探索勾股定理(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理的拼图验证
1.如图所示的是由一个直角三角形和三个正方形组成的图形.若其中S正方形ABED=16 cm2,S正方形AHIC=25 cm2,则正方形BCFG的面积是 (B)
A.3 cm2 B.9 cm2 C.16 cm2 D.4 cm2
2.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示的弦图中,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个直角三角形,当EF=7,DE=12时,则正方形ABCD的边长是 (A)
A.13 B.28 C.48 D.52
3.(2022·金华中考)如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.
(2)当a=3时,该小正方形的面积是多少
【解析】本题考查列代数式,代数式求值,勾股定理的图形验证.观察题图,找出直角三角形与小正方形的关系.
(1)因为直角三角形较短的直角边为×2a=a,较长的直角边为2a+3,
所以小正方形的边长为2a+3-a=a+3;
(2)小正方形的面积为(a+3)2,
当a=3时,面积为(3+3)2=36.
知识点2 勾股定理的简单应用
4.如图,一轮船从港口O出发以16海里/时的速度向北偏东50°方向航行,另一轮船同时从港口O出发以12海里/时的速度向南偏东40°方向航行,航行2小时后,两船相距 (C)
A.25海里 B.30海里
C.40海里 D.60海里
5.如图,学校有一块长方形花圃,有少数人为了走“捷径”,在花圃内走出一条不文明的“路”,其实他们仅仅少走了________米,却踩伤了花草. (B)
A.1 B.2 C.1.5 D.0.5
6.意大利著名画家达·芬奇用图示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S1,图2中空白部分的面积为S2,则下列等式成立的是(C)
A.S2=c2 B.S2=c2+ab
C.S1=a2+b2+ab D.S1=a2+b2+2ab
7.如图1,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下,树顶落在离树根12米处,图2是这棵大树折断的示意图,则这棵大树在折断之前的高是 (B)
A.20米 B.18米
C.16米 D.15米
【B层 能力进阶】
8.(2024·苏州期中)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图2的新的图案.如果图1中的直角三角形的长直角边为9,短直角边为4,图2中的阴影部分的面积为S,那么S的值为 (C)
A.56 B.60 C.65 D.75
9.(2024·成都质检)如图,在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄,村庄A到公路MN的距离AB为800米,若宣讲车周围1 700米以内能听到广播宣传,宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶.
(1)请问村庄A能否听到宣传 请说明理由;
(2)如果能听到,已知宣讲车的速度是200米/分钟,那么村庄A总共能听到多长时间的宣传
【解析】(1)村庄A能听到宣传,
理由:因为村庄A到公路MN的距离为800米<1 700米,
所以村庄A能听到宣传;
(2)如图:假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄,行驶到Q点结束对村庄的影响,
则AP=AQ=1 700米,AB=800米,
所以在Rt△ABP中,BP2=AP2-AB2=1 7002-8002=2 250 000,
所以BP=1 500米,
同理,BQ=1 500米,所以PQ=3 000米,
所以影响村庄的时间为3 000÷200=15(分钟),
所以村庄总共能听到15分钟的宣传.
【C层 创新挑战(选做)】
10.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·青岛质检)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于c2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即ab×4+(b-a)2,从而得到等式c2=ab×4+(b-a)2,化简便得结论a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法:把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA如图2放置,其三边长分别为a,b,c,∠BAC=∠DEA=90°,显然BC⊥AD.
(1)请用a,b,c分别表示出四边形ABDC,梯形AEDC,△EBD的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理a2+b2=c2;
【方法迁移】
(2)如图3,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值.
