3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标．
【详解】（1）解：将、代入中，
得：，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示．
当时，有，
解得：，，
点的坐标为．
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
设直线的解析式为，
将、代入中，
得：，解得：，
直线的解析式为．
当时，，
当的值最小时，点的坐标为．
（3）解：设点的坐标为，
则，，．
分三种情况考虑：
①当时，有，即，
解得：，，
点的坐标为或；
②当时，有，即，
解得：，
点的坐标为；
③当时，有，即，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或．
【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页