【解析】(1)因为=c2,=(b+a)b,S△BED=(a-b)a,
=+,所以c2=(b+a)b+(a-b)a,
所以c2=b2+ab+a2-ab,所以a2+b2=c2;
(2)在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=42-x2=16-x2,
因为BD+CD=BC=6,所以CD=BC-BD=6-x,
在Rt△ACD中,由勾股定理得AD2=AC2-CD2=52-(6-x)2=-11+12x-x2,
所以16-x2=-11+12x-x2,所以x=. 探索勾股定理(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理的拼图验证
1.如图所示的是由一个直角三角形和三个正方形组成的图形.若其中S正方形ABED=16 cm2,S正方形AHIC=25 cm2,则正方形BCFG的面积是 ( )
A.3 cm2 B.9 cm2 C.16 cm2 D.4 cm2
2.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝,如图所示的弦图中,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个直角三角形,当EF=7,DE=12时,则正方形ABCD的边长是 ( )
A.13 B.28 C.48 D.52
3.(2022·金华中考)如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长.
(2)当a=3时,该小正方形的面积是多少
知识点2 勾股定理的简单应用
4.如图,一轮船从港口O出发以16海里/时的速度向北偏东50°方向航行,另一轮船同时从港口O出发以12海里/时的速度向南偏东40°方向航行,航行2小时后,两船相距 ( )
A.25海里 B.30海里
C.40海里 D.60海里
5.如图,学校有一块长方形花圃,有少数人为了走“捷径”,在花圃内走出一条不文明的“路”,其实他们仅仅少走了________米,却踩伤了花草. ( )
A.1 B.2 C.1.5 D.0.5
6.意大利著名画家达·芬奇用图示的方法证明了勾股定理.若设图1中空白部分的面积为S1,图2中空白部分的面积为S2,则下列等式成立的是( )
A.S2=c2 B.S2=c2+ab
C.S1=a2+b2+ab D.S1=a2+b2+2ab
7.如图1,一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下,树顶落在离树根12米处,图2是这棵大树折断的示意图,则这棵大树在折断之前的高是 ( )
A.20米 B.18米
C.16米 D.15米
【B层 能力进阶】
8.(2024·苏州期中)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图2的新的图案.如果图1中的直角三角形的长直角边为9,短直角边为4,图2中的阴影部分的面积为S,那么S的值为 ( )
A.56 B.60 C.65 D.75
9.(2024·成都质检)如图,在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄,村庄A到公路MN的距离AB为800米,若宣讲车周围1 700米以内能听到广播宣传,宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶.
(1)请问村庄A能否听到宣传 请说明理由;
(2)如果能听到,已知宣讲车的速度是200米/分钟,那么村庄A总共能听到多长时间的宣传
【C层 创新挑战(选做)】
10.(几何直观、推理能力、运算能力)(2024·青岛质检)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于c2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即ab×4+(b-a)2,从而得到等式c2=ab×4+(b-a)2,化简便得结论a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.
【方法运用】千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法:把两个全等的Rt△ABC和Rt△DEA如图2放置,其三边长分别为a,b,c,∠BAC=∠DEA=90°,显然BC⊥AD.
(1)请用a,b,c分别表示出四边形ABDC,梯形AEDC,△EBD的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理a2+b2=c2;
【方法迁移】
(2)如图3,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值. 探索勾股定理(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理与面积
1.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为 (B)
A. B.3 C. D.5
2.(2024·抚州质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,分别以AB,AC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2= 2π .
3.(2024·郑州质检)如图,是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,已知AC=8,BC=6,其中阴影部分的面积是 56 .
4.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)一直角三角形的三边长分别为5,12,x,那么以x为边长的正方形的面积为 169或119 .
知识点2 利用勾股定理求线段长
5.勾股定理c2=a2+b2(a为勾,b为股,c为弦),若“勾”为3,“股”为4,则“弦”是 (B)
A.1 B.5 C.7 D.9
6.如图,为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离,小亮在点C处立一标杆,使得∠ABC是直角,测得AC的长为85 m,BC的长为75 m,则点A与点B的距离是 (B)
A.20 m B.40 m C.30 m D.50 m
7.以2,3为直角边的直角三角形斜边长的平方为 (B)
A.5 B.13 C.16 D.25
8.若等腰三角形腰长为10 cm,底边长为12 cm,那么它的面积为 48 cm2 .
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为BC的中点,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,若AC=4,CE=5,求CD的长.
【解析】因为点D为BC的中点,所以BD=CD,
因为CE∥AB,所以∠B=∠DCE,在△ABD和△ECD中,,
所以△ABD≌△ECD(ASA),所以AB=CE=5,
所以在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=52-42=9,所以BC=3,所以CD=.
【B层 能力进阶】
10.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=135,S3=49,则S2= (B)
A.184 B.86 C.119 D.81
11.(2024·沈阳质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是BC上的点,若BD=6,DC=9,则AB2-AD2的值为 144 .
12.如图,已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=DE=8,EF=6,求A,F两点间的距离.
【解析】本题考查构造直角三角形运用勾股定理计算线段的长度.
过点F作FG⊥AB,交AB的延长线于点G,如图所示,
因为∠ABC=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,EF=6,
所以AG=AB+CD+EF=3+3+6=12,因为BC=DE=8,所以FG=BC+DE=8+8=16,
因为FG⊥AB,所以∠G=90°.在Rt△AGF中,AF2=AG2+FG2=122+162=202,
所以AF=20,所以A,F两点间的距离为20.
13.小旭放风筝时,风筝线断了,风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度.于是他先拉住风筝线垂直到地面上,发现风筝线多出1米,然后把风筝线沿直线向后拉开5米,发现风筝线末端刚好接触地面(如图为示意图).请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.
【解析】设AB=x,则AC=x+1,由题图可得,∠ABC=90°,BC=5,
所以在Rt△ABC中,AB2+BC2=AC2,即x2+52=(x+1)2,解得x=12,
答:风筝距离地面的高度AB为12米.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)
(2023·长春中考)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上,只用无刻度的尺,分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,点C在格点上.
(1)在图①中,△ABC的面积为;
(2)在图②中,△ABC的面积为5;
(3)在图③中,△ABC是面积为的钝角三角形.
【解析】(答案不唯一)如图:
(1)如图①,△ABC即为所求;
(2)如图②,△ABC即为所求;
(3)如图③,△ABC即为所求. 探索勾股定理(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理与面积
1.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为 ( )
A. B.3 C. D.5
2.(2024·抚州质检)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,分别以AB,AC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2= .
3.(2024·郑州质检)如图,是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,已知AC=8,BC=6,其中阴影部分的面积是 .
4.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)一直角三角形的三边长分别为5,12,x,那么以x为边长的正方形的面积为 .
知识点2 利用勾股定理求线段长
5.勾股定理c2=a2+b2(a为勾,b为股,c为弦),若“勾”为3,“股”为4,则“弦”是 ( )
A.1 B.5 C.7 D.9
6.如图,为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离,小亮在点C处立一标杆,使得∠ABC是直角,测得AC的长为85 m,BC的长为75 m,则点A与点B的距离是 ( )
A.20 m B.40 m C.30 m D.50 m
7.以2,3为直角边的直角三角形斜边长的平方为 ( )
A.5 B.13 C.16 D.25
8.若等腰三角形腰长为10 cm,底边长为12 cm,那么它的面积为 .
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D为BC的中点,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,若AC=4,CE=5,求CD的长.
【B层 能力进阶】
10.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠BCD=90°,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若S1+S4=135,S3=49,则S2= ( )
A.184 B.86 C.119 D.81
11.(2024·沈阳质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D是BC上的点,若BD=6,DC=9,则AB2-AD2的值为 .
12.如图,已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=DE=8,EF=6,求A,F两点间的距离.
13.小旭放风筝时,风筝线断了,风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度.于是他先拉住风筝线垂直到地面上,发现风筝线多出1米,然后把风筝线沿直线向后拉开5米,发现风筝线末端刚好接触地面(如图为示意图).请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、运算能力)
(2023·长春中考)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点.点A、B均在格点上,只用无刻度的尺,分别在给定的网格中按下列要求作△ABC,点C在格点上.
(1)在图①中,△ABC的面积为;
(2)在图②中,△ABC的面积为5;
(3)在图③中,△ABC是面积为的钝角三角形.